第三章-向量與線性方程組補(bǔ)充習(xí)題答案(共8頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第三章 向量與線性方程組補(bǔ)充習(xí)題答案1設(shè)有三維列向量 問取何值時(shí)，（1）可由線性表示，且表達(dá)式惟一；（2）可由線性表示，且表達(dá)式不惟一；（3）不能由線性表示【解】 設(shè)，得線性方程組，其系數(shù)行列式（1） 若，則方程組有惟一解，可由惟一地線性表示（2） 若，則方程組有無窮多個(gè)解，可由線性表示，但表達(dá)式不惟一（3） 若，則方程組的增廣矩陣 可見方程組得系數(shù)矩陣A與增廣矩陣不等秩，故方程組無解，從而不能由線性表示2設(shè)向量組，試問：當(dāng)a,b,c滿足什么條件時(shí)，（1）可由線性表出，且表示唯一？（2）不能由線性表出？（3）可由線性表出，但表示唯一？并求出一般表達(dá)式?！窘狻?設(shè)有一組

2、數(shù)，使得 ，即 該方程組的系數(shù)行列式（1）當(dāng)時(shí)，行列式0，方程組有唯一解，可由線性表出，且表示唯一；（2）當(dāng)a=4時(shí)，對(duì)增廣矩陣作行初等變換，有 若3b-c¹1，則秩r(A)¹秩r(), 方程組無解，不能由線性表出；（3）當(dāng)a=-4且3b-c=1時(shí)，秩r(A)=秩r()=2<3，方程組有無窮多組解，可由線性表出，但表示唯一。解方程組，得 ， ，（C為任意常數(shù)）。因此有 3設(shè) （1）問當(dāng)t為何值時(shí)，向量組線性無關(guān)？ （2）問當(dāng)t為何值時(shí)，向量組線性相關(guān)？ （3）當(dāng)線性相關(guān)時(shí)，將表示為和的線性組合.【解】 因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，向量組線性無關(guān)； 當(dāng)t=5時(shí)，向量組線性相關(guān)。 當(dāng)t

3、=5時(shí)，令 ，得方程組 解得故 4設(shè)向量是齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，向量不是方程組Ax=0的解，即試證明：向量組線性無關(guān)【解】 設(shè)有一組數(shù)，使得， 上式兩邊同時(shí)左乘矩陣A,有因?yàn)?，?=0， 從而，由式得=0，由于向量組是基礎(chǔ)解系，所以 因而，由式得k=0因此，向量組線性無關(guān)5 設(shè)向量組線性無關(guān)，則下列向量組中，線性無關(guān)的是(A) (B) (C) (D) 【 】【解】 可見（A）、（B）中向量線性相關(guān)，（C）、（D）不能直接觀察得出，對(duì)于（C），令即 ，由于線性無關(guān)，故因上述齊次線性方程組的系數(shù)行列式，故方程組有惟一零解，即，故（C）中向量組線性無關(guān)，應(yīng)選（C）6設(shè)均為維列向量，為

4、矩陣，下列選項(xiàng)正確的是(A) 若線性相關(guān)，則線性相關(guān). (B) 若線性相關(guān)，則線性無關(guān). (C) 若線性無關(guān)，則線性相關(guān). (D) 若線性無關(guān)，則線性無關(guān). 【 】【解】 記，則.所以，若向量組線性相關(guān)，則，從而，向量組也線性相關(guān)，故應(yīng)選().7.設(shè)4維向量組 ，問為何值時(shí)線性相關(guān)?當(dāng)線性相關(guān)時(shí),求其一個(gè)極大線性無關(guān)組,并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表出. 【解】記以為列向量的矩陣為，則 . 于是當(dāng)時(shí)，線性相關(guān). 當(dāng)時(shí)，顯然是一個(gè)極大線性無關(guān)組，且； 當(dāng)時(shí)， ， 由于此時(shí)有三階非零行列式，所以為極大線性無關(guān)組，且.8設(shè)齊次線性方程組 只有零解，則應(yīng)滿足的條件是 .【解】 當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知

5、量的個(gè)數(shù)相同時(shí)，Ax=0只有零解的充分必要條件是 而 ，所以應(yīng)有9k為何值時(shí)，線性方程組，有惟一解、無解、有無窮多組解？在有解的情況下，求出其全部解【解】 用初等行變換化增廣矩陣為階梯形當(dāng)和4時(shí)，有 這時(shí)方程組有惟一解： 當(dāng)k=1時(shí)，方程組無解當(dāng)k=4時(shí)，有 ， ,故方程組有無窮多組解，這時(shí)，同解方程組為： 令，得方程組的全部解： ，其中c為任意常數(shù)10設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣為A，三階矩陣，且試求的值【解】 令，則由題設(shè)，即又，所以3不全為零，說明齊次線性方程組Ax=0有非零解，所以必有秩(A)<3，從而=0，即解得11. 設(shè)是矩陣，是非齊次線性方程組所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組，則下列結(jié)論正

6、確的是(A) 若僅有零解，則有唯一解 (B) 若有非零解，則有無窮多個(gè)解 (C) 若有無窮多個(gè)解，則僅有零解 (D) 若有無窮多個(gè)解，則有非零解 【 】【解】由解的判定定理知，對(duì)，若有秩，則一定有解進(jìn)一步，若r=n，則有唯一解；若r<n，則有無窮多解而對(duì)一定有解，且設(shè)秩(A)=r，則若r=n， 僅有零解；若r<n， 有非零解因此，若有無窮多解，則必有秩<n，從而秩(A)=r<n， 有非零解，所以(D)成立但反過來，若秩(A)=r=n(或<n)，并不能推導(dǎo)出秩(A)=秩，所以可能無解，更談不上有唯一解或無窮多解12非齊次線性方程組中未知量個(gè)數(shù)為n，方程個(gè)數(shù)為m，系數(shù)矩陣A的秩為r，則(A) r=m時(shí)，方程組有解(B) r=n時(shí)，方程組有唯一解(C) m=n時(shí)，方程組有唯一解(D) r<n時(shí)，方程組有無窮多解 【 】【解】 有解的充要條件是：題設(shè)A為矩陣，若，相當(dāng)于A的m個(gè)行向量現(xiàn)行無關(guān)，因此添加一個(gè)分量后得的m個(gè)行向量仍線性無關(guān)，即有，所以有解故（A）成立對(duì)于（B）、（C）、（D）均不能保證，即不能保證有解，更談不上唯一解或無窮多解13設(shè)是四元非齊次線性方程組AX=b的三個(gè)解向量，且秩r(A)=3，C表示任意常數(shù)，則線性方程組AX=b的通解X=(A) . （B）.(C) . (D) 【解】 由題設(shè)，r(A)=3，可見對(duì)應(yīng)齊次