建模競賽終極版

1、10號隊A題：降落傘在下落過程中安全性問題摘要研究降落傘在下降過程中安全性問題，在降落傘的質(zhì)量可以保障的前提下，我們主要以人著陸時的速度為指標來評價，當(dāng)著陸速度小于8m/s時，我們便可認為人員安全著陸。該問題可轉(zhuǎn)化為降落傘下落高度h，下落速度v，與下落時間t之間的關(guān)系。并且h,v可以看做連續(xù)變化的，從而可用反應(yīng)連續(xù)變量特點的微分方程予以描述。所以可把該實際問題轉(zhuǎn)化為微積分方法的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)牛頓第二定律列出微分方程，通過積分（運用Matlab 數(shù)學(xué)軟件）得到相應(yīng)的運動方程。假設(shè)1.開始便打開降落傘，建立模型一，經(jīng)分析論證此模型確實可以使人安全著陸，但當(dāng)下落高度較大時，人在空中滯留時間太長，與實

2、際情況不太吻合。進而提出假設(shè)2，當(dāng)下落高度較大時，可以采取下落一定高度后再打開降落傘，以減少下落時間，建立模型二。經(jīng)分析論證，該模型既可滿足人員安全著陸條件，人員在空中滯留時間也不會太長，與實際情況相符。由于降落傘繩索承受拉力是一定的，為保障人身安全，人傘系統(tǒng)下降過程中不能超過繩索的極限拉力，防止繩子斷開?？紤]到這個問題，建立模型三，此模型約束了降落傘的承重極限和人傘下降的最大速度，從而彌補了模型一二的的缺陷，更加接近實際。上述模型可根據(jù)實際進一步改進，比如空氣阻力與空氣的稀薄程度有關(guān)，而海拔高度h會影響空氣的稀薄程度，可以認為 k=k (h)，此時就考慮到了下落高度與空氣阻力的關(guān)系，更加接近

3、實際問題。關(guān)鍵詞：微積分方法 空氣阻力 安全著陸速度 極限拉力一、問題的提出降落傘是利用空氣阻力，依靠相對于空氣運動充氣展開的可展式氣動力減速器，是人或物從空中安全降落到地面的一種航空工具，在航空航天、軍事、搶險救災(zāi)等方面有著廣泛的用途。降落傘性能好壞直接關(guān)系飛行員、設(shè)備物資的安全性，所以研究降落傘性能顯得很有必要。結(jié)合實際我們考慮到，飛行員在空中滯留時間不宜過長，否則會對后續(xù)工作有影響；同時考慮使飛行員安全著陸，則要求落地速度在安全范圍之內(nèi)。那么，何時張傘比較適宜呢？二、問題分析我們現(xiàn)在分析降落傘下降的過程，將人和傘看做一個整體，很容易想到降落速度是時間的函數(shù)。在降落過程中，人傘主要受重力和

4、空氣阻力的作用以及氣流運動的影響，空氣阻力與降落速度存在一定聯(lián)系，這里認為空氣阻力與降落速度成正比（在空氣中運動的物體，受到空氣的阻力，在空氣中如果速度低于2.5 M（馬赫），基本上認為其阻力f與阻力系數(shù)k，傘的面積S，速度v成正比 （f=ksv）,這時k一般可取為2.937。當(dāng)其在空氣中如果速度高于2.5 M（馬赫），由于空氣的摩擦， 開始出現(xiàn)氣動加熱現(xiàn)象。其空氣阻力可視為f=(1/2)CSV2 ）。氣流運動使降落傘產(chǎn)生水平位移，而我們主要關(guān)心降落速度的垂直分量的變化情況，所以忽略水平分量。對此模型我們只要保證：1.著地時的速度小于安全著陸速度。2.彈性繩的拉力不超出其最大限定值，并且降落時

5、間合理。滿足上述兩個條件即可使人傘系統(tǒng)安全著地。根據(jù)牛頓第二定律，在豎直方向列有關(guān)速度或降落高度的微分方程,并得出運動方程。而實際生活中有高空跳傘和低空跳傘，低空跳傘出倉后就立即打開傘，高空跳傘要確定不同高度的張傘速度，速度大小會影響繩的拉力。下面對不同情況建立數(shù)學(xué)模型。三、模型建立與解答模型假設(shè)1.人傘降落過程中只受重力和空氣阻力作用，忽略氣流流動的影響，只考慮在豎直方向上的運動。2.降落傘打開時，空氣阻力與降落速度v成正比，與降落傘面積s成正比，即f=ksv成立，且k是與時間、空氣稀薄程度無關(guān)的常數(shù)；降落傘未打開時，人在下降過程中，空氣對人的阻力很小，忽略不計，近似為自由落體運動。3.降落

6、傘張開后面積不變。4.不計張傘所用時間。5.降落傘的質(zhì)量忽略不計。6.降落傘始終保持軸對稱形狀，人體的重心和傘的形心保持在同一條豎直直線上。7.重力加速度不隨高度變化，為一定值，取做9.8 m/。8.人傘在下降過程中，降落速度為連續(xù)變化的函數(shù)，并且降落傘繩不考慮突變。9.人傘系統(tǒng)安全著陸時的著陸速度小于（經(jīng)查閱資料獲得）。符號說明：飛行員的質(zhì)量（題中指出忽略降落傘的質(zhì)量）：重力加速度:人傘系統(tǒng)下落時的加速度：對降落傘的空氣阻力：繩的拉力：繩與豎直方向夾角：飛行員出倉后降落的高度：從出倉到張傘時飛行員下落的高度：從張傘到落地下落的高度：飛行員降落速度：張傘時飛行員的速度：飛行員著陸速度：降落時間

7、：自由落體運動階段降落的時間：張傘后降落所用時間：降落傘的面積：阻力系數(shù)（約為2.937）模型一：飛行員出倉后立即打開降落傘根據(jù)牛頓第二定律，可得又以及微分關(guān)系，得解得 取定參數(shù)：m=70kg,g=9.8m/,s=30,k=2.937繪制h-t圖像如圖1圖1觀察圖像，我們發(fā)現(xiàn)，人出倉后立即打開傘，經(jīng)過很短的時間加速到某一速度后，人傘基本上做勻速直線運動。結(jié)合運動方程 變形得分析，由圖像可知，在給定參數(shù)下，當(dāng)t不斷增大時（即使不是無窮大）接近于零，h變成了t的一次函數(shù)， ，其斜率即為勻速直線運動時的速度，人傘也將以此速度著陸。在給定參數(shù)的前提下，落地速度為1.當(dāng)參數(shù)改變時，由（其中g(shù),k為常量）

8、，可得：若傘面積s一定，人的質(zhì)量m增大時,落地速度v增大，相同高度下下降時間t減小，反之v減小，t增大。若m一定，s增大時，v減小，時間t增大，反之v增大，t減小。所以，我們考慮的整體影響。2.查閱資料知：當(dāng)人以8的速度著陸時，可保障人身安全，即8重60kg的人，傘的面積為25即可安全著落重70kg的人，傘的面積為30即可安全著陸3.由h-t關(guān)系式，在最初給定參數(shù)下，我們列出下落高度h與所需時間表格如下h(m)1002003006008001000230030005000t(s)11.622.4336587108246322536從表格的數(shù)據(jù)中可以看出，降落高度為幾百米時的降落時間較為合理，當(dāng)

9、降落高度較高或過高時，降落時間過長，在實際生活中會延誤后續(xù)的工作。所以，此模型適宜低空跳傘，當(dāng)跳傘高度很高時，需重新考慮，由此建立模型二。模型二：飛行員下落某一高度時再打開降落傘降落傘未打開過程（打開時的速度為）人做自由落體運動，降落高度為降落傘打開后的過程根據(jù)牛頓第二定律即微分方程，得解得取定參數(shù)：m=70kg,g=9.8m/,k=2.937,s=30，取=350m/s繪制圖像如圖2圖2由圖形可以看出，傘打開后，在幾秒之內(nèi)減小到某一較小速度，之后以此速度勻速下降。經(jīng)分析此速度為，與無關(guān)。所以跳傘者在打開傘后需減速到以后著陸，才能保障安全。此時，需討論何時打開降落傘，即張傘高度。根據(jù)關(guān)系式，張

10、開傘后時間段內(nèi)下落高度，可積分得 得飛行員降落的總高度為得 又 得運動方程當(dāng)時間超過20秒后 非常接近零 因此對 近似計算 經(jīng)圖像分析，即使=350 ，經(jīng)過20后也完全可以保證人以<8 安全著陸，所以我們有理由相信只要人張開傘后有20的空中滯留時間，就可以安全著陸。將代入得到 空降總高度=+ 得=+ 得給定的一個空降高度，我們就可以合理的給出一個張開傘的速度，由即可求得從開始到打開傘所用的時間。對系統(tǒng)運動情況進行分析：給定參數(shù)，人的質(zhì)量為70kg,傘的面積為30，k=2.937, g=9.8m/ 由=+ 得的關(guān)系圖像如圖3圖3數(shù)據(jù)分析：當(dāng)下落高度為2300米時，由圖像可算得當(dāng)速度達到20

11、0m/s時，張開傘比較合適。自由落體所用時間=20.4s，即人降落2000米后打開傘,張開傘到落地時間=20s,空降所用的總時間為40.4s,并且著陸速度<8m/s,也可以保障人員安全著陸。模型一中空降2300米所用的時間為246s,與之相比模型二在保障人員安全著陸的同時大大較減少了空中滯留時間，從而解決了高空降落的問題。如果過度的減少空降時間，則人張傘時的速度就會隨之增大，這樣可能會引起繩子斷裂，從而提出模型三。模型三：考慮繩的拉力因素對于模型一，繩的最大拉力出現(xiàn)在近似勻速運動階段，對人分析得：，所以只要滿足繩的最大拉力大于即可保證繩子不會斷裂。對于模型二，對降落傘（不計降落傘重力，即

12、重力為零，=0）受力分析,由牛頓第二定律可又，得的最大值在張傘時刻，而繩的最大拉也出現(xiàn)在此處，由于可能很大，所以對繩的要求更高。為保證繩的安全性，需控制最大速度，應(yīng)使。對給定的降落傘，通過上式可得出張傘時的最大速度，當(dāng)實際張傘速度小于此速度，即可保證繩的安全性四、模型結(jié)果分析綜合考慮安全性問題和實際情況，我們得出以下結(jié)論：對模型一：低空跳傘，為使飛行員安全著陸，落地速度需達到8m/s或者更小，要求m與s的比值小于2.40，繩的最大拉力大于。對模型二：高空跳傘時，當(dāng)張開傘后需要一定的張傘降落高度，才能保證落地之前就接近勻速運動階段，此時的速度近似為，并且8m/s,不會威脅人身安全。降落過程為保證

13、繩不斷裂，張傘速度應(yīng)滿足五、模型不足及改進方向1在實際問題中，空氣的阻力系數(shù)與空氣的稀薄程度有關(guān)，空氣的稀薄程度又和海拔高度有一定關(guān)系，可以認為。此時可以考慮降落速度與海拔高度之間的關(guān)系。假設(shè)降落傘在時張開傘，此時相應(yīng)的速度為，由于則由牛頓第二定律有，兩式連立可得此時k與h可根據(jù)具體情況分析得到它們的關(guān)系，帶入上式即可得到h與v的關(guān)系。2上述模型中，忽略了傘張開的過程，即張傘所用的時間。而現(xiàn)實生活中，張傘需要一定的時間，在此段時間內(nèi)降落傘會下降一段高度。3在現(xiàn)實問題中，人傘在下降過程中，不僅有豎直方向的影響，還有水平方向的影響，例如：風(fēng)。風(fēng)在水平方向會使人獲得一個速度，人在著陸時的速度不僅是豎

14、直方向的速度，而是豎直與水平方向的合速度。因此在實際生活中，人在豎直方向的著陸速度應(yīng)該小于根據(jù)上述模型計算得到的速度。4上述模型中考慮的降落傘繩子拉力是連續(xù)變化的，而在實際生活中當(dāng)人打開繩子的瞬間繩子的拉力會瞬間增大，而后減小。因此應(yīng)考慮繩子因為沖量獲得的瞬間拉力。此時應(yīng)根據(jù)動量定理和微積分方法計算出繩子的最大拉力。因此，實際問題中的降落傘的繩子承重極限應(yīng)該比上述模型計算得到的大。六、相關(guān)計算機程序方程解答程序：速度程序>>v=dsolve('Dv+k*s*v/m-g=0','v(0)=a','t')v =g/k/s*m+exp(-k

15、*s/m*t)*(-g*m+a*k*s)/k/s高度程序>>h=dsolve('D2h+k*s/m*Dh-g=0','h(0)=0,Dh(0)=0','t')h=g/k/s*m*t-g*m2/k2/s2+g*m2/k2/s2*exp(-k*s/m*t)繪圖程序：圖1h=dsolve('D2h+2.937*30/70*Dh-9.8=0','h(0)=0,Dh(0)=0','t')h =68600/8811*t-480200000/77633721+480200000/77633721*ex

16、p(-8811/7000*t)>>t=0:0.01:60;>>h=68600/8811*t-480200000/77633721+480200000/77633721*exp(-8811/7000*t);>>plot(t,h)圖2>>v=dsolve('Dv+2.937*v*30/70-9.8=0','v(0)=350','t') v =68600/8811+3015250/8811*exp(-8811/7000*t)>>t=0:0.01:20;>>v=68600/8811+3015250/88