誤差理論數(shù)據(jù)處理與統(tǒng)計

1、實驗的數(shù)據(jù)處理與統(tǒng)計實驗的數(shù)據(jù)處理與統(tǒng)計 安全工程系 孫貴磊主要內容實驗的數(shù)據(jù)處理實驗的數(shù)據(jù)處理誤差理論誤差理論實驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計與結果表述實驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計與結果表述實驗數(shù)據(jù)處理概念實驗數(shù)據(jù)處理概念實驗數(shù)據(jù)處理實驗數(shù)據(jù)處理，就是以測量為手段，以研究對象的概念、狀態(tài)為基礎，以數(shù)學運算為工具，推斷出某量值的真值，并導出某些具有規(guī)律性結論的整個過程。因此對實驗數(shù)據(jù)進行處理，可使人們清楚地觀察到各變量之間的定量關系，以便進一步分析實驗現(xiàn)象，得出規(guī)律，指導生產與設計。數(shù)據(jù)處理的方法有三種： 列表法、圖示法和回歸分析法。列表法列表法 將實驗數(shù)據(jù)按自變量和因變量的關系，以一定的順序列出數(shù)據(jù)表，即為列表法。列表法有

2、許多優(yōu)點，如為了不遺漏數(shù)據(jù)，原始數(shù)據(jù)記錄表會給數(shù)據(jù)處理帶來方便；列出數(shù)據(jù)使數(shù)據(jù)易比較；形式緊湊；同一表格內可以表示幾個變量間的關系等。列表通常是整理數(shù)據(jù)的第一步，為標繪曲線圖或整理成數(shù)學公式打下基礎。設計實驗數(shù)據(jù)表應注意的事項設計實驗數(shù)據(jù)表應注意的事項（1）表格設計要力求簡明扼要，一目了然，便于閱讀和使用。記錄、計算項目要滿足實驗需要，如原始數(shù)據(jù)記錄表格上方要列出實驗裝置的幾何參數(shù)以及溫度等常數(shù)項。（2）表頭列出物理量的名稱、符號和計算單位。符號與計量單位之間用斜線“”隔開。斜線不能重疊使用。計量單位不宜混在數(shù)字之中，造成分辨不清。（3）注意有效數(shù)字位數(shù)，即記錄的數(shù)字應與測量儀表的準確度相匹配

3、，不可過多或過少。（4）物理量的數(shù)值較大或較小時，要用科學記數(shù)法表示。以“物理量的符號10n計量單位”的形式記入表頭。注意：表頭中的10n與表中的數(shù)據(jù)應服從下式：物理量的實際值10n表中數(shù)據(jù)（5）為便于引用，每一個數(shù)據(jù)表都應在表的上方寫明表號和表題（表名）。表號應按出現(xiàn)的順序編寫并在正文中有所交代。同一個表盡量不跨頁，必須跨頁時，在跨頁的表上須注“續(xù)表”。（6）數(shù)據(jù)書寫要清楚整齊。修改時宜用單線將錯誤的劃掉，將正確的寫在下面。各種實驗條件及作記錄者的姓名可作為“表注”，寫在表的下方。mlV st表表3-1 層流阻力實驗原始數(shù)據(jù)記錄表層流阻力實驗原始數(shù)據(jù)記錄表實驗裝置編號：第套 管徑m 管長m

4、平均水溫 實驗時間年月日序號水的體積V/ml時間t/s壓差計示值備注左/mm右/mmR/mm12n表表3-2 3-2 層流阻力實驗整理計算數(shù)據(jù)表層流阻力實驗整理計算數(shù)據(jù)表序序號號流量流量Q/(m3/S)平均流速平均流速v/(m/s)層流沿程層流沿程損失值損失值Hl/mH2ORe102102Re關系式關系式12n圖示法圖示法實驗數(shù)據(jù)圖示法就是將整理得到的實驗數(shù)據(jù)或實驗數(shù)據(jù)圖示法就是將整理得到的實驗數(shù)據(jù)或結果標繪成描述因變量和自變量的依從關系的結果標繪成描述因變量和自變量的依從關系的曲線圖曲線圖。該法的優(yōu)點是直觀清晰，便于比較，。該法的優(yōu)點是直觀清晰，便于比較，容易看出數(shù)據(jù)中的極值點、轉折點、周期

5、性、容易看出數(shù)據(jù)中的極值點、轉折點、周期性、變化率以及其他特性，準確的圖形還可以在不變化率以及其他特性，準確的圖形還可以在不知數(shù)學表達式的情況下進行微積分運算，因此知數(shù)學表達式的情況下進行微積分運算，因此得到廣泛的應用。得到廣泛的應用。數(shù)據(jù)標繪前首先要進行坐標系的選擇和坐標分數(shù)據(jù)標繪前首先要進行坐標系的選擇和坐標分度的確定。度的確定。 學習時間學習時間/h成績成績/分分100分分+ 坐標系坐標系 常用的坐標系為直角坐標系、單對數(shù)坐標系和對數(shù)坐標系。（1）單對數(shù)坐標系。如圖3-1所示。一個軸是分度均勻的普通坐標軸，另一個軸是分度不均勻的對數(shù)坐標軸。（2）對數(shù)坐標系。如圖3-2所示。兩個軸都是對數(shù)

6、標度的坐標軸。選用坐標紙的基本原則選用坐標紙的基本原則1直角坐標紙直角坐標紙變量x、y間的函數(shù)關系式為：y=a+bx即為直線函數(shù)型，將變量、標繪在直角坐標紙上得到一直線圖形，系數(shù)、不難由圖上求出。2 2 單對數(shù)坐標單對數(shù)坐標下列情況下，建議使用單對數(shù)坐標紙：（1）變量之一在所研究的范圍內發(fā)生了幾個數(shù)量級的變化。（2）在自變量由零開始逐漸增大的初始階段，當自變量的少許變化引起因變量極大變化時，采用單對數(shù)坐標可使曲線最大變化范圍伸長，使圖形輪廓清楚。（3）當需要變換某種非線性關系為線性關系時，可用單對數(shù)坐標。如將指數(shù)型函數(shù)變換為直線函數(shù)關系。若變量x、y間存在指數(shù)函數(shù)型關系，則有：y=aebx3

7、3 雙對數(shù)坐標雙對數(shù)坐標在下列情況下，建議使用雙對數(shù)坐標紙：在下列情況下，建議使用雙對數(shù)坐標紙：（1）變量）變量x、y在數(shù)值上均變化了幾個數(shù)量級。在數(shù)值上均變化了幾個數(shù)量級。（2）需要將曲線開始部分劃分成展開的形式。）需要將曲線開始部分劃分成展開的形式。（3）當需要變換某種非線性關系為線性關系時，）當需要變換某種非線性關系為線性關系時，例如冪函數(shù)。變量例如冪函數(shù)。變量x、y若存在冪函數(shù)關系式，則有若存在冪函數(shù)關系式，則有 y=axb 式中式中a、b為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。坐標比例的選取原則 坐標比例是指坐標軸上單位長度坐標比例是指坐標軸上單位長度(通常為通常為 )所代表的物理所代表的物理量大小

8、。量大小。坐標比例的選取應注意以下幾點：坐標比例的選取應注意以下幾點：1 原則上做到數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)字在圖上應是可靠的，即原則上做到數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)字在圖上應是可靠的，即坐標軸上的最小分度坐標軸上的最小分度( )對應于實驗數(shù)據(jù)的最后一位準確對應于實驗數(shù)據(jù)的最后一位準確數(shù)字。數(shù)字。2 坐標比例的選取應以便于讀數(shù)為原則，常用的比例為坐標比例的選取應以便于讀數(shù)為原則，常用的比例為“1 1”、“1 2”、“1 5”，即每厘米代表，即每厘米代表“1、2、5”倍率單位的物理量。倍率單位的物理量。3 坐標比例確定后，應對坐標軸進坐標比例確定后，應對坐標軸進行標行標度，即在坐標軸度，即在坐標軸上均勻地上均勻地(一

9、般每隔一般每隔 )標出所代表物理量的整齊數(shù)值。標標出所代表物理量的整齊數(shù)值。標度不一定從零開始，應使圖紙盡量被充分利用。度不一定從零開始，應使圖紙盡量被充分利用。坐標比例的選取原則 4.數(shù)據(jù)點的標出數(shù)據(jù)點的標出 實驗數(shù)據(jù)點在圖紙上用實驗數(shù)據(jù)點在圖紙上用“+”符號標符號標出，符號的交叉點正是數(shù)據(jù)點的位置。若在同一張圖上出，符號的交叉點正是數(shù)據(jù)點的位置。若在同一張圖上作幾條實驗曲線，各條曲線的實驗數(shù)據(jù)點應該用不同符作幾條實驗曲線，各條曲線的實驗數(shù)據(jù)點應該用不同符號號(如如、 等等)標出，以示區(qū)別。標出，以示區(qū)別。 5.曲線的描繪曲線的描繪 由實驗數(shù)據(jù)點描繪出平滑的實驗曲線。由實驗數(shù)據(jù)點描繪出平滑的

10、實驗曲線。根據(jù)隨機誤差理論，實驗數(shù)據(jù)應均勻分布在曲線兩側，根據(jù)隨機誤差理論，實驗數(shù)據(jù)應均勻分布在曲線兩側，與曲線的距離盡可能小。個別偏離曲線較遠的點，應檢與曲線的距離盡可能小。個別偏離曲線較遠的點，應檢查標點是否錯誤，若無誤表明該點可能是錯誤數(shù)據(jù)，在查標點是否錯誤，若無誤表明該點可能是錯誤數(shù)據(jù)，在連線時不予考慮。連線時不予考慮。 6.注解與說明注解與說明 在圖紙上要寫明圖線的名稱、坐標比例在圖紙上要寫明圖線的名稱、坐標比例及必要的說明及必要的說明(主要指實驗條件主要指實驗條件)，并在恰當?shù)胤阶⒚髯?，并在恰當?shù)胤阶⒚髯髡咝彰⑷掌诘?。者姓名、日期等?7.直線圖解法求待定常數(shù)直線圖解法求待定常數(shù)

11、 直線圖解法首先是求出斜率直線圖解法首先是求出斜率和截距，進而得出完整的線性方程。和截距，進而得出完整的線性方程。 圖示法應注意的事項圖示法應注意的事項（1）對于兩個變量的系統(tǒng)，習慣上選橫軸為自變量，縱軸為）對于兩個變量的系統(tǒng)，習慣上選橫軸為自變量，縱軸為因變量。在兩軸側要標明變量名稱、符號和單位。因變量。在兩軸側要標明變量名稱、符號和單位。（2）坐標分度要適當，使變量的函數(shù)關系表現(xiàn)清楚。）坐標分度要適當，使變量的函數(shù)關系表現(xiàn)清楚。對于直角坐標的原點不一定選為零點，應根據(jù)所標繪數(shù)據(jù)范對于直角坐標的原點不一定選為零點，應根據(jù)所標繪數(shù)據(jù)范圍而定，其原點應移至比數(shù)據(jù)中最小者稍小一些的位置為宜，圍而定

12、，其原點應移至比數(shù)據(jù)中最小者稍小一些的位置為宜，能使圖形占滿全幅坐標線為原則。能使圖形占滿全幅坐標線為原則。（3）實驗數(shù)據(jù)的標繪。若在同一張坐標紙上同時標繪幾組測）實驗數(shù)據(jù)的標繪。若在同一張坐標紙上同時標繪幾組測量值，則各組要用不同符號（如：量值，則各組要用不同符號（如：，等）以示區(qū)別。等）以示區(qū)別。（4）圖必須有圖號和圖題（圖名），圖號應按出現(xiàn)的順序編）圖必須有圖號和圖題（圖名），圖號應按出現(xiàn)的順序編寫，并在正文中有所交待。寫，并在正文中有所交待。 （5）圖線應光滑。并使曲線盡可能通過較多的實驗點，或者）圖線應光滑。并使曲線盡可能通過較多的實驗點，或者使曲線以外的點盡可能位于曲線附近，并使曲

13、線兩側的點數(shù)使曲線以外的點盡可能位于曲線附近，并使曲線兩側的點數(shù)大致相等大致相等。實驗數(shù)據(jù)數(shù)學方程表示法實驗數(shù)據(jù)數(shù)學方程表示法在實驗研究中，還常常把實驗數(shù)據(jù)整理成方程式，在實驗研究中，還常常把實驗數(shù)據(jù)整理成方程式，以描述過程或現(xiàn)象的自變量和因變量之間的關系，以描述過程或現(xiàn)象的自變量和因變量之間的關系，即建立過程的數(shù)學模型。其方法是將實驗數(shù)據(jù)繪制即建立過程的數(shù)學模型。其方法是將實驗數(shù)據(jù)繪制成曲線，與已知的函數(shù)關系式的典型曲線（線性方成曲線，與已知的函數(shù)關系式的典型曲線（線性方程、冪函數(shù)方程、指數(shù)函數(shù)方程、拋物線函數(shù)方程、程、冪函數(shù)方程、指數(shù)函數(shù)方程、拋物線函數(shù)方程、雙曲線函數(shù)方程等）進行對照選擇

14、，然后用圖解法雙曲線函數(shù)方程等）進行對照選擇，然后用圖解法或者數(shù)值方法確定函數(shù)式中的各種常數(shù)。所得函數(shù)或者數(shù)值方法確定函數(shù)式中的各種常數(shù)。所得函數(shù)表達式是否能準確地反映實驗數(shù)據(jù)所存在的關系，表達式是否能準確地反映實驗數(shù)據(jù)所存在的關系，應通過檢驗加以確認。應通過檢驗加以確認。運用計算機將實驗數(shù)據(jù)結果回歸為數(shù)學方程已成為運用計算機將實驗數(shù)據(jù)結果回歸為數(shù)學方程已成為實驗數(shù)據(jù)處理的主要手段實驗數(shù)據(jù)處理的主要手段 。 數(shù)學方程式的選擇數(shù)學方程式的選擇 數(shù)學方程式選擇的原則是：既要求形式簡單，所含常數(shù)較少，同時也希望能準確地表達實驗數(shù)據(jù)之間的關系，但要滿足兩者條件往往是難以做到，通常是在保證必要的準確度的

15、前提下，盡可能選擇簡單的線性關系或者經過適當方法轉換成線性關系的形式，使數(shù)據(jù)處理工作得到簡單化。實驗數(shù)據(jù)的回歸分析實驗數(shù)據(jù)的回歸分析 回歸分析是對具有相互聯(lián)系的現(xiàn)象，根據(jù)其關系的形態(tài)，選擇一個合適的數(shù)學模式，用來近似地表達變量間的平均變化關系，這個數(shù)學模式就是回歸方程。相關分析就是測定濃度與響應值之間線性關系的密切程度。直線回歸方程直線回歸方程 Y=ax+b其中，Y稱回歸值； a,b是回歸系數(shù)。圖3-6一元線性回歸示意圖 圖3-7實驗曲線示意圖 曲線擬合時應確定擬合時的目標函數(shù)。選擇殘差平方和為目標函數(shù)的處理方法即為最小二乘法。此法是尋求實驗數(shù)據(jù)近似函數(shù)表達式的更為嚴格有效的方法。定義為：最理

16、想的曲線就是能使各點同曲線的殘差平方和為最小。設殘差平方和Q為：niiiniibxayd1212)(Q相關系數(shù)相關系數(shù)r r是說明兩個變量線性關系密切程度的一個數(shù)量性指標。是說明兩個變量線性關系密切程度的一個數(shù)量性指標。 r r的變化范圍為的變化范圍為 -1r1-1r1x與y的相關關系有如下情況： 若x增大，y也相應增大，稱x與y呈正相關。此時有0 r 1，若r=1，則稱為完全正相關。 若x增大，y相應減少，稱x與呈負相關。此時，-1 r G 表，棄去可疑值，反之保留。適用于檢測多組測量值均值的一致性和剔除多組測量值中的離群均值；也可用于檢驗一組測量值的一致性和剔除一組測量值中的離群值。由于格

17、魯布斯(Grubbs)檢驗法引入了標準偏差，故準確性比Q 檢驗法高 。（4）t值檢驗法 計算t值時，應用的是先將可疑值去掉再求出的平均值和標準偏差。所以此種檢驗方法最嚴格。 在分析工作中常遇到兩種情況：一是樣品測定的的平均值和樣品的標準值不一致；二是兩組測定所得數(shù)據(jù)的平均值不一致。 這種不一致得原因是由隨機誤差所引起，還是存在有系統(tǒng)誤差。若是前者屬正常，不可避免。若是后者，就認為它們之間存在顯著性差異，顯著性的檢驗方法有多種 。如：平均值與標準值的比較法和兩組平均值的比較法。 （5).監(jiān)測結果統(tǒng)計檢驗t檢驗（平均值與標準值的比較 ）在實驗室檢測質量考核中，常發(fā)給實驗室一個標準樣，實驗室對標準樣

18、實際測定結果的均值與標準值之間的差異是否顯著，通過t檢驗判斷。 a 樣本均值與標準值之間顯著性差異檢驗； b 兩組平均值之間顯著性差異檢驗。 (1) (1) 準確度準確度準確度是指測得值與真值之間的符合程度。準確度的高低常以誤差的大小來衡量。 即誤差越小，準確度越高；誤差越大，準確度越低。測定方法的準確度可用已知純度的對照品做加樣回收率測定。(2)(2)精密度精密度 精密度是指在相同條件下n次重復測定結果彼此相符合的程度。精密度的大小用偏差表示，偏差越小說明精密度越高。準確度與精密度的關系準確度與精密度的關系準確度用誤差的大小來衡量，與系統(tǒng)誤差和偶然誤差都有關，反映了測量的正確性。精密度指一系列平行測定數(shù)據(jù)相互間符合的程度，用偏差大小來衡量，偏差大小僅與隨機誤差有關，與系統(tǒng)誤差無關。因此偏差大小不能反映測定值與真實值間的符合程度，僅反映測定的重現(xiàn)性。所以應從準確度和精密度