高中數(shù)學(xué)題庫高一部分-A集合與簡易邏輯-一元二次不等式

1、求使不等式ax2+4x-1-2x2-a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立的a的取值范圍。答案：由不等式得(a+2)x2+4x+a-10. 對(duì)任意xR成立。）當(dāng)a=-2時(shí)，化為4x3,當(dāng)x<時(shí)不成立。）當(dāng)a<-2時(shí)，由二次函數(shù)性質(zhì)不恒成立。）當(dāng)a>-2時(shí)，=4×4-(a+2)(a-1)0，即a2+a+24，得a2，或a-3，綜上所述，a2。來源：08年數(shù)學(xué)競賽專題二題型：解答題，難度：中檔a1、b1、c1、a2、b2、c2均為非零實(shí)數(shù)，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分別為集合M和N，那么“”是“M=N”的（ ）A充分非必要條件.B必要非

2、充分條件.C充要條件D既非充分又非必要條件.答案：D來源：03年上海題型：選擇題，難度：中檔已知不等式組 的整數(shù)解恰好有兩個(gè)，求a的取值范圍。答案：因?yàn)榉匠蘹2-x+a-a2=0的兩根為x1=a, x2=1-a,若a0，則x1<x2.的解集為a<x<1-a，由得x>1-2a.因?yàn)?-2a1-a，所以a0,所以不等式組無解。若a>0，）當(dāng)0<a<時(shí)，x1<x2,的解集為a<x<1-a.因?yàn)?<a<x<1-a<1，所以不等式組無整數(shù)解。）當(dāng)a=時(shí)，a=1-a，無解。）當(dāng)a>時(shí)，a>1-a，由得x>

3、1-2a，所以不等式組的解集為1-a<x<a.又不等式組的整數(shù)解恰有2個(gè)，所以a-(1-a)>1且a-(1-a)3，所以1<a2，并且當(dāng)1<a2時(shí)，不等式組恰有兩個(gè)整數(shù)解0，1。綜上，a的取值范圍是1<a2.來源：08年數(shù)學(xué)競賽專題二題型：解答題，難度：較難已知f(x)=ax2+bx+c在0，1上滿足|f(x)|1,試求|a|+|b|+|c|的最大值。答案：因?yàn)椋?，所以|a|+|b|+|c|=|2f(1)+2f(0)-4f|+|4f-f(1)-3f(0)|+|f(0)| 3+|f(1)|+8|f|+6|f(0)|17.另一方面，對(duì)于二次函數(shù)f(x)=8x

4、2-8x+1，當(dāng)x0,1時(shí)，|f(x)|1,且|a|+|b|+|c|=17，所以|a|+|b|+|c|的最大值為17。來源：08年數(shù)學(xué)競賽專題二題型：解答題，難度：較難對(duì)任意x0,1,有 成立，求k的取值范圍。答案：當(dāng)x0,1時(shí)，有x2-2kx+k-4<0成立。記f(x)=x2-2kx+k-4，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)-3<k<4.記g(x)=x2-kx-k+3. 當(dāng)x0,1時(shí)，g(x)>0，由g(1)>0可得k<2.）當(dāng)0k<2時(shí)，0，1，g(x)>0當(dāng)且僅當(dāng)，即-6<k<2，亦即0k<2；）當(dāng)k<0時(shí)，g(x)>0當(dāng)且僅當(dāng)g(

5、1)>0，即k<2。綜上所述，對(duì)任意x0，1，不等式組成立。當(dāng)且僅當(dāng)-3<k<2.來源：08年數(shù)學(xué)競賽專題二題型：解答題，難度：較難設(shè)f(x)=ax2+bx+c，a,b,cR, a>100，試問滿足|f(x)|50的整數(shù)x最多有幾個(gè)？答案：f(x)=a(x-x0)2+f(x0)。）若|f(x0)|50，因?yàn)闈M足|n-x0|<1的整數(shù)至多有2個(gè)，所以滿足|f(x)|50的整數(shù)x至多有2個(gè)。）若|f(x0)|>50，若f(x0)>50，則|f(x)|50無解；若f(x0)<-50，設(shè)|f(n)|50,|f(n+k)|50,若k1,則|f(n+k

6、)-f(n)|=|ak(2n+k-2x0)|100.則k|2n+k-2x0|<1，若nx0，則k無解，所以滿足nx0且|f(x)|50的整數(shù)x至多有1個(gè)。同理可得若n<n+kx0,則若k1,|k(2n+k-2k0)|<1. 因?yàn)閨k(2n+k-2k0)|=|k(2n+2k-2k0-k)|>|k|1，所以滿足的k也不存在。所以滿足|f(x)|50的整數(shù)最多有2個(gè)。例如，f(x)=101,當(dāng)x=0,1時(shí)有|f(x)|<50.來源：08年數(shù)學(xué)競賽專題二題型：解答題，難度：較難解關(guān)于x的不等式：mx2-3(m+1)x+9>0(mR)答案：(1)m=0時(shí) -3x+9&

7、gt;0 x<3(2)m3時(shí) 當(dāng)m<0時(shí) 當(dāng)m>0時(shí)10 0<m<1時(shí)， 20 m=1時(shí)，x3 30 m>1時(shí)，x>3或來源：題型：解答題，難度：中檔已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（為常數(shù)）。（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求在上的最小值，及取得最小值時(shí)的，并猜想在上的單調(diào)遞增區(qū)間（不必證明）；（3）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)的圖象上至少有一個(gè)點(diǎn)落在直線上。答案：（1）時(shí)， 則 函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，即，即 ，又可知 函數(shù)的解析式為 ，（2）， ，即 時(shí)， 。猜想在上的單調(diào)遞增區(qū)間為。（3）時(shí)，任取，在上單調(diào)遞增，即，即，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象上至少有一個(gè)點(diǎn)落

8、在直線上。來源：08年高考探索性專題題型：解答題，難度：較難設(shè)，求滿足下列條件的實(shí)數(shù)的值：至少有一個(gè)正數(shù)，使的定義域和值域相同答案：若a0，則對(duì)每個(gè)正數(shù)b，的定義域和值域都是，故a0滿足條件若a0，則對(duì)每個(gè)正數(shù)b，的定義域D，但的值域A故DA，即a0不合條件若a0，則對(duì)每個(gè)正數(shù)b，的定義域D，由于此時(shí)，故的值域?yàn)樗?，綜合所述，a的值為0或4來源：題型：解答題，難度：中檔已知a, b, cR, f(x)=ax2+bx+c, g(x)=ax+b, 當(dāng)|x|1時(shí)，|f(x)|1,(1)求證：|c|1;(2)求證：當(dāng)|x|1時(shí)，|g(x)|2;(3)當(dāng)a>0且|x|1時(shí)，g(x)最大值為2，求

9、f(x).答案：（1）令x=0，則|f(0)|0,于是|c|1。（2）因?yàn)?，解得a=f(1)+f(-1)-2f(0), b=f(1)-f(-1),所以當(dāng)|x|1時(shí)，|g(x)|=|ax+b|=|f(1)+f(-1)-2f(0)x+f(1)-f(-1)|=|(x+1)f(1)+(x-1)f(-1)-2xf(0)|x+1|f(1)|+|x-1|f(-1)+|2x|·|f(0)|(|x+1|+|x-1|+2)= (x+1)+(1-x)+2=2.(3)因?yàn)楫?dāng)a>0時(shí)g(x)=ax+b在-1，1上遞增，所以當(dāng)x=1時(shí)，g(x)=2，即g(1)=a+b=2=f(1)-f(0).而-1f(1

10、)1,-1-f(0)1，所以f(1)=1,-f(0)=1，所以c=-1。又當(dāng)|x|1時(shí)，f(x)-1=f(0)，所以在-1，1上，f(0)為f(x)的最小值，所以0=-,所以b=0,a=2。所以f(x)=2x2-1.來源：08年數(shù)學(xué)競賽專題二題型：解答題，難度：中檔設(shè)A=x| 1<x<3，又設(shè)B是關(guān)于x的不等式組的解集，試確定a，b的取值范圍使AB答案：設(shè)f(x)=x22x+a， g(x)=x22bx+5要使AB則必須使f(x)與g(x)在1，3上的圖象均在x軸下方（含x軸），則應(yīng)滿足 即 a3 b3來源：題型：解答題，難度：中檔解關(guān)于x的不等式答案：解：原不等式可化為即6分當(dāng)8分

11、當(dāng)10分當(dāng)12分來源：07年廣西名校聯(lián)考三題型：解答題，難度：容易已知f(x)是定義1,1在上的奇函數(shù)，且f(1) = 1，若a、b Î 1,1，a + b 0，有 >0成立。（1）判斷函數(shù)f(x)在1,1上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；（2）解不等式f(x + )<f( )；（3）若f(x)m22am + 1對(duì)所有x Î 1,1，a Î 1,1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。答案：解：（1）任取x1、x2 Î 1,1且x1<x2，則x2 Î 1,1，又f(x)是奇函數(shù)，于是f(x1)f(x2) = f(x1) + f(x2

12、) = · (x1x2)，2分由已知>0，x1x2<0，得f(x1)f(x2)<0，即f(x1)< f(x2)，故f(x)在1,1上是增函數(shù)。 4分（2）據(jù)函數(shù)f(x)是定義在1,1上的增函數(shù)，不等式f(x + )<f( )等價(jià)于不等式組 Þ ， 7分 原不等式解集為,1)。 8分（3）由（1）的結(jié)論f(x)是1,1上的增函數(shù)，且f(1) = 1，故對(duì)所有的x Î 1,1有f(x)1。根據(jù)已知，對(duì)所有x Î 1,1，a Î 1,1，f(x)m22am + 1的恒成立，應(yīng)有m22am + 11成立，即m22am0，

13、再設(shè)g(a) = 2am + m2對(duì)所有的a Î 1,1，g(a)0成立，只需g(a)在1,1上的最小值大于等于0。 12分當(dāng)m>0時(shí)g(a)為1,1上的減函數(shù)，此時(shí)g(1)最小。由 解得m2；當(dāng)m = 0時(shí)，g(a) = 0，對(duì)a Î 1,1的g(a)0也成立；當(dāng)m<0時(shí)g(a)為1,1上的增函數(shù)，此時(shí)g (1)最小，由 ，解得m2。故m的取值范圍為m2，m = 0或m2。 14分來源：題型：解答題，難度：較難某公司生產(chǎn)的A型商品通過租賃柜臺(tái)進(jìn)入某商場銷售.第一年，商場為吸引廠家，決定免收該年管理費(fèi)，因此，該年A型商品定價(jià)為每件70元，年銷售量為11.8萬件.

14、第二年，商場開始對(duì)該商品征收比率為p%的管理費(fèi)（即銷售100元要征收p元），于是該商品的定價(jià)上升為每件元，預(yù)計(jì)年銷售量將減少p萬件.（1）將第二年商場對(duì)該商品征收的管理費(fèi)y（萬元）表示成p的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；（2）要使第二年商場在此項(xiàng)經(jīng)營中收取的管理費(fèi)不少于14萬元，則商場對(duì)該商品征收管理費(fèi)的比率p%的范圍是多少？（3）第二年，商場在所收管理費(fèi)不少于14萬元的前提下，要讓廠家獲得最大銷售金額，則p應(yīng)為多少？答案：解：（1）依題意，第二年該商品年銷售量為（11.8p）萬件，年銷售收入為（11.8p）萬元，則商場該年對(duì)該商品征收的總管理費(fèi)為（11.8p）p%（萬元）. 3分故所求函數(shù)為

15、:y=（11810p）p. 4分由11.8p0及p0得定義域?yàn)?p. 5分（2）由y14，得（11810p）p14.化簡得p212p+200，即（p2）（p10）0，解得2p10.故當(dāng)比率在2%，10%內(nèi)時(shí)，商場收取的管理費(fèi)將不少于14萬元. 8分（3）第二年，當(dāng)商場收取的管理費(fèi)不少于14萬元時(shí)，廠家的銷售收入為g（p）=（11.8p）（2p10）. 10分g（p）=（11.8p）=700（10+）為減函數(shù)，g（p）max=g（2）=700（萬元）.故當(dāng)比率為2%時(shí)，廠家銷售金額最大，且商場所收管理費(fèi)又不少于14萬元. 12分來源：題型：解答題，難度：較難a是任意的實(shí)數(shù)，解關(guān)于x的不等式（a+

16、3）x2+2ax+a30.答案：解：當(dāng)a+30即a3時(shí)，|3a|a+3|，1， 3分由此得不等式的解集為x|x1，xR；5分當(dāng)a+3=0，即a=3時(shí)，不等式解集為x|x1，xR；7分當(dāng)a+30時(shí)，由（1）=0知1，10分所以a3時(shí)原不等式解集為x|x1或x，xR.12分來源：題型：解答題，難度：較難若集合，則 .答案： 來源：05年重慶題型：填空題，難度：中檔（文科）設(shè)為正數(shù)，則的最小值為_答案：9來源：08年高考武漢市聯(lián)考一題型：填空題，難度：中檔使不等式x2+(a-6)x+9>0當(dāng)|a|1時(shí)恒成立的x的取值范圍是_.答案：x>或x<。不等式是關(guān)于a的一次不等式，問題等價(jià)于

17、，即得。來源：08年數(shù)學(xué)競賽專題二題型：填空題，難度：較難設(shè)A=xx2-3x0，B=xx2-5x+40 那么，AB=_，AB=_答案：x0x4，x1x3來源：1題型：填空題，難度：較易設(shè)a1、a2, b1、b2, c1、c2均為非零實(shí)數(shù)，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0解集分別為M和N，那么“”是“M=N”的_條件。答案：非充分非必要。若，則MN=，則未必有來源：08年數(shù)學(xué)競賽專題二題型：填空題，難度：中檔當(dāng)|x-2|<a時(shí)，不等式|x2-4|<1成立，則正數(shù)a的取值范圍是_.答案：0<a.|x2-4|<1解為或，|x-2|<

18、;a解為2-a<x<2+,所以只有2+a且2-a又2->,所以0<a來源：08年數(shù)學(xué)競賽專題二題型：填空題，難度：中檔方程x2-2(m-1)x+m2-4=0的兩根異號(hào)，則m的取值范圍是_答案：-2<m<2 來源：題型：填空題，難度：中檔已知p: |1-|2, q: x2-2x+1-m20(m>0)，若非p是非q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.答案：m9。非p:x<-2或x>10，非q: x2-2x+1-m2>0，非p是非q的必要不充分條件且等號(hào)不同時(shí)成立。解得m9。來源：08年數(shù)學(xué)競賽專題二題型：填空題，難度：中檔關(guān)于的方程

19、的兩根分別在區(qū)間（0，1）與（1，2）內(nèi).則的取值范圍是 .答案： 來源：題型：填空題，難度：中檔若不等式的解集是，則= 答案：-5 來源：題型：填空題，難度：中檔若關(guān)于x的方程4x2-4x+m=0在-1，1上至少有一個(gè)實(shí)根，則m取值范圍是_.答案：-8m1。因?yàn)?1，1，所以方程無實(shí)根=16（1-m）<0或4+4+m<0，即m>1或m<-8，所以方程至少有一個(gè)實(shí)根-8m1。來源：08年數(shù)學(xué)競賽專題二題型：填空題，難度：中檔若下列三個(gè)方程x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.答

20、案：（-，-1，+）。三個(gè)方程都無實(shí)根等價(jià)于。解得，所以所求a的取值范圍為（-，-1，+）。來源：08年數(shù)學(xué)競賽專題二題型：填空題，難度：中檔不等式ax2+(ab+1)x+b>0的解是1<x<2，則a, b的值是_.答案：或。由條件a<0，=2，1+2=解得a=-1或來源：08年數(shù)學(xué)競賽專題二題型：填空題，難度：中檔若不等式-x2+kx-4<0的解集為R，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_.答案：。若解集為R，則只有k2-1<0且=k2+4(k2-1)<0，解之即得。來源：08年數(shù)學(xué)競賽專題二題型：填空題，難度：中檔二次函數(shù)y=ax2+bx+c(xR)的部分對(duì)應(yīng)值

21、如下表：x-3-2-101234y60-4-6-6-406則不等式ax2+bx+c>0的解集是_.答案：或來源：04年江蘇題型：填空題，難度：中檔使不等式x2-2x-15>0成立的負(fù)值x的范圍是_答案：x<-5來源：題型：填空題，難度：中檔已知x2-5x+6<0，A=x2+5x+6，則A的取值范圍是_答案：20<A<30 來源：題型：填空題，難度：中檔若f(x)=x4+px3+qx2+x對(duì)一切xR都有f(x)x且f(1)=1，則p+q2=_.答案：-1。由f(x) x得x2(x2+px+q)0對(duì)一切xR成立，所以p2-4q0.又f(1)=1，所以p+q+2=

22、1，所以q=-p-1.代入p2-4q0，所以p= -2,q=1。來源：08年數(shù)學(xué)競賽專題二題型：填空題，難度：中檔當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是_.答案：來源：07年高考山東卷(文)題型：填空題，難度：較難若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_；若關(guān)于的不等式的解集不是空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_。答案：來源：04北京市春題型：填空題，難度：中檔不等式的解集是_.答案： 來源：03全國高考題型：填空題，難度：容易不等式x2(a+1)|x|+a0的解集為x|x1或x1，xR，則a的取值范圍為 .答案：a0來源：題型：填空題，難度：中檔已知集合，.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.答案：集合=x|

23、 a1xa+1，=x| x4或x1 .又， ，解得2<a<3，實(shí)數(shù)的取值范圍是(2，3)。來源：07年高考北京卷題型：填空題，難度：中檔集合，則的取值范圍是 .答案：;來源：題型：填空題，難度：中檔設(shè)p：|4x3|1； q：0若 p是 q的必要而不充分的條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 答案：0，來源：1題型：填空題，難度：中檔設(shè)全集為R，若集合A = x|x23x +20 ，集合B = x | logx + log(x + 1)1 ，則是=_；_.答案：x | x1 ；x | x1或x2 來源：題型：填空題，難度：中檔0<b<a+1,若關(guān)于x 的不等式(x-b)2>(

24、ax)2的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，則A.-1<a<0 B.0<a<1 C.1<a<3 D.3<a<6答案：C由題得不等式(x-b)2(ax)2即(a2-1)x2+2bx-b2<0，它的解應(yīng)在兩根之間，故有，不等式的解集為或。若不等式的解集為，又由得，故，即 . 答案：C來源：09年高考天津卷題型：選擇題，難度：中檔已知集合A=x3x-2-x2<0，B=xx-a<0，若BA，則a的取值范圍是 A a1 B 1<a2 C a>2 D a2答案：A 來源：題型：選擇題，難度：較易設(shè)集合P=m|-1<m<0, Q=

25、mR|mx2+4mx-4<0對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則下列關(guān)系中立的是(A) (B) Q P (C)P=Q (D)PQ=答案：A來源：04年湖北題型：選擇題，難度：中檔集合Axx10，B=xx220,全集IR，則A為 （ ）Axx或x Bxx或x1Cx1x Dxx1答案：C來源：題型：選擇題，難度：容易已知集合P= 0, m,Q=x,若PQ,則m等于（ ）A.1 B.2 C.1或 D. 1或2答案：D來源：題型：選擇題，難度：中檔已知集合A=xx2-2x-8<0，B=xx-a<0，若AB=，則a的值所成的集合是： Aaa-2或a4 Baa4Caa-2 Daa>-2答案：C來源：題型：選擇題，難度：中檔已知，則(A)(B)(