高中數學總復習教學案04：導數及其應用

1、高中數學總復習題組法教學案編寫體例第4單元 導數及其應用導 數導數幾何意義導數的運算法則曲線的切線函數的單調性函數的極值、最值多項式的導數一、知識結構 應用二、重點、難點教學重點：運用導數方法判斷函數的單調性和運用導數的幾何意義解決曲線的切線方程問題。教學難點：靈活運用導數知識解決實際問題三、關注的問題對導數概念的理解不到位，對復合函數求導不準確，對函數單調區(qū)間、極值、最值過程不夠熟悉，導致不能靈活解決導數有關問題。四、高考分析及預測 導數屬于新增內容，是高中數學知識的一個重要的交匯點，命題范圍非常廣泛，為高考考查函數提供了廣闊天地，處于一種特殊的地位，不但一定出大題而相應有小題出現。主要考查

2、導數有關的概念、計算和應用。利用導數工具研究函數的有關性質，把導數應用于單調性、極值等傳統(tǒng)、常規(guī)問題的同時，進一步升華到處理與自然數有關的不等式的證明，是函數知識和不等式知識的一個結合體，它的解題又融合了轉化、分類討論、函數與方程、數形結合等數學思想與方法，不但突出了能力的考查，同時也注意了高考重點與熱點，這一切對考查考生的應用能力和創(chuàng)新意識都大有益處。§4.1導數的概念及運算新課標要求1. 了解導數概念的某些實際背景瞬時速度,加速度等),掌握函數在一點處的導數的定義及其幾何意義,理解導函數的概念.2. 熟記基本導數公式,掌握兩個函數和、差、積、商的求導法則,了解復合函數的求導法則,

3、會求某些簡單復合函數的導數.重難點聚焦重點:理解導數的概念及常見函數的導數難點:理解導數與復合函數的導數.高考分析及預測在高考中,常以選擇或填空的形式考查導數的概念,及幾何意義,也以解答題的形式考查與切線有關的綜合性題目,難度不大.再現型題組1.函數的圖像是折線段ABC,其中A.B.C的坐標分別為,則 ， .2. 在高臺跳水運動中,t秒時運動員相對于水面的高度為,則運動員在1秒時的瞬時速度為 ,此時運動狀態(tài)是 3.過P(-1,2)且與曲線在點M(1,1)處的切線平行的直線方程是 .4.求下列函數的導數 (1) (2) (3) 鞏固型題組5.函數的圖像在點M處的切線方程是,= .6.已知曲線求

4、(1).曲線在P(1,1)處的切線方程. (2).曲線過點Q(1,0)的切線方程. (3).滿足斜率為-的切線的方程.提高型題組7.已知直線y=kx與y=lnx有公共點,則k的最大值為 .8在下列四個函數中，滿足性質：“對于區(qū)間（1，2）的任意恒成立的是（ ）. A B C D 9. 設函數的導數是，則數列的前n項和為（ ）A B C D反饋型題組10.,若則a= .11.若曲線的一條切線與垂直,則的方程為 12.曲線在處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為 .13設則( ) A sinx B sinx C cosx D -cosx14.點P是曲線上任一點，則點P到直線的距離的最小值是 。 沾化

5、一中 馮樹華4.2函數的單調性與導數新課標要求1. 借助幾何直觀探索并了解函數的單調性與導數的關系。2. 能利用導數研究函數的單調性，會求不超過三次的多項式函數的單調區(qū)間。重點、難點聚焦1. 在確定函數的單調區(qū)間時，應首先考慮所給函數的定義域，函數的單調區(qū)間應是定義域的子集。2. 當求出函數的單調區(qū)間（如單調增區(qū)間）有多個時，不能把這些區(qū)間取并集。3. （或）是在某一區(qū)間上為增函數（或減函數）的充分不必要條件。高考分析及預測 函數的單調性是函數的一條重要性質，也是高中階段研究的重點，用導數判斷函數的單調性是新課標的要求。在2008年的高考中，絕大部分地區(qū)都在此考點命題。，估計在2009年的高考

6、中，仍將是熱點，應高度重視。題組設計再現型題組1.在某個區(qū)間（a,b）內，如果，那么函數在這個區(qū)間內 ；如果，那么這個函數在這個區(qū)間內 。2.函數的單調遞增區(qū)間 單調遞減區(qū)間 。鞏固型題組3.求函數的單調區(qū)間。4. 已知函數在實數集R上單調遞增，求的取值范圍。提高型題組5. 已知函數 （1）求的單調遞減區(qū)間； （2）若在區(qū)間2，2上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值6.設函數，其中，求的單調區(qū)間。反饋型題組7.下列函數中,在上為增函數的是（ ） ABCD8.函數的單調增區(qū)間為（ ）A. B. C. D. 9.若函數的遞減區(qū)間為，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D.10以下四圖，都是同

7、一坐標系中三次函數及其導函數的圖像，其中一定不正確的序號是（ ）A、B、C、D、11.若在區(qū)間內有且則在內有（ ）A. B. C. D.不能確定12.已知函數. （1）設,討論的單調性； （2）如對任意恒有，求的取值范圍。13. 設函數，已知是奇函數。（）求、的值。（）求的單調區(qū)間與極值。沾化一中 馬海峰§4.3 函數的極值、最值及優(yōu)化問題新課標要求1、結合函數的圖象，了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；2、會用導數求不超過三次的多項式函數的極大值、極小值以及閉區(qū)間上不超過三次的多項式函數最大值、最小值；體會導數方法在研究函數性質中的一般性和有效性3通過使利潤最大、用料最省、

8、效率最高等優(yōu)化問題，體會導數在解決實際問題中的作用重點難點聚焦1、重點：結合函數的圖象，了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求不超過三次的多項式函數的極大值、極小值以及閉區(qū)間上不超過三次的多項式函數最大值、最小值；2、難點：體會導數方法在研究函數性質中的一般性和有效性命題趨勢1、 該節(jié)是2009年高考考查的熱點，主要考查導數在研究函數性質方面的應用，包括求函數的最值、極值，實際問題中的優(yōu)化問題等。2、導數內容和傳統(tǒng)內容中有關函數的單調性，方程根的分布，解析幾何中的切線問題等有機結合，設計綜合性試題，在這方面多下工夫。題組設計再現型題組1、函數在區(qū)間上的最小值為（ ）A B C

9、D2、函數有（ ）A極大值，極小值 B極大值，極小值C極大值，無極小值 D極小值，無極大值3、已知對任意實數，有，且時，則時（ ） A BC D4、已知函數在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，則 5、設，當時，恒成立，則實數的取值范圍為 。鞏固型題組6、已知函數在與時都取得極值(1)求的值與函數的單調區(qū)間；(2)若對，不等式恒成立，求的取值范圍。7、統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量（升）關于行駛速度（千米/小時）的函數解析式可以表示為：已知甲、乙兩地相距100千米 （）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？ （）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙

10、地耗油最少？最少為多少升？提高型題組8、已知在區(qū)間0,1上是增函數,在區(qū)間上是減函數,又()求的解析式;()若在區(qū)間(m0)上恒有x成立,求m的取值范圍。9、已知定義在正實數集上的函數，其中設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同。（I）用表示，并求的最大值；（II）求證：（）。反饋型題組10、函數的最大值為（ ）A B C D11、對于上可導的任意函數，若滿足，則必有（ ）A B. C. D. 12、若函數在處有極大值，則常數的值為 ；13、函數在時有極值，那么的值分別為 ， 。14、用長為18 cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多

11、少時，其體積最大？最大體積是多少？15、設函數（）求的最小值；（）若對恒成立，求實數的取值范圍沾化一中 王建國4.4定積分概念及微積分原理新課標要求1、 了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念。2、 了解微積分定理的含義。重點難點聚焦1、定積分幾何意義：表示y=f(x)與x軸，x=a,x=b所圍成曲邊梯形的面積表示y=f(x)與x軸，x=a,x=b所圍成曲邊梯形的面積的相反數2、微積分基本定理如果函數F(x)是連續(xù)函數f(x)在區(qū)間a,b上的一個原函數，則此公式進一步揭示了定積分與原函數之間的聯(lián)系。3、定積分的計算定義法：分割近似代替求和取極限利用定積分幾何意義微積分基本

12、公式換元法與分部積分法4、定積分的基本應用：（1）定積分在幾何上的應用計算平面圖形的面積（2）定積分在物理上的應用：變速直線運動的路程，變力作功。高考分析及預測本部分知識以選擇、填空題為主考查定積分的幾何意義、基本性質和微積分基本定理題組設計再現型題足1、下列等于1的積分是（ ）A B C D2、已知自由落體運動的速率，則落體運動從到所走的路程為（ ）A B C D3、曲線與坐標周圍成的面積（ ）A4 B2 C D34、=（ ）A B2e C D5、求由圍成的曲邊梯形的面積時，若選擇為積分變量，則積分區(qū)間為（）A0，B0，2 C1，2D0，16、如果1N力能拉長彈簧1cm，為將彈簧拉長6cm，

13、所耗費的功是（ ）A0.18 B0.26 C0.12 D0.2鞏固型題組7、計算下列定積分的值（1）；（2）；（3）； （4）8、求由曲線與，所圍成的平面圖形的面積提高型題組9、設y=f（x）是二次函數,方程f（x）=0有兩個相等的實根，且=2x+2.（1）求y=f（x）的表達式；（2）求y=f（x）的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積.（2）若直線x=t（0t1把y=f（x）的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積二等分，求t的值.10、拋物線y=ax2bx在第一象限內與直線xy=4相切此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積記為S求使S達到最大值的a、b值，并求Smax反饋型題組11求曲線與軸所圍成的圖形的面

14、積12一物體按規(guī)律xbt3作直線運動，式中x為在時間t內通過的距離，媒質的阻力正比于速度的平方試求物體由x0運動到xa時，阻力所作的功【歸納小結】1定積分的概念，要抓住定義中的本質內容，分割、近似、求和、取極限，并能解釋定義和有關性質的幾何意義，幫助加深和理解。2定積分應用主要表現在：（1）求平面圖形的面積（2）變速直線運動的路程（3）變力作功。應通過足夠例子熟練運用定積分表示一些幾何、物理量。沾化一中 朱忠祥第4單元 導數及其應用45分鐘單元綜合測試題一、選擇題1、函數f(x)=x3+ax+1在（-,-1）上為增函數，在（-1，1）上為減函數，則f(1)為( )A B.1 C. D.-12、

15、已知二次函數的導數為，對于任意實數有則的最小值（ ）                         3、設函數是上以5為周期的可導偶函數，則曲線在的切線的斜率為（ ）                    &

16、#160;       4設在內單調遞增，則是的（）充分不必要條件 必要不充分條件 充分必要條件  既不充分也不必要條件5、曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為（ ）A B C D6、在函數的圖象上，其切線的傾斜角小于的點中，坐標為整數的點的個數是（ ） A3B2 C1D0二、填空題7、若函數有且僅有一個極值點，求實數的取值范圍 8、已知函數在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，則_9、已知曲線，則_。10、P是拋物線上的點，若過點P的切線方程與直線垂直，則過P點處的切線方程是_。 三、解答題11、設，令

17、，討論在內的單調性。 12、如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為，短半軸長為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為（I）求面積以為自變量的函數式，并寫出其定義域；（II）求面積的最大值 沾化一中 李方成§4.1導數的概念及運算答案或提示再現型題組1 答案或提示 2；2基礎知識聚焦 函數在某一點處的導數的定義為及其變形,特別注意函數值的增量與自變量的增量.幾何意義表示曲線在點處的切線的斜率.2答案或提示-3.3m/s 以3.3m/s的速率下降?；A知識聚焦 此題考察導數的物理意義,速度是位移對時間的導數3. 答案或提示 基礎

18、知識聚焦此題考察函數在某一點處的切線方程的求法。即求切線的斜率4答案或提示（1） （2） （3） 基礎知識聚焦要熟記常見函數的求導公式及導數運算的法則。在求復合函數的導數時關鍵是分清函數的復合關系逐步求導直到最后，把中間變量轉變?yōu)樽宰兞康暮瘮怠? . 解 點M在上又 點評 切點既在曲線上又在切線上,以及切線得我斜率為,這三點往往用在解與切線有關的題目.6.解(1),P(1,1)是切點曲線在P處的切線方程是(2)顯然Q(1,0)不在曲線上,則可設過該點的切線的切點是,則該切線的斜率是.則切線的方程為將Q(1,0)代入上面方程得,故所求方程為.(3).設切點得坐標為A,則切線得斜率為,解得所以切線

19、方程為點評 不管是求函數圖像在某點處得切線方程還是求過某點得切線方程,首先都要求(或設)切點得坐標,得出切線得斜率,在解決問題.7.解：求k的最大值就是求相切時切線的斜率設切點為,則,點評 把所求問題轉化為與切線有關的問題.8.選A.解 由,即-1<k<1,A中,當時滿足題意.B中 不滿足題意C中,當x =2時,不滿足題意.D中不滿足題意.點評本題考查函數的性質及導數的應用.9.解選A.由題意得所以數列的前n項和為：點評 本題考查函數的導數的定義及數列的求和反饋型題組10答案或提示11答案或提示y=4x-312. 答案或提示13. . 答案或提示A14. . 答案或提示 4.2函數

20、的單調性與導數（解答部分）再現型題組1. 解答：單調遞增 單調遞減【評析】與為增函數的關系。能推出為增函數，但反之不一定。如函數在上單調遞增，但，是為增函數的充分不必要條件。時，與為增函數的關系。若將的根作為分界點，因為規(guī)定，即摳去了分界點，此時為增函數，就一定有。當時，是為增函數的充分必要條件。與為增函數的關系。為增函數，一定可以推出，但反之不一定，因為，即為或。當函數在某個區(qū)間內恒有，則為常數，函數不具有單調性。是為增函數的必要不充分條件。2. 解答：單調遞增區(qū)間 單調遞減區(qū)間【評析】函數的單調遞增區(qū)間是兩個區(qū)間，但是不能寫成。有關函數單調區(qū)間的合并主要依據是函數在單調遞增，在單調遞增，又

21、知函數在處連續(xù)，因此在單調遞增。鞏固型題組3. 解答：函數的定義域為令則>0或.函數的單調遞增區(qū)間為和.令則<0.且函數的單調遞減區(qū)間為和另解：可以結合函數的圖像與性質來解決。【評析】依據導數在某一區(qū)間內的符號來確定函數的單調區(qū)間，體現了形象思維的直觀性和運動性，解決這類問題，如果僅利用函數單調性的定義來確定函數的單調區(qū)間，則運算復雜且難以找準。4.解答1： 因為f (x)=2x-a 令2x-a<0得x<a2要使f(x)在(，1)上是減函數,解答2： 因為f (x)=2x-a要使f(x)在(，1)上是減函數, 只要f (x)2x-a在(，1)上恒小于0即 2x-a0 在

22、(，1)上恒成立.即 a>2x在(，1)上恒成立.因為x<1 所以2x<2 因此a2【評析】主要考查，與函數單調性的關系提高型題組5.解答：（1）令所以函數的單調遞減區(qū)間為（，1）和（3，+）（2）因為所以因為在（1，3）上>0，所以在1，2上單調遞增，又由于在2，1上單調遞減，因此f（2）和f（1）分別是在區(qū)間2，2上的最大值和最小值于是有22+a=20，解得a=2。故因此f（1）=1+392=7，即函數在區(qū)間2，2上的最小值為7。【評析】函數的單調性與極值最值結合是高考中的重點.6.解答:由已知得函數的定義域為，且（1）當時，函數在上單調遞減，（2）當時，由解得、隨

23、的變化情況如下表0+極小值從上表可知當時，函數在上單調遞減.當時，函數在上單調遞增.綜上所述：當時，函數在上單調遞減.當時，函數在上單調遞減，函數在上單調遞增.【評析】考查應用導求函數的單調性，對常用函數的導數公式一定要熟練掌握。反饋型題組7.解答：B8解答：D【評析】注意單調區(qū)間不要用并集。9.解答：A【評析】在求函數的單調遞減區(qū)間時注意對a進行分類討論，且是函數單調遞減區(qū)間的子集。10.解答：C【評析】利用數形結合在解決導數與函數的單調性問題上有很重要的作用.11.解答：A【評析】是函數單調遞增的充分不必要條件。12.解答：（1）的定義域為，對求導得.當時，在和上均大于0，所以在上為增函數

24、.當時，在上為增函數.當時，令解得當變化時，和的變化情況如下表： 在上為增函數，在為減函數.（2）當時，由（1）知：對任意恒有當時，取則由（1）知當時，對任意恒有且得綜上當且僅當時，對任意恒有【評析】注意運用導數求解函數的單調區(qū)間的一般步驟已知 （1）分析 的定義域； （2）求導數 （3）解不等式，解集在定義域內的部分為增區(qū)間（4）解不等式，解集在定義域內的部分為減區(qū)間函數解析式中有參數時，注意對參數的分類討論.13. 【解析】：（），。從而是一個奇函數，所以得，由奇函數定義得；（）由（）知，從而，由此可知，和是函數是單調遞增區(qū)間；是函數是單調遞減區(qū)間；在時，取得極大值，極大值為，在時，取得極

25、小值，極小值為。§4.3函數的極值、最值及優(yōu)化問題（解答部分）再現型題組1、【提示或答案】D 得而端點的函數值，得 【基礎知識聚焦】考查利用導數求最值2、【提示或答案】C ，當時，；當時， 當時，；取不到，無極小值 【基礎知識聚焦】考查利用導數求極值3、【提示或答案】B ,所以為奇函數，為偶函數。那么 為偶函數，為奇函數。利用對稱性，故選B。【基礎知識聚焦】考查函數的單調性和奇偶性以及導數在這方面的作用。4、【提示或答案】32 解得： 為極大值，為極小值。計算 ， 【基礎知識聚焦】考查函數在必區(qū)間上的最值問題5、【提示或答案】 時，【基礎知識聚焦】考查利用導數求最值鞏固型題組6、 解

26、：（1）由，得，函數的單調區(qū)間如下表：­極大值¯極小值­所以函數的遞增區(qū)間是與,遞減區(qū)間是；（2），當時，為極大值，而，則為最大值，要使恒成立，則只需要，得?！军c評】在利用導數求極值的過程中要注意嚴格按步驟。 7、解：（I）當時，汽車從甲地到乙地行駛了小時， 要耗油（升）。 答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升。 （II）當速度為千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設耗油量為升， 依題意得 令得 當時，是減函數； 當時，是增函數。 當時，取到極小值 因為在上只有一個極值，所以它是最小值。 答：當汽車以80千米/小時的速度勻速

27、行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升。【點評】在利用導數求最值的過程中要注意嚴格按步驟，注意格式規(guī)范，步驟完整。提高型題組8、解：（），由已知，即解得，（）令，即，或又在區(qū)間上恒成立，【點評】 考查導數在函數求最值的作用，注意體會導數的優(yōu)越性，注意總結這一類問題的解決方法。9、解：（）設與在公共點處的切線相同，由題意，即由得：，或（舍去）即有令，則于是當，即時，；當，即時，故在為增函數，在為減函數，于是在的最大值為（）設，則故在為減函數，在為增函數，于是函數在上的最小值是故當時，有，即當時，【點評】本小題主要考查函數、不等式和導數的應用等知識，考查綜合運用數學知識解決問題的能力。課

28、堂小結 1、函數的極值和最值是有區(qū)別和聯(lián)系的：函數的極值是一個局部概念，而最值是某個區(qū)間上的整體概念，函數的極值可以有多個，而函數的最值最多有一個。2、在求可導函數的最值時，不必討論導數為零的點是否為極值點，而直接將導數為零的點與端點處的函數值比較即可。反饋型題組10、A 11、C 12、6 13、4，-1114、解：設長方體的寬為x（m），則長為2x(m)，高為.故長方體的體積為從而令V（x）0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.當0x1時，V（x）0；當1x時，V（x）0，故在x=1處V（x）取得極大值，并且這個極大值就是V（x）的最大值。從而最大體積VV（x）9×12-6

29、×13（m3），此時長方體的長為2 m，高為1.5 m.答：當長方體的長為2 m時，寬為1 m，高為1.5 m時，體積最大，最大體積為3 m3。15、解：（），當時，取最小值，即（）令，由得，（不合題意，舍去）當變化時，的變化情況如下表：遞增極大值遞減在內有最大值在內恒成立等價于在內恒成立，即等價于，所以的取值范圍為 4.4定積分概念及微積分原理答案部分再現型題組1、C 2、C 3、D 4、D 5、B 6、A鞏固型題組7【提示或答案】（1）（2）（3） （4） 如圖是 圓面積：積分 是圖中陰影部分的面積 = 8【提示或答案】【點評】定積分計算題為近幾年高考的考查重點。提高型題組9【提示或答案】解：（1）設f（x）=ax2+bx+c，則f（x）=2ax+b，又已知f（x）=2x+2a=1，b=2.f（x）=x2+2x+c又方程f（x）=0有兩個相等實根，判別式=44c=0，即c=1.故f（x）=x2+2x+1.（2）依題意，有所求面積=.（3）依題意，有，t3+t2t+=t3t2+t，2t36t2+6t1=0，2（t1）3=1，于是t=1.【點評】：本題考查導數和積分的基本概念.10【提示或答案】解 依題設可知拋物線為凸形，它與x軸的交點的橫坐標分別為x1=0，x2=b/a，所以(1)又直線xy=4與拋物線y=ax2bx相切，即它們有唯