彈性力學(xué)理論基礎(chǔ)的建立者

1、彈性力學(xué)理論基礎(chǔ)的建立者柯西之前的研究18世紀(jì)，理性力學(xué)迅速發(fā)展，成為微積分學(xué)應(yīng)用的一個(gè)特殊領(lǐng)域 1788年，拉格朗日的分析力學(xué)(Mcanique analytique)出版書中不借助幾何圖形，只從虛位移原理出發(fā)推導(dǎo)出全部質(zhì)點(diǎn)系力學(xué)WR哈密頓(Hamilton)曾說這本書是“科學(xué)詩篇”在 1811年的增訂第 2版中，拉格朗日通過把固體或流體看成無窮多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)，進(jìn)一步研究了連續(xù)固體和流體力學(xué)在此之前，歐拉已建立了流體力學(xué)基本方程組但在當(dāng)時(shí)，固體力學(xué)還局限于不可變形的物體19世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家們開始研究彈性面的平衡和運(yùn)動S熱爾曼(Germain)和泊松于1815年各自獨(dú)立地得到了各向同性的可撓

2、彈性表面的方程稍后，CLMH納維爾(Navier)于1820年向科學(xué)院遞交了引人注目的論文，應(yīng)用拉格朗日和JBJ傅里葉(Fourier)的分析方法，研究有負(fù)載的彈性板在不忽略其厚度時(shí)的微小變形但他把由伸縮引起的彈性力與由彎曲引起的力完全分開，假定前者總沿它所作用的截面的法向，而這在一般情況下是不成立的他于1821年寫的論文，使用了分子模型，是彈性論中極富創(chuàng)造性的研究，但此文直到1827年才發(fā)表當(dāng)時(shí)應(yīng)力和應(yīng)變概念尚未建立，其特性更未得到數(shù)量刻畫由于未能把應(yīng)力表示為變形的函數(shù)，連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基本方程難于應(yīng)用到彈性體上?？挛饔?8221830年間發(fā)表的一系列論文，使用連續(xù)物質(zhì)和應(yīng)力-應(yīng)變模型，成功地

3、解決了這些問題應(yīng)力柯西把應(yīng)力規(guī)定為由外力和物體變形等因素引起的物體內(nèi)部單位面積截面上的內(nèi)力他認(rèn)為，對物體內(nèi)任一閉曲面S，在研究S的外部對內(nèi)部的作用時(shí)，可以忽略物體各部分的相互體力，等價(jià)地用定義在S上的應(yīng)力場來代替這可使計(jì)算大為簡化，并為實(shí)驗(yàn)證實(shí)由于歐拉已有類似想法，所以現(xiàn)代稱它為歐拉-柯西應(yīng)力原理對于物體中任一點(diǎn)P，柯西通過點(diǎn)P處三個(gè)分別平行于坐標(biāo)面的截面上的應(yīng)力來描述該點(diǎn)處任一截面上的應(yīng)力分射以，xy，xz(yx，yy，yz；zx，zy，zz)表示點(diǎn)P處平行于yz(zx，xy)坐標(biāo)面的截面上的應(yīng)力的x，y，z分量，柯西得到點(diǎn)P處法向量方向余弦為vx，vy，vz的截面上應(yīng)力vy的分量為vx=v

4、xxxvyyx+vzzx，vy=vxxyvyyyvzzy，vz=vxxzvyyzvzzz，1 / 11現(xiàn)稱為柯西斜面應(yīng)力公式由于xy=yx，yz=zy，xz=zx，9個(gè)量xx，zz中只有6個(gè)是獨(dú)立的用現(xiàn)代語言，這9個(gè)量構(gòu)成一個(gè)2階對稱張量應(yīng)力張量vy沿截面法向的分量為在點(diǎn)P取所有可能的截面，沿法向取長度為vn的向徑，則其端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)二次曲面，現(xiàn)稱為柯西應(yīng)力二次曲面在以此二次曲面三個(gè)互相垂直的軸為法向的截面上，應(yīng)力垂直于截面這就是柯西引入的主應(yīng)力以這3個(gè)軸作為坐標(biāo)軸，應(yīng)力矩陣成為對角矩陣于是，求一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)歸結(jié)為求3個(gè)主應(yīng)力應(yīng)變與幾何方程柯西把應(yīng)變規(guī)定為在外力作用下物體局部的相對變形對于微小

5、變形，他用類似于研究應(yīng)力的方法研究一點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)，指出它可用6個(gè)分量xx，yy，zz，xy，yz，zx描繪，現(xiàn)稱為柯西應(yīng)變張量或小應(yīng)變張量設(shè)，分別為x，y，z方向的位移分量，他用略去高階無窮小的方法得到反映應(yīng)變與位移之間關(guān)系的幾何方程對于應(yīng)變，同樣可構(gòu)造應(yīng)變二次曲面，建立主應(yīng)變概念應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系對于微小變形，柯西假定主應(yīng)力分別沿主應(yīng)變方向起初他考慮各向同性情形，此時(shí)3個(gè)主應(yīng)力與主應(yīng)變成等比例，由此得到用線性表示或用線性表示的公式，其中有兩個(gè)常數(shù)后來他進(jìn)而研究各向異性情形，此時(shí)用線性表示的公式中有34=81個(gè)分量即81個(gè)彈性常數(shù)由對稱性，他推出其中只有36個(gè)是獨(dú)立的(文獻(xiàn)1，(2)9，p

6、p 342372)這些公式是胡克定律的推廣，現(xiàn)在通稱為廣義胡克定律彈性體運(yùn)動和平衡方程在1828年關(guān)于彈性體與非彈性體內(nèi)部運(yùn)動和平衡的論文中，對各向同性物體內(nèi)任何一點(diǎn)，柯西得到度，他還寫出了非各向同性的彈性體的運(yùn)動和平衡方程總之，柯西確定了應(yīng)力和應(yīng)力分量、應(yīng)變和應(yīng)變分量概念，建立了彈性力學(xué)的幾何方程、運(yùn)動和平衡方程、各向同性及各向異性材料的廣義胡克規(guī)律，從而奠定了彈性力學(xué)的理論基礎(chǔ)，成為19世紀(jì)繼拉普拉斯之后法國數(shù)學(xué)物理學(xué)派最杰出的代表多產(chǎn)的科學(xué)家柯西全集柯西是僅次于歐拉的多產(chǎn)數(shù)學(xué)家，發(fā)表論文800篇以上，其中純數(shù)學(xué)約占65，幾乎涉及當(dāng)時(shí)所有數(shù)學(xué)分支；數(shù)學(xué)物理(力學(xué)、光學(xué)、天文學(xué))約占3518

7、82年起，巴黎科學(xué)院開始出版柯西全集，把他的論文按所登載的期刊分類，同一種期刊上的則按發(fā)表時(shí)間順序排列全集凡27卷，分兩個(gè)系列第一系列共12卷，發(fā)行于18821911年，包括發(fā)表于巴黎科學(xué)院刊物上的論文第二系列共15卷第1，2兩卷是發(fā)表于其他科學(xué)期刊上的論文；第3，4，5卷是他寫的教材；第6至14卷是他個(gè)人出版的刊物51期數(shù)學(xué)演習(xí)， 5期分析概要(Resums analytiques)， 8期數(shù)學(xué)新演習(xí)和48期分析和數(shù)學(xué)物理演習(xí)第15卷于1974年問世，主要包含他以小冊子或石印形式發(fā)表的著作全集中有8篇文章談及教育、犯罪和宗教信仰問題；其他非科學(xué)著作未收入全集柯西1824年在綜合工科學(xué)校講授第

8、二學(xué)年分析的講義已由C吉蘭(Gilain)編輯出版他的大部分手稿和信件存放于巴黎科學(xué)院檔案館在柯西生前和身后，不斷有人批評他發(fā)表過多；事實(shí)上他也確實(shí)發(fā)表了一些價(jià)值很小或內(nèi)容重復(fù)的文章，然而他的絕大多數(shù)論著都顯示了一位多才多藝的學(xué)者對科學(xué)的卓越貢獻(xiàn)下面介紹他在前述三個(gè)領(lǐng)域外的主要工作常微分方程柯西在歷史上首次研究了常微分方程解的局部性態(tài)給定微分方程y=f(x，y)及初始條件y(x0)=y0，在f連續(xù)可微的假定下，他用類似于歐拉折線的方法構(gòu)造逼近解，利用微分中值定理估計(jì)逼近解之間差的上界，嚴(yán)格證明了在以x0為中心的一個(gè)小區(qū)間上逼近解收斂，其極限函數(shù)即為所提問題的解他指出這個(gè)方法也適用于常微分方程組

9、柯西還給出了具有非唯一解的初值問題的例子，表明他已洞察到微分方程論的本質(zhì)柯西的另一貢獻(xiàn)是他所稱的“界限演算”即現(xiàn)在通稱的“強(qiáng)函數(shù)法”或“強(qiáng)級數(shù)法”他指出，對以前所用的微分方程積分法，“只要人們不提供保證所得級數(shù)收斂且其和是滿足給定方程的函數(shù)的手段，就往往是虛幻的”在研究f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)的鄰域內(nèi)可展開為冪級數(shù)的微分方程y=f(x，y)時(shí)，他用y=F(x，y)與之比較，其中F滿足：如果f(x，y)=ckj(x-x0)k(y-y0)j，F(xiàn)(x，y)=Ckj(x-x0)k(y-y0)j，則對一切k，j有|ckj|Ckj他證明，如果y=F(x，y)在x0的鄰域內(nèi)有可展開為冪級數(shù)的解，則y=

10、f(x，y)在該鄰域內(nèi)也有可展開為冪級數(shù)的解；他并且給出了選取強(qiáng)函數(shù)的一般方法(文獻(xiàn)1，(1)2，6，7)得到其中C是任一包圍F所有零點(diǎn)的圍道，是任一多項(xiàng)式(文獻(xiàn)1，(1)4，p370)n維向量，A是給定的n階矩陣)，他引進(jìn)S(s)=det(A-sI)(I是單位矩陣)，得到所給方程組在初始條件x(0)=下的解(文獻(xiàn)1，(1)5，6)偏微分方程柯西與JF普法夫(Pfaff)同時(shí)(1819年)發(fā)現(xiàn)了一階偏微分PP399465)柯西把傅里葉變換應(yīng)用于他在研究流體力學(xué)、彈性論和光學(xué)中遇到的常系數(shù)線性偏微分方程他在 1815年的論文中已正確寫出了傅里葉變換的反演公式(傅里葉于1807和1811年已得到這

11、些公式，但直到1824至1826年才發(fā)表)他還引進(jìn)了積分號下的收斂因子和奇異因子(相當(dāng)于函數(shù))在大量使用傅里葉變換方面，柯西超過了泊松以至傅里葉本人1821年后，柯西考慮了寫成算子形式的線性偏微分方程其中F是n1元多項(xiàng)式他發(fā)現(xiàn)，對于滿足F(w1，wn，s)這類指數(shù)形式的解迭加，以便用傅里葉變換得到通解對于波動方程，這就是平面諧波的迭加當(dāng)給定初始條件時(shí)，他得到了寫為圍道積分形式的解(文獻(xiàn)1，(2)1，2)柯西于1842年考慮了一階線性偏微分方程組的初值問題：線性的，wk在該鄰域內(nèi)也解析，則所給問題存在唯一解，并可展開為局部收斂的冪級數(shù)(文獻(xiàn)1，(1)6，pp461470)后來CB科瓦列夫斯卡婭(

12、)于1875年重新發(fā)現(xiàn)和證明了這個(gè)結(jié)果群論E伽羅瓦(Galois)使代數(shù)研究的性質(zhì)起了根本的變化，而柯西是伽羅瓦的先驅(qū)者之一他在 1812年關(guān)于對稱函數(shù)的論文中證明，n元有理函數(shù)能取的不同值的數(shù)目，或者不大于2，或者不小于包含于n中的最大素?cái)?shù)p柯西與拉格朗日、P魯菲尼(Ruffini)同為最早研究代換群的數(shù)學(xué)家柯西定義了代換之積，引進(jìn)單位代換、逆代換、相似代換、代換的階以及共軛代換系等概念，證明P與Q相似當(dāng)且僅當(dāng)存在代換 R滿足Q=P-1RP；任一代換群的階可被群中任一代換的階整除；n個(gè)變量的代換構(gòu)成的任何群的階是n！的個(gè)因子(此點(diǎn)其實(shí)已為拉格朗日證明)；當(dāng)n4時(shí)，n個(gè)變量的一切代換構(gòu)成的群S

13、n的子群H在Sn中的指數(shù)或者是2，或者至少是n；如果素?cái)?shù)p整除一有限群的階，則在群中存在p階元刊載這些結(jié)果的論文發(fā)表于18451846年(文獻(xiàn)1，(1)9，10及文獻(xiàn)13)，當(dāng)時(shí)即得到廣泛傳播，對群論的發(fā)展有相當(dāng)大的影響行列式萊布尼茨、拉格朗日、拉普拉斯等人都研究過行列式在19世紀(jì)，很大程度上是柯西使它得到持續(xù)發(fā)展事實(shí)上，dterminant(行列式)這個(gè)術(shù)語就是他引入的與現(xiàn)在通常的做法不同，柯西于1812年從n個(gè)元或數(shù)a1，an出發(fā)，作所有不同元之差的積a1a2an(a2-a1)(a3-a1)(an-a1)(an-a2)(an-an-1)；對于這個(gè)積中各項(xiàng)所把這樣改寫后得到的表示式定義為一個(gè)

14、行列式，記作S(a11a22ann)然后他把所得式中n2個(gè)量排成正方形表a11 a12 a1na21 a22a2nan1an2ann稱這n2個(gè)量構(gòu)成一個(gè)“n階對稱系”，并用循環(huán)代換給出確定各項(xiàng)符號的法則他引進(jìn)共軛元、主元等概念，導(dǎo)出行列式的許多性質(zhì)他還把行列式用于幾何與物理問題，例如求平行六面體體積在與波有關(guān)的問列式 數(shù)論柯西在數(shù)論中也得出不少結(jié)果或給出一些已有結(jié)論的新證明1813年，他給出Pde費(fèi)馬(Fermat)關(guān)于每個(gè)正整數(shù)是m個(gè)m角數(shù)之和這一論斷的第一個(gè)證明；他還得到，除4個(gè)數(shù)外，所有其余的m角數(shù)均可取0或1(文獻(xiàn)1，(2)6，pp320353)1840年，他證明若p是形如 4l 3的

15、素?cái)?shù)， A是p的二次剩余， B是p的二次其中 B為伯努利數(shù)(文獻(xiàn)1，(1)3，p172)他還得到，如果余的數(shù)目，則其中 a，b大于0小于n且(a/n)=1，(b/n)=-1對n=4l1也有類似公式他由此得到，對n=4l3，其中h(-n)是真本原類的個(gè)數(shù)該式稱為柯西類數(shù)公式(文獻(xiàn)1，(1)3，p388)解析幾何柯西有效地應(yīng)用了直線和平面的法式方程，給出了空間直線方程的參數(shù)形式他研究了二次曲面的分類，完整地討論了徑面和中心問題，完善了歐拉、蒙日和JNP阿歇特(Hachette)的有關(guān)工作他在本質(zhì)上給出了現(xiàn)在教科書上通用的由標(biāo)準(zhǔn)型二次項(xiàng)系數(shù)的符號來分類的結(jié)果他還研究了單葉雙曲面的母線(文獻(xiàn)1，(2)

16、5，8)微分幾何歐拉給出了空間曲線的弧微分公式，柯西進(jìn)一步用弧長作為參數(shù)，使x，y，z的作用對稱化他定義了位于密切平面上的主法線，指出其于1847年，JA塞雷(Serret)于1850年獨(dú)立于柯西給出了通稱的弗雷內(nèi)-塞雷公式柯西證明曲面上通過某點(diǎn)的所有曲線在該點(diǎn)的切線位于同一平面上，此即切平面設(shè)曲面方程為u(x，y，z)=0，他寫出點(diǎn)(x，y，z)處的切平面方程為誤差論拉普拉斯研究了如何使n個(gè)觀察數(shù)據(jù)(xk，yk)(k=1，2，n)擬合于直線 y=ax+b柯西在拉普拉斯建議下用類似方法研究了三維數(shù)據(jù)擬合 z=axbyc的問題(文獻(xiàn)1，(2)1，2)，他提出使一組觀察數(shù)據(jù)擬合于多項(xiàng)式 u=axb

17、ycz，其中項(xiàng)數(shù)依賴于擬合的優(yōu)度，在計(jì)算過程中確定他假定誤差k=uk-axk-byk-czk-具有概率密度f，并采用了一些不大可靠的假設(shè)，結(jié)果得出一個(gè)著名的概率密度：若f滿足他所作的假設(shè)，則它具有傅里葉變換()=eN，N為常數(shù)當(dāng)N=1時(shí)，就得到通稱的柯西概率密度(文獻(xiàn)1，(1)2，pp517)數(shù)值分析象許多同時(shí)代數(shù)學(xué)家一樣，柯西也熱衷于數(shù)值逼近他計(jì)算e到小數(shù)點(diǎn)后7位，并估計(jì)了取e的級數(shù)展開前n項(xiàng)時(shí)所產(chǎn)生的誤差他描述了解方程的迭代方法，并在具體例子中給出誤差估計(jì)對于微分方程和差分方程，他也給出了許多近似解的誤差估計(jì)他首次表述了牛頓求方程根的方法在何種條件下收斂，并借助現(xiàn)稱的柯西-施瓦茲不等式推廣到復(fù)函數(shù)情形，給出了數(shù)值例子他把拉格朗日插值公式推廣到有理函數(shù)，并得到了與高斯、埃爾米特所得結(jié)果類似的三角插值公式(文獻(xiàn)1，(1)5，(2)3)光學(xué)柯西在兩個(gè)方面改進(jìn)了AJ菲涅爾(Fresnel)的理論第一，他從以太-分子作用的更一般的理論出發(fā)，預(yù)言了3條偏振光線的傳播，而菲涅爾認(rèn)為只有2條第二，柯西指出菲涅爾關(guān)于光線中以太分子的振動垂直于偏振平面的看法不對，認(rèn)為偏振平面平行于光線和以太振動的方向柯西還對光的反射和折射提出了自己的看法，并相當(dāng)成功地解釋了雙折射他還試圖在分子基礎(chǔ)上解釋光速對波長的依賴問題(文獻(xiàn)1，(1)2，4，5；(2)2)天體力學(xué)柯西證明了天文學(xué)中出現(xiàn)的一