廣義積分被積函數(shù)的極限

1、廣義積分被積函數(shù)的極限顧敏康 01830535（徐州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系 徐州 221116）摘 要 本文討論了廣義積分的被積函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限情況，這里我總結(jié)出了幾個(gè)的條件.關(guān)鍵詞 廣義積分; 被積函數(shù) ; 極限由文獻(xiàn)1知無(wú)窮積分收斂，則有當(dāng)時(shí)是否成立？反之是否成立？結(jié)果答案都是否定的.例如不存在，但收斂，而，但發(fā)散.由此可見(jiàn)，這一結(jié)果和數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)一般項(xiàng)趨于零是不一致的。廣義積分和級(jí)數(shù)之間有內(nèi)在的聯(lián)系，而在這一點(diǎn)上兩者不一樣，所以一個(gè)自然的問(wèn)題就是廣義積分的被積函數(shù)在什么樣的條件下極限存在且當(dāng)時(shí)為零.引理1 若函數(shù)在連續(xù)，且，則函數(shù)在上一致連續(xù). 證明 已知，即，有 .已知在上連續(xù),

2、根據(jù)一致連續(xù)性定理,則在一致連續(xù),即 有 .于是 都有 .故函數(shù)在上一致連續(xù).引理2 若函數(shù)在區(qū)間滿足李普希茨條件，即，有，其中是常數(shù)，則在上一致連續(xù).2 / 10證明 解不等式得取 于是 則 有故函數(shù)在上一致連續(xù).引理3 若函數(shù)在上可導(dǎo)，且有其中為常數(shù)，則在上一致連續(xù).證明 因?yàn)樵谏峡蓪?dǎo)，對(duì)，則 在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，所以從而 .由引理2知 在上一致連續(xù). 定理1 在上連續(xù)，收斂，則的充分必要條件是在上一致連續(xù).證明 由引理1必要性顯然.充分性 已知在上一致連續(xù)，則（不妨設(shè)），對(duì)，當(dāng)時(shí)，有.又因?yàn)槭諗浚蕦?duì)上述的，當(dāng)時(shí)有對(duì)使且，于是有 ，從而=，即 . 于是 時(shí)有,所以 .例1 對(duì)定義在上的函

3、數(shù),顯然它在上連續(xù),對(duì)無(wú)窮積分,已知函數(shù)在區(qū)間連續(xù),有,所以無(wú)窮積分收斂.于是也收斂.又顯然 ,由引理1知 在上一致連續(xù).推論1 若收斂,在上滿足李普希茨條件，則 . 證明 因?yàn)樵谏蠞M足李普希茨條件，由引理2知 在上一致連續(xù).又 收斂，由定理1.推論2 若收斂，在時(shí)可導(dǎo)且存在，使得，則 . 證明 由于函數(shù)在上可導(dǎo)，且有（其中為常數(shù)）.由引理3知 在上一致連續(xù).又由無(wú)窮積分收斂，由定理1.定理1不僅告訴我們收斂的廣義積分的極限為零的充要條件，而且用它我們可以判定某些函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間上不一致連續(xù). 如收斂，但，則在上不一致連續(xù).若直接證明在上不一致連續(xù)是很困難的. 定理2 若收斂，且當(dāng)時(shí)，非負(fù)單調(diào)遞

4、減，則證明 因?yàn)榍覇握{(diào)遞減，由極限存在定理，當(dāng)時(shí)存在極限，不妨設(shè)則由極限的性質(zhì)有若有使得由極限的保號(hào)性有 當(dāng)時(shí)于是此與收斂矛盾，從而即例2 對(duì)定義在上的函數(shù)顯然在上是非負(fù)單調(diào)遞減的，由于故 收斂，由定理2和定理2對(duì)稱(chēng)的有下述結(jié)果：推論3 若收斂，且存在當(dāng)時(shí)非正單調(diào)遞增，則.證明方法與過(guò)程同上.最后再給出收斂的廣義積分被積函數(shù)趨于零的一個(gè)必要條件.定理3 若函數(shù)在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，和都收斂，則證明 由于有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則由收斂知存在，不妨設(shè)若不妨設(shè)取則存在，當(dāng)時(shí)，有從而這與收斂矛盾.所以例3 對(duì)定義在上的函數(shù)顯然在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)無(wú)窮積分由于 所以 收斂.同樣可以說(shuō)明也收斂.由定理3知參考文獻(xiàn)1

5、劉玉鏈,傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義M.北京:高等教育出版社,1996:265-266.2 呂鳳,劉玉鏈.數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義M.東北師范大學(xué)出版社,1993:142-144.3 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第二版上）M.北京:高等教育出版社,2001:36-37.The Limit of The Generalized Integrals integrandGu Minkang 01830535（Department of Mathematics Xuzhou Normal Univesity, Xuzhou, 221116）Abstract In this paper, the author discusses the limit of the integrand of generalized integral when the variable tends to the infinity, and sums several conditions which make the limit be zero as variable tending to the infinity. Key words ge