習(xí)題二十一 格林公式及其應(yīng)用續(xù)_第1頁
習(xí)題二十一 格林公式及其應(yīng)用續(xù)_第2頁
習(xí)題二十一 格林公式及其應(yīng)用續(xù)_第3頁
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習(xí)題二十一 格林公式及其應(yīng)用（續(xù)）一、 證明下列曲線積分在整個xoy平面內(nèi)與路徑無關(guān)，并計算積分值（1）解：顯然P和Q在整個xoy面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 ，所以積分與路徑無關(guān)。 取點 到 的直線 故 。（2） 解：顯然P和Q在整個xoy面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 ，所以積分與路徑無關(guān)。 取點 到 的路徑如圖，故 。（3） 解：顯然P和Q在整個xoy面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 ，所以積分與路徑無關(guān)。 取點 到 的直線 ，故。二、 求，L：沿上從點到點。解：顯然P和Q在整個xoy面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 ，所以積分與路徑無關(guān)。 取點 到 的路徑如圖，故 三、 設(shè)與積分路徑L無關(guān)，且，求之值。解： 四、 確定的值，使曲線積分與積分路線無關(guān)，并求之值。解：由條件知 所以 。取點 到 的直線 ，故五、 驗證下列各表達式是某一個函數(shù)的全微分，并求（1） 解： 所以該表達式是某個定義在xoy面內(nèi)的函數(shù)u (x,y)的全微分。（2）（在第I象限內(nèi)）解： 所以該表達式是某個定義在第一象限內(nèi)的函數(shù)u (x,y)的全微分。 六、 設(shè)是定義在右半平面的力場，其中k為常數(shù)，,證明在此力場中場力所作的功與路徑無關(guān)。 證明：對于由半平面內(nèi)的任一曲線L，沿L 所作的功為： 由于故

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