二次問題的常見策略

1、講座 1 - 二次問題的常見策略二次問題是近幾年來高考的壓軸題，圍繞二次函數(shù)能全面考查對函數(shù)性態(tài)的分析，以二次函數(shù)為載機把計算、證明、圖象融合起來，把方程、不等式、絕對值等知識融合起來，體現(xiàn)了在知識交匯點上命題思想，既考查運算能力，又考查推理能力。下就處理二次問題的常見策略作一介紹。一、 數(shù)形結(jié)合思想。 例1、設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+8x+3（a0），對于給定的負數(shù)a，有一個最大的正數(shù)l(a)，使得整個區(qū)間0，l(a)上，不等式|f(x)|5都成立，問a為何值時，l(a)最大？求出這個最大的l(a)，證明你的結(jié)論。分析：|f(x)|5的幾何意義是，f(x)圖象在平行直線y=±5之間。

2、由此對f(x)最高點與y=5的位置關(guān)系進行討論。略解：（1） 當5，-8a0時，l(a)是關(guān)于x方程ax2+8x+3=5的小根 l(a)在（-8，0）上遞減 l(a)l(-8)=又f(0)=30-5恒成立 x0，l(a)時，|f(x)|5恒成立（2） 當5，a-8時，如圖，l(a)是關(guān)于x的方程ax2+8x+3=-5的大根 l(a)在（-，-8上遞增 l(a)l(-8)=由（1）、（2）可知，當a=-8時，max=評注：l(a)的含義分兩層理解，第一層視l(a)為常數(shù)，因l(a)隨圖象位置即a的變化而變化，第二層視l(a)為a的函數(shù)。例2、已知a0，b0，函數(shù)f(x)=-bx2+ax 討論：對

3、任意x0，1,|f(x)|1的充要條件分析：除仿照例1方法求解，本題還可以通過構(gòu)造二次函數(shù)求解略解：|f(x)|1恒成立，即 令g(x)=bx2-ax-1 b0，g(0)=-10 g(1)=b-a-10 ab-1 令h(x)=bx2-ax+1 b0，g(0)=10 或化簡得： 或 進一步化簡得：當b1時，化為a，b-1a當0a1時，化得：ab+1 ab+1評注：分類討論是處理該類問題非常有用的思想方法，拋物線對稱軸與區(qū)間位置關(guān)系是常規(guī)討論標準。二、賦值法例3、設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c（a0），若|f(0)|1，|f(-1)|1，|f(1)|1，求證：當|x|1時，|f(x)|。分析

4、：因f(0)、f(-1)、f(1)范圍已知，故用f(0)、f(-1)、f(1)表示f(x)略解：， 評注：因f(x)由參數(shù)a、b、c確定，所以通過賦值手段找到a、b、c與已知量f(0)、f(1)、f(-1)的關(guān)系，是化歸思想體現(xiàn)。在不等式放縮過程中，第一步利用絕對值不等式|a1±a2±±an|a1|+|a2|+|an|，對于因式|x2+x|等的化簡，利用絕對值定義化簡，主要是防止放縮過度。例4、已知a，b，cR，二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，當x-1，1時，|f(x)|1，求證：當x-1，1時，|g(x)|2。略解：法一：由例3得：|g(

5、x)|=|ax+b|= 評注：由例3、例4可知，這種賦值代換方法非常有用，解決這類絕對值不等式問題非常有效。法二：|g(x)|2 |g(1)|=|a+b|=|f(1)-f(0)|f(1)|+|f(0)|2 |g(-1)|=|a-b|=|f(-1)-f(0)|f(-1)|+|f(0)|2 當x-1，1時，|g(x)|2評注：本題也可以討論g(x)單調(diào)性，分別證明g(x)最大值不超過1，g(x)最小值不小于-1。二、 構(gòu)造法例5、已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c（a0），方程f(x)-x=0兩個根x1、x2滿足0x1x2，當x(0，x1)時，求證：xf(x)x1。略解：法一：令F(x)=f(

6、x)-x=ax2+(b-1)x+c a0，x2x10 F(x)在（0，x）上遞減 F(x)F(x1)=0 f(x)x令G(x)=f(x)-x1=ax2+bx+c-x1 G(x1)=f(x1)-x1=0，g(0)=c-x1=ax1x2-x1=x1(ax2-1)0 當x（0，x1）時，g(x)0 f(x)x1評注：本題將不等式問題化歸為判斷二次函數(shù)值符號問題。法二：xf(x)x1f(x)-xf(x)-x10 x1、x2是f(x)-x=0兩根 f(x)-x=a(x-x1)(x-x2) f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x f(x)-xf(x)-x1=a(x-x1)(x-x2)a(x-x1)(x-

7、x2)+x-x1 =a2(x-x1)2(x-x2)(x-x2+)0 xf(x)x1評注：根據(jù)不等式結(jié)構(gòu)特點，將f(x)看成未知量，轉(zhuǎn)化為證明一個二次不等式問題，思路巧妙！二次函數(shù)的求根表達式是近幾年高考題考查二次函數(shù)的一個熱點。三、 夾逼法例6、已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c（b、cR，c-2），當x時，有f(x)0，求f(x)解析式。略解： x時，f(x)0恒成立 由圖象可知： 2-b+c0 2+b+c0 由+得：c-2又由已知c-2， c=-2再代入得：， b=0 f(x)=x2-2例7、已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，x-1，1，若|f(x)|最大值為，求f(x)表達式。略解： |f

8、(0)|=|b|， b |f(1)|=|a+b+1|，|f(-1)|=|-a+b+1| a+b+1 -a+b+1 再+得：b 由得：b=此時為， a=0 f(x)=x2-評注：利用消元思想，把相關(guān)條件向一個變量集中，或者說從兩個不同角度研究同一個變量，可以準確地把握該變量的值，這就是夾逼法。五、靈活運用知識， 例8、已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，a0，當x-1，1時，|f(x)|1，若g(x)在-1，1上最大值為2，求f(x)。略解： a0， g(1)=a+b=2 f(1)-f(0)=2，f(0)=f(1)-2 -1f(1)1， -3f(0)-1又-1f(0)1， f

9、(0)=-1 f(x)-1=f(0) 0-1，1， x=0為f(x)圖象對稱軸 ，b=0， a=2 f(x)=2x2-1例9、已知函數(shù)f(x)=在區(qū)間m，n上的值域是3m，3n，求m、n之值。略解： f(x)= 3n，n m，n（-，1 f(x)在m，n上遞增 解之得：評注：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值是二次問題重要題型之一，例8、例9從二次函數(shù)最值的性質(zhì)出發(fā)，活用了二次函數(shù)的性質(zhì)。開口向下的拋物線，當對稱軸在已知區(qū)間內(nèi)時，在頂點取得最大值，閉區(qū)間上的最值不超過整個定義域上的最值?？傊疾槎螁栴}，不僅考查配方法，待定系數(shù)法，夾逼法，還重在考查數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價化歸、構(gòu)造等思想方法，很好地

10、體現(xiàn)了命題以立意為主的意圖。鞏固練習一、 選擇題1、（1）已知函數(shù)f(x)=ax2+(1-3a)x+a在區(qū)間1，+）上遞增，求a的取值范圍是 （ ）A、1 B. （-，1 C. 1，+） D. 0，1 （2）已知函數(shù)在-1，+）上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是 （ ）A（-，-6 B. （-，-6） C. （-8，-6 D. -8，-6 （3）二次函數(shù)f(x)滿足f(2+x)=f(2-x)，又f(x)在0，2上是增函數(shù)，且f(a)f(0)，那么實數(shù)a的取值范圍是 （ ）A0，+） B. （-，0 C. 0，4 D. （-，04，+）2、已知不等式ax2-bx-10的解集是，則不等式x2-bx-

11、a0的解集是 （ ）A（2，3） B. （-，2）（3，+）C. （） D. （-，）（，+）3、若方程2sin2x-sinx+(a-1)=0有實數(shù)解，則a的取值范圍是 （ ）A（-， B. -2， C. 0， D. -1，二、 填空題4、設(shè)函數(shù)f(x)=lg(ax2-4x+a-3)（1） 若f(x)的定義域是R，則a的取值范圍是_。（2） 若f(x)的值域為R，則a的取值范圍是_。（3） 若f(x)在區(qū)間（-4，-1）上遞減，則a的取值范圍是_。 5、在ABC中，tgA與tgB是方程x2+mx+m+1=0的兩根，則m的取值范圍是_。 6、二次不等式x2-(a-2)x+3a0在區(qū)間（-2，1）

12、內(nèi)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_。三、 解答題7、 已知的最大值等于3，二次函數(shù)g(x)=ax2-x-1（1） 求k的值及f()的最小值；（2） 若對于任意、xR，不等式f()g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。8、 已知a、b、c為實數(shù)（ab），而r為正實數(shù)，（1） 證明：方程(x-a)(x-b)=r有兩個不相同的實數(shù)根； （2）設(shè)方程(x-a)(x-b)=r有兩個不相等的實數(shù)根為、，試比較、a、b的大小。 9、已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c（a0），二次方程f(x)=x的兩個根x1、x2適合0x1x2-，當0ux1時，試比較x1與f(u)的大小關(guān)系。 10、設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c（其中a0）（1） 已知|f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|=1，試求f(x)的解析式；（2） 已知|f(0)|1，|f(-1)|1，|f(1)|1，求證：當|x|1時，|f(x)|.變式1：已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c（a、b、cR），當0x1時，|f(x)|1，求|a|+|b|+|c|的最大值；變式2：已知a、b、cR，函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，p(x)=cx2-bx+a，q(x)=acx4+b(a+c)x3+(a2+b2+c2