二維形式的柯西不等式

1、二維形式的柯西不等式教學(xué)目標(biāo)：1.認(rèn)識(shí)二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式、向量形式和三角形式，理解它們的幾何意義2.通過(guò)對(duì)二維柯西不等式多種形式的證明，掌握它們之間的關(guān)系，進(jìn)一步理解柯西不等式的意義教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)：柯西不等式的三種形式難點(diǎn)：柯西不等式的應(yīng)用教學(xué)過(guò)程：一.新課引入數(shù)學(xué)研究中，發(fā)現(xiàn)了一些不僅形式優(yōu)美而且具有重要應(yīng)用價(jià)值的不等式，稱之為經(jīng)典不等式。平均值不等式我們今天將學(xué)習(xí)柯西不等式還有后面要學(xué)到的排序不等式都是這樣的經(jīng)典不等式。二.新課講解首先我們從學(xué)習(xí)過(guò)的向量的角度來(lái)探究：【問(wèn)題1】已知兩向量，它們之間的夾角為，判斷與的大小關(guān)系；分析： 【問(wèn)題2】若在平面直角坐標(biāo)系xOy中，用坐標(biāo)

2、表示上述關(guān)系式；分析：【問(wèn)題3】思考上述不等式的等號(hào)何時(shí)成立？分析：所以我們得到這樣一個(gè)不等式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立這個(gè)不等式直觀上很像我們熟悉的重要不等式，都是反映實(shí)數(shù)的平方和與乘積大小的關(guān)系，讓同學(xué)們類比研究證明一下。證明一（比較法）： 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立證明二（綜合法）： = = 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立證明三：分析：設(shè)， 即要證 這與函數(shù)的判別式密切相關(guān)，則 構(gòu)造 當(dāng)時(shí)，顯然成立， 此時(shí) 當(dāng)中至少有一個(gè)不為0時(shí)， 恒成立 由于，所以 即 此時(shí)要等號(hào)成立，那么f(x)有唯一零點(diǎn)，即有唯一實(shí)數(shù)x使 【證法三相比前兩種方法復(fù)雜的多，我在此加入的目的是為了后面講解一般形式的柯西不等式證明時(shí)，能先讓同學(xué)

3、們以此為基礎(chǔ)自主探究試一試，也使同學(xué)們能更好的了解證明的思路，由簡(jiǎn)入繁、舉一反三?！看瞬坏仁骄褪强挛鞑坏仁降淖詈?jiǎn)形式，即二維形式的柯西不等式。定理1.（二維形式的柯西不等式）若a,b,c,d都是實(shí)數(shù)，則 當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)，等號(hào)成立。這就是二維柯西不等式的代數(shù)形式，而前面向量推導(dǎo)正好是柯西不等式的向量形式定理2.(柯西不等式的向量形式)設(shè)是兩個(gè)向量，則 當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使時(shí)，等號(hào)成立。注：“二維”指的是與二維向量相對(duì)應(yīng)，所以稱之為二維形式的柯西不等式。二維形式的柯西不等式的變形式 當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)，等號(hào)成立。O【探究】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)的坐標(biāo)分別為，根據(jù)的邊長(zhǎng)關(guān)系，你

4、能發(fā)現(xiàn)這4個(gè)實(shí)數(shù)蘊(yùn)涵著何種大小關(guān)系嗎？ O 當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且在O兩旁時(shí)等號(hào)成立定理3.（二維形式的三角不等式，也叫柯西不等式的三角形式） 設(shè)R，那么 分析：運(yùn)用柯西不等式證明，關(guān)鍵設(shè)法構(gòu)造兩數(shù)平方和乘另兩數(shù)平方和的形式。證明： 所以推廣：二維形式的三角不等式三.例題講解【例1】已知a,b為實(shí)數(shù)，證明.分析：形式與二維形式的柯西不等式具有明顯的一致性，因此比較容易考慮到應(yīng)用柯西不等式進(jìn)行證明?！纠?】設(shè),求證：分析：本題可用均值不等式證明，柯西不等式又提供一種證明方法?！纠?】求函數(shù)的最大值。分析：函數(shù)解析式化成ac+bd的形式，弄清對(duì)應(yīng)于柯西不等式中a,b,c,d的4個(gè)數(shù)，要設(shè)法使化為常數(shù)，才能求出函數(shù)的最大值?！揪毩?xí)】求函數(shù)的最大值。三.課堂練習(xí)：課本P36習(xí)題3.1 (3)(4)四.課堂小結(jié)定理1.（柯西不等式的代數(shù)形式）若a,b,c,d都是實(shí)數(shù)，則 當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)，等號(hào)成立。 定理2.(柯西不等式的向量形式)設(shè)是兩個(gè)向量，則 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使時(shí)，等號(hào)成立。定理3.（柯西不等