基于二分法的曲線等誤差圓弧擬合算法及其應(yīng)用_圖文

1、第32卷第1期2008年2月南昌大學(xué)學(xué)報(bào)(理科版Journa l o f N anchang U n i versity(N a t ura l Sc i ence V o. l 32N o . 1F eb . 2008文章編號(hào):1006-0464(2008 01-0100-03基于二分法的曲線等誤差圓弧擬合算法及其應(yīng)用周曉銘, 陶俊才, 秦海鷗(南昌大學(xué)信息工程學(xué)院, 江西南昌 330031摘 要:根據(jù)CN C 的加工特點(diǎn), 提出一種平面輪廓曲線的擬合算法。該算法基于二分法, 簡(jiǎn)單可靠且效率相對(duì)較高。切削步長(zhǎng)具有沿加工方向的曲率適應(yīng)性, 并且可以靈活的解決擬合圓弧大于機(jī)床允許值的問題。最后給

2、出了曲線擬合的算法。關(guān)鍵詞:CNC ; 曲線擬合; 曲線插補(bǔ)中圖分類號(hào):TP301 6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A目前, 多數(shù)機(jī)床的數(shù)控系統(tǒng)只具備直線插補(bǔ)和圓弧插補(bǔ)兩種功能。零件的幾何輪廓在加工前需處理成由直線和圓弧組成的曲線, 即圓弧樣條曲線。在給定的精度范圍內(nèi), 用一系列直線或圓弧來逼近零件輪廓曲線, 然后才能加工。所以對(duì)零件的幾何輪廓曲線有直線插補(bǔ)和圓弧插補(bǔ)兩種。二者相比1較, 圓弧插補(bǔ)具有以下優(yōu)點(diǎn):圓弧插補(bǔ)加工時(shí)間明顯減少, 比例可達(dá)1 5; 刀位文件數(shù)量明顯壓縮; 機(jī)床運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn); 加工出的零件表面光滑。因此, 圓弧插補(bǔ)是一種高效的插補(bǔ)方法。對(duì)一曲線用圓弧逼近前, 首先要在曲線上獲取節(jié)點(diǎn), 再根據(jù)

3、這些節(jié)點(diǎn)利用雙圓弧法等逼近方法確定逼近圓弧。因此, 所取得的節(jié)點(diǎn)的多少, 就決定了逼近圓弧段的數(shù)量, 逼近圓弧段數(shù)多, 所形成的加工數(shù)據(jù)文件大, 加工時(shí)間長(zhǎng), 同時(shí)還會(huì)加大機(jī)床磨4損。采用圓弧樣條插值逼近平面參數(shù)曲線和列表2-9點(diǎn)曲線已有很多研究報(bào)道。其中圓弧擬合方法5, 9中使用最多的又分為單圓弧擬合和雙圓弧擬2, 8, 7合。為達(dá)到減少擬合圓弧數(shù)的目的, 人們對(duì)圓弧擬合作了廣泛的研究:對(duì)單圓弧擬合相繼出現(xiàn)了95兩點(diǎn)擬合法, 參數(shù)遞增法, 等弦高誤差控制6法等; 對(duì)雙圓弧擬合法出現(xiàn)了變曲率對(duì)稱雙圓弧7擬合法等。綜合參考文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)人們對(duì)于圓弧插補(bǔ)的研究, 大多數(shù)集中在圓弧逼近算法本身。而且由于以

4、上這些圓弧擬合方法沒有考慮機(jī)床的最大切割半徑, 一旦擬合圓弧半徑大于機(jī)床半徑時(shí), 機(jī)床不能處理。這將導(dǎo)致系統(tǒng)自動(dòng)編程生成的代碼機(jī)床無法執(zhí)行。因此, 本文提出了一種新的節(jié)點(diǎn)獲取方法:基于二分法的曲線圓弧擬合方法, 該方法繼承單圓6弧等弦高誤差控制法和二分法的優(yōu)點(diǎn), 并且改變收稿日期:2007-03-10基金項(xiàng)目:江西省工業(yè)攻關(guān)資助項(xiàng)目(200552 (, 傳統(tǒng)二分法取中點(diǎn)的習(xí)慣, 以最大弦高點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)分割曲線。以相鄰三節(jié)點(diǎn)作圓弧擬合曲線。在擬合半徑大于數(shù)控系統(tǒng)能處理的最大半徑時(shí), 用兩直線擬合該段圓弧, 方便數(shù)控自動(dòng)編程。1 基于二分法的曲線圓弧等誤差擬合算法思想在曲線的一個(gè)凸凹性一致的閉合區(qū)間。

5、用直線段連接曲線的兩個(gè)端點(diǎn), 它與曲線形成一個(gè)弓形(如圖1, 我們稱這條直線為曲線的弦。只要曲線上的點(diǎn)到弦的距離小于我們的控制誤差, 那么我們就圓弧或者是直線來擬合這段曲線, 而當(dāng)我們的這里的值大于控制誤差時(shí), 就可以通過劃分區(qū)間的方法將區(qū)間細(xì)分。一般使用二分法, 簡(jiǎn)單的二分法取區(qū)間的中點(diǎn), 但這個(gè)中點(diǎn)處曲線上的點(diǎn)離弦不一定都是最遠(yuǎn), 所以我們改用離弦最遠(yuǎn)點(diǎn)將區(qū)間分為兩個(gè)子區(qū)間, 并將之稱為改進(jìn)的二分法(這樣做的目的是為了得到擬合區(qū)間最少, 擬合的結(jié)果最優(yōu) 。再在各個(gè)子區(qū)間上重復(fù)以上步驟, 直到滿足條件為止, 那么區(qū)間將被分為若干個(gè)子區(qū)間。每個(gè)區(qū)間內(nèi)的曲線就可以用直線或圓弧來擬合。我們選擇第一

6、用圓弧來擬合曲線, 但有時(shí)擬合圓弧的半徑大于機(jī)床可以處理的范圍, 則改用直線來擬合該區(qū)間段的曲線。圖1 弓型曲線圖第1期 周曉銘等:基于二分法的曲線等誤差圓弧擬合算法及其應(yīng)用! 101!2 改進(jìn)二分法區(qū)間劃分的具體實(shí)現(xiàn)設(shè)曲線方程為:y =f (x, x a, b ,給定的擬合控制誤差為 。先對(duì)曲線進(jìn)行區(qū)間劃分, 規(guī)則為按曲線二次導(dǎo)數(shù)為零處的點(diǎn)劃分。目的是找出曲線的拐點(diǎn), 將曲線的凸凹區(qū)間分開。求解:f (x =0如有解x 0, 可以得到兩個(gè)獨(dú)立的單一凸凹性的兩個(gè)區(qū)間a, x 0,x 0, b,如圖2 :個(gè)區(qū)間重復(fù)以上步驟。最后可以得到一系列的分區(qū)間:a =a 1, a 2,a 2, a 3,a

7、 3, a 4,a 4, a 5#, a n -1, a n =b 在每一段區(qū)間用圓弧去擬合該曲線段即可。方法如下:a i-1+a i在第i 個(gè)區(qū)間取點(diǎn)x 0=a i-1, x 1=x 2=2a i 用三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓。分別求出圓心, 半徑。如果在該區(qū)間擬合圓弧的半徑大于機(jī)床允許的最大值, 則用兩條直線擬合這段區(qū)間的曲線段。3 改進(jìn)二分法的曲線圓弧等誤差擬合算法圖2 曲線在拐點(diǎn)處分割區(qū)間對(duì)曲線圖象在區(qū)間a, x 0(x 0, b 區(qū)間類似 討論:做直線L 過曲線的兩端點(diǎn):y =k ! x +B, 其中k f (a -f(x 0 =, B =f (x 0 -k ! x 0, 設(shè) 為曲線上的x

8、0-a點(diǎn)到直線L 的距離。m ax (|f (x -kx -B |求解: =1+km ax (|f (x -kx -B | 其中1+k表示在這一區(qū)間上曲線上的點(diǎn)離直線L 的最遠(yuǎn)距離。令函數(shù):F (x =f(x -kx -B求|F (x |的最大值, 可知在極值點(diǎn)和端點(diǎn)取得, 結(jié)合本問題的特殊性可知在極值點(diǎn)取得。由費(fèi)馬定理, 求解下列方程:F (x =0若在區(qū)間a, x 0有解x 1, 則在x 1點(diǎn)F (x 的絕對(duì)值最大 , 如圖3?；诟倪M(jìn)二分法的曲線圓弧等誤差擬合法算法框圖如圖4所示。區(qū)間劃分的大小和個(gè)數(shù)由給定的控制誤差決定, 控制誤差大, 則計(jì)算速度快, 區(qū)間劃分少, 擬合曲線條就少, 控

9、制誤差小, 那么區(qū)間劃分就多, 擬合曲線段就多。該算法提供擬合誤差控制的人機(jī)交互接口, 可以很好的解決精度不同的曲線擬合。切削步長(zhǎng)具有沿加工方向的曲率適應(yīng)性。當(dāng)曲線在某一區(qū)域內(nèi)的曲率不大時(shí), 則該區(qū)域中分割的子區(qū)間就少, 否則就將其分割為更多的子區(qū)間。算法設(shè)計(jì)過程中充分考慮了數(shù)控線切割加工的特點(diǎn), 考慮到在用圓弧擬合時(shí)有時(shí)會(huì)產(chǎn)生擬合半徑大于機(jī)床可處理最大半徑的情況, 增加了可以直接用直線擬合的功能。圖3 曲線最大誤差示意圖求解: =|f (x1 -kx -B |1+k對(duì)給定的擬合控制誤差 , 判斷 與 兩者間大小。當(dāng) < 時(shí)本區(qū)間討論結(jié)束, 討論下一個(gè)區(qū)間。否則進(jìn)行下一步: x a, x

10、 1,x , 圖4 基于二分法圓弧擬合的算法流程圖4 幾種擬合方法效率比較下面我們以正弦曲線和拋物線為例分別用直線擬合, 雙圓弧擬合, 和二分法擬合插補(bǔ)三種算法來擬! 102! 南昌大學(xué)學(xué)報(bào)(理科版 2008年合。利用vc 6. 0編寫程序來生成擬合線段的代碼。選擇如附表所示正弦曲線和拋物線, 在相同擬合精度控制下來比較擬合曲線的條數(shù)和實(shí)際精度。附表 擬合方法效率表曲線方程擬合指標(biāo)雙圓弧擬合109. 38108. 65二分法圓弧擬合105. 511104. 73(m y =sin x, 0, 2! (m n(m y =x 2, 0, 4(m n于機(jī)床的最大處理半徑, 添加了自動(dòng)判別并選擇用圓弧

11、或者直線擬合的功能, 使該算法能夠很好的應(yīng)用到CNC 自動(dòng)編程系統(tǒng)中去。算法本身也有一定的問題, 在一些對(duì)精度要求不高的場(chǎng)合, 給定的控制精度遠(yuǎn)大于擬合后的實(shí)際最大精度, 使得曲線擬合的計(jì)算代價(jià)偏高。因該說二分法曲線圓弧擬合方法是一種適合于高精度要求的曲線擬合方法。參考文獻(xiàn):1V i cke rs G W, Bradley C . Curved Surface M ach i n i ng Through C ircular A rc Interpo lationJ.Co m pute r i n In dustry , 1992, 19:329-337.2 Xu ji ng Y anga ,

12、 Z ezhong C . Chen A P racticable Approach to G1B iarc A pprox i m ations for M aki ng A ccurate ,Smoo t h and N on-gouged P ro file F ea t ures in CNC Con touri ng Computer-A i ded D esi gn V o l um e 38, Issue 11,N ovember 2006:1205-1213.3 王 琦, 郭 非. 圓弧樣條逼近為機(jī)械零件幾何輪廓的自動(dòng)編程J.機(jī)械工程學(xué)報(bào), 1998(2 :20-25.4 蔡永

13、林, 孫衛(wèi)青, 席 光. 一種新的平面曲線圓弧插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)獲取方法J.工程圖學(xué)學(xué)報(bào), 2002(1:97-103.5 王得勝, 周愛平. 用圓弧逼近平面參數(shù)曲線的參數(shù)遞增算法J.機(jī)械工藝師, 2001(5:36-38.6 牛文鐵, 胡德計(jì), 徐燕申, 等. 數(shù)控加工中定曲線方程輪廓的等弦高誤差擬合算法研究J.制造業(yè)自動(dòng)化, 2001(9 :7-1.7 郄勝?gòu)?qiáng), 王先逵. 變曲率對(duì)稱圓弧曲線及其在圓弧樣條擬合中的應(yīng)用J.計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào), 2002(3 :222-224.8 黃志剛, 郭鐘寧. 平面曲線的近似等誤差雙圓弧擬合及應(yīng)用J.現(xiàn)代制造工程, 2003(6 :22-24.9 田富祥,

14、 解文濤. 錐齒輪鍛件切邊模齒廓曲線二點(diǎn)擬合法J.模具工業(yè), 2000(1:52-54.表中曲線單位用毫米(mm , n 代表在給定區(qū)間中各擬合方法得到的擬合線條數(shù), 表示擬合控制誤差, 表示擬合后的實(shí)際最大誤差。從附表中發(fā)現(xiàn)直線插補(bǔ)的實(shí)際誤差和給定誤差一樣。而雙圓弧擬合誤差和給定誤差略小, 但擬合線條數(shù)明顯比直線擬合少。在第一條正弦曲線中其擬合線數(shù)目最少, 那是應(yīng)為雙圓弧擬合基于相切圓。當(dāng)曲線曲率比較大時(shí), 用相切圓弧更方便擬合。二分法圓弧擬合方法得到的實(shí)際誤差比給定的誤差要小, 尤其在第一條曲線中。那是由于二分法是基于弓弦擬合的, 當(dāng)曲線曲率比較大的時(shí)候, 曲線圖形更加接近圓弧, 在采用了

15、三點(diǎn)法作圓弧后, 其擬合圓弧和曲線本身的誤差已縮小了一個(gè)等級(jí)。在第二條曲線的擬合中, 由于曲線的曲率相對(duì)變小, 二分法對(duì)應(yīng)的擬合線條數(shù)最少。5 結(jié) 論本文提供的二分法圓弧擬合方法, 計(jì)算穩(wěn)定簡(jiǎn)單, 而且運(yùn)算速度快。在保證擬合精度的條件下, 有效地減少了擬合線條的條數(shù)。擬合曲線的形狀精度及光順性良好?？紤]到有些擬合圓弧的半徑可能大An A rc Fitti ng A l gorith m of Curve Based onD ichoto my and Equal Error ControlZ HOU X iao m i n g , TAO Jun ca, i Q I N G H a i ou(

16、Coll ege o f In f o r m ati on and Eng i neer i ng , N anchang U n i versity , N anchang 330031, Ch i naAbst ract :Fo llo w ing the characters o f CNC , bri n g for w ar d an ne w plane curv ilinear fitting m et h od w h i c h based onm pr oved d ic hoto m y . the proposed a l g orit h m is proved to be robust and effecti v e and t h e cutti n g steps are adaptive to it h e cur vature o f the given curve along the cutti n g d irection that its result i n h igh producti v ity .