3絕對值問題含答案

1、絕對值的意義及應(yīng)用絕對值是初中代數(shù)中的一個重要概念，應(yīng)用較為廣泛在解與絕對值有關(guān)的問題時，首先必須弄清絕對值的意義和性質(zhì)。對于數(shù)x而言，它的絕對值表示為：|x|.一. 絕對值的實(shí)質(zhì)：正實(shí)數(shù)與零的絕對值是其自身，負(fù)實(shí)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，即也就是說，|x|表示數(shù)軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離?？傊?，任何實(shí)數(shù)的絕對值是一個非負(fù)數(shù)，即|x|0，請牢牢記住這一點(diǎn)。 二. 絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示這個數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。 例1. 有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化簡結(jié)果為( )A2a+3b-c B3b-c Cb+c Dc-b(第二

2、屆“希望杯”數(shù)學(xué)邀請賽初一試題)解：由圖形可知a0，cb0，且|c|b|a|，則a+b0，b-c0所以原式-a+b+a+b-b+cb+c，故應(yīng)選(C)三. 絕對值的性質(zhì)：1. 有理數(shù)的絕對值是一個非負(fù)數(shù)，即|x|0，絕對值最小的數(shù)是零。2. 任何有理數(shù)都有唯一的絕對值，并且任何一個有理數(shù)都不大于它的絕對值，即x|x|。3. 已知一個數(shù)的絕對值，那么它所對應(yīng)的是兩個互為相反數(shù)的數(shù)。4. 若兩個數(shù)的絕對值相等，則這兩個數(shù)不一定相等(顯然如|6|-6|，但6-6)，只有這兩個數(shù)同號，且這兩個數(shù)的絕對值相等時，這兩個數(shù)才相等。四. 含絕對值問題的有效處理方法1. 運(yùn)用絕對值概念。即根據(jù)題設(shè)條件或隱含條

3、件，確定絕對值里代數(shù)式的正負(fù)，再利用絕對值定義去掉絕對值的符號進(jìn)行運(yùn)算。例2. 已知：|x-2|+x-20，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。解：|x-2|+x-20，|x-2|-(x-2) 根據(jù)絕對值的概念，一個數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)時，這個數(shù)為負(fù)數(shù)或零，x-20，即x2，這表示x的最大值為2(1)當(dāng)x2時，x+2得最大值2+24；(2)當(dāng)x2時，6-x得最小值6-242. 用絕對值為零時的值分段討論即對于含絕對值代數(shù)式的字母沒有條件限制或限制不確切的，就需先求零點(diǎn)，再分區(qū)間定性質(zhì)，最后去掉絕對值符號。例3. 已知|x-2|+x與x-2+|x|互為相反數(shù)，求x的最大值解：由題

4、意得(|x-2|+x)+(x-2+|x|)0，整理得|x-2|+|x|+2x-20令|x-2|0，得x2，令|x|0，得x0以0，2為分界點(diǎn)，分為三段討論：(1)x2時，原方程化為x-2+x+2x-20，解得x1，因不在x2的范圍內(nèi)，舍去。(2)0x2時，原方程化為2-x+x+2x-20，解得x0(3)x0時，原方程化為2-x-x+2x-20，從而得x0綜合(1)、(2)、(3)知x0，所以x的最大值為03. 整體參與運(yùn)算過程即整體配湊，借用已知條件確定絕對值里代數(shù)式的正負(fù)，再用絕對值定義去掉絕對值符號進(jìn)行運(yùn)算。例4. 若|a-2|2-a，求a的取值范圍。解：根據(jù)已知條件等式的結(jié)構(gòu)特征，我們把

5、a-2看作一個整體，那么原式變形為|a-2|-(a-2)，又由絕對值概念知a-20，故a的取值范圍是a24. 運(yùn)用絕對值的幾何意義即通過觀察圖形確定絕對值里代數(shù)式的正負(fù)，再用絕對值定義去掉絕對值的符號進(jìn)行運(yùn)算例5. 求滿足關(guān)系式|x-3|-|x+1|4的x的取值范圍解：原式可化為|x-3|-|x-(-1)|4它表示在數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)3的距離與到點(diǎn)-1的距離的差為4由圖可知，小于等于-1的范圍內(nèi)的x的所有值都滿足這一要求。所以原式的解為x-1五. 有關(guān)絕對值知識的應(yīng)用1. 如果根據(jù)已知條件或題目中的隱含條件可以確定絕對值符號內(nèi)的數(shù)(或代數(shù)式)為“負(fù)”值或“非負(fù)”值，則由絕對值的定義可直接寫出其結(jié)果

6、.例6. 設(shè)x，y，a是實(shí)數(shù)，并且|x|1-a，|y|(1-a)(a-1-a2)，試求|x|+y+a2+1的值等于_解：顯然|x|0，|y|0，由|x|0得1-a0，由|y|0得1-a0，1-a0，從而x0，y0，a1原式|0|+0+12+122. 如果根據(jù)已知或題目自身不能確定絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式為“負(fù)”或“非負(fù)”，就應(yīng)分別對各種情況進(jìn)行討論。討論的方法有：(1)直接利用絕對值的性質(zhì)，去掉絕對值符號，把式子轉(zhuǎn)化為不含絕對值的式子進(jìn)行討論。例7. 已知|a|3，|b|2，求a+b的值。解：|a|3，|b|2， a3或-3，b2或-2因此a，b的取值應(yīng)分四種情況：a3，b2或a3，b-2或a-3

7、，b2或a-3，b-2，從而易求a+b的值分別為5，1，-1，-5解這類問題，要正確組合，全面思考，謹(jǐn)防漏解。 (2)采用零點(diǎn)分區(qū)間法，求出絕對值的零點(diǎn)，把數(shù)軸分成相應(yīng)的幾個區(qū)間進(jìn)行討論(所謂絕對值的零點(diǎn)就是使絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式等于零的字母所取值在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn))。例8. 化簡：|1-3x|+|1+2x| 解：由和得兩個零點(diǎn)：和，這兩個點(diǎn)把數(shù)軸分成三部分： （1）當(dāng)時，原式（2）當(dāng)時， 原式；（3）當(dāng)時，原式-(1-3x)+(1+2x)5x3. 利用絕對值的幾何意義解含絕對值的方程，這樣既直觀，又簡便。因?yàn)閨x|的幾何意義是表示數(shù)軸上點(diǎn)x到原點(diǎn)的距離，因此|x-a|的幾何意義是表示點(diǎn) x到

8、點(diǎn) a的距離由此可知，方程 |x-a|k的解是xa+k或 xa-k(k0) 例9. |x-2|+|x-1|+|x-3|的最小值是( )A1 B2 C3 D4解：設(shè)A(1)，B(2)，C(3)，P(x)，如圖所示，求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值，即是在數(shù)軸上求一點(diǎn)P，使AP+BP+PC為最小，顯然，當(dāng)P與B重合，即x2時，其和有最小值2，故應(yīng)選(B)4. 利用“一個實(shí)數(shù)的絕對值是一個非負(fù)數(shù)”這一性質(zhì)解題，可使問題化難為易。在運(yùn)用這一性質(zhì)時，常與非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：“有限個非負(fù)數(shù)的和為零時，則每一個非負(fù)數(shù)必為零”聯(lián)用。例10. 若|m+1|+|2n+1|0，那么m2003-n4_六. 絕對

9、值化簡與求值的基本方法例11. 若a、b互為相反數(shù)，cd互為負(fù)倒數(shù)則|a+b+cd|_(96年泰州市初中數(shù)學(xué)競賽)解：由題設(shè)知a+b0，cd-1，則|a+b+cd|0-1|1 例12. 若|x-y+2|與|x+y-1|互為相反數(shù)，則xy的負(fù)倒數(shù)是_(95年希望杯邀請賽初一培訓(xùn)題)解：由題設(shè)知|x-y+2|0，|x+y-1|0，但二者互為相反數(shù)，故只能x-y+20，x+y-10解得， 其負(fù)倒數(shù)是例13. 已知a、b是互為相反數(shù)，c、d是互為負(fù)倒數(shù)，x的絕對值等于它的相反數(shù)的2倍，則x3+abcdx+a-bcd的值是_(94年希望杯邀請賽初一試題)解：由題設(shè)知a+b0，cd-1又x的絕對值等于它的

10、相反數(shù)的2倍，x0，原式03+0+a-b(-1)a+b0例14. 化簡|x+1|+|x-2|令x +10，x-20，得x-1與x2，故可分段定正負(fù)再去符號(1)當(dāng)x-1時，原式-(x+1)-(x-2)-2x+1；(2)當(dāng)-1x2時，原式(x+1)-(x-2)3；(3)當(dāng)x2時，原式x+1+(x-2)2x-1說明：例14中沒有給定字母任何條件，這種問題應(yīng)先求零點(diǎn)，然后分區(qū)間定正負(fù)再去絕對值符號，這種方法可歸納為：“求零點(diǎn)，分區(qū)間，定性質(zhì)，去符號”。例15. 設(shè)x是實(shí)數(shù)，y|x-1|+|x+1|。下列四個結(jié)論：.y沒有最小值；.只有一個x使y取到最小值；.有有限多個x(不只一個)使y取到最小值；.

11、有無窮多個x使y取到最小值。其中正確的是( )A B C D(1993年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題)解：原問題可轉(zhuǎn)化為求x取哪些值時，數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)1與點(diǎn)-1的距離之和為最小。從數(shù)軸上可知，區(qū)間-1，1上的任一點(diǎn)x到點(diǎn)1與點(diǎn)-1的距離之和均為2；區(qū)間-1，1 之外的點(diǎn)x 到點(diǎn)1與點(diǎn)-1的距離之和均大于2，所以函數(shù)y|x-1|+|x+1|當(dāng)-1x1時，取得最小值2，故選(D) 七. 絕對值與非負(fù)數(shù)我們稱不是負(fù)數(shù)的有理數(shù)為非負(fù)有理數(shù)，簡稱非負(fù)數(shù)。當(dāng)我們說x是一個非負(fù)數(shù)時，用數(shù)學(xué)符號表示就是x0.值得注意的是，有的同學(xué)們往往用x0表示任意一個非負(fù)數(shù)，而忘掉等號！這是因?yàn)樗麄冨e將非負(fù)數(shù)理解為負(fù)數(shù)的相反數(shù)了！

12、盡管只是丟掉一個零，在數(shù)軸上只差一個點(diǎn)，但就全體有理數(shù)而言，卻是丟掉了三類有理數(shù)中的一類。也就是說，|x|表示數(shù)軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。我們看到，任何有理數(shù)的絕對值都是一個非負(fù)數(shù)，而任何一個非負(fù)數(shù)都可表示為某數(shù)的絕對值。即對任意有理數(shù)x 有|x|0，這一點(diǎn)至關(guān)重要。只有牢牢掌握絕對值總是非負(fù)數(shù)并且清楚地認(rèn)識到什么是非負(fù)數(shù)，才會正確地處理各種問題。例16. 若a為任意實(shí)數(shù)，則下列式子中一定成立的是( )A|a|0 B|a|a C. D. 對這個問題的分析首先要注意到絕對值都是非負(fù)數(shù)，而非負(fù)數(shù)包括零。如此就很容易淘汰掉A、B，而C需從a的取值范圍來討論，如，則C不對，至于D有非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：“

13、一個非負(fù)數(shù)加上一個正數(shù)，得正數(shù)”，即可知其正確。例17. 已知a0c，ab0，|b|c|a|，化簡|a+c|+|b+c|-|a-b|解：分析這個題目的關(guān)鍵是確定a+c、b+c、a-b的符號，根據(jù)已知可在數(shù)軸上標(biāo)出a、b、c的大致位置，如圖所示：很容易確定a+c0，b+c0，a-b0，由絕對值的概念，原式(a+c)-(b+c)-(a-b)a+c-b-c-a+b0用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示有理數(shù)，用這樣的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離來表示有理數(shù)的絕對值，這里運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想。七、實(shí)戰(zhàn)模擬1. 已知m0，則化簡m+|m-|m|_2. 已知實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應(yīng)位置如圖所示，化簡|a|-|b|+|a-b|-|b-a|

14、_3. 已知|m|1，|n|2求m+n4. x為何值時，-4|1-x|-5有最大值，最大值是多少？5. 已知a-20b2，去掉下列三式的絕對值符號：6. 試去掉|x2-x-2|的絕對值符號7. 化簡|3x+1|-|x|+|1-x|8. 化簡|x+3|+|x-2|+|x-5|9. 五個有理數(shù)a、b、c、d、e滿足|abcde|-abcde，試求的最大值。答案：1. 解 原式m+|m-(-m)|m+|2m|m-2m-m2. 解 由圖可知a0，b0，故a-b0，b-a0原式a-(-b)+(a-b)-(b-a)a+b+a-b+b-aa+b說明：本題是根據(jù)圖形定正負(fù)去符號，這種方法可歸納為：“看圖形，定

15、性質(zhì)，去符號”。3. 解 m1，n2，當(dāng)m1，n2時，m+n3；當(dāng)m1，n-2時，m+n-1；當(dāng)m-1，n2時，m+n1；當(dāng) m-1， n-2時， m+n-34. 解 當(dāng)x1時，|1-x|取最小值0，-4|1-x|-5有最大值-55. 解： （1）（2）（3） 6. 解：因?yàn)閤2-x-2是變量，可以是非負(fù)數(shù)也可以是負(fù)數(shù)，所以應(yīng)當(dāng)分兩種情形去掉絕對值符號：由x2-x-20，得x2或x-1，由x2-x-20，得-1x2 當(dāng)x2或x-1時，|x2-x-2|=x2-x-2，當(dāng)-1x2時，|x2-x-2|=-(x2-x-2)=-x2+x+27. 解：式中含有三個變量，即3x+1，x，1- x它們分別為非負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)時的x的取值范圍是彼此不一樣的，可以采用找零點(diǎn)、分區(qū)間的辦法去絕對值符號： 由即這三個點(diǎn)把數(shù)軸分成四個區(qū)間： 原式3x+1-(-x)+1-x3x+2當(dāng)0x1時，3x+10，x0，1-x0，故原式3x+1-x+1-xx+2當(dāng)x1時，3x+10，x0，1-x0，故原式3x+1-x+-(1-x)=3x8. 分析與略解：本題由于x的取值范圍不定，所以我們必須分類討論x的取值范圍情況，分別由x+30，x-20，x-50，得x-3，x2，x5由下面的圖可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x分別取-3、2、5三數(shù)左右兩