年金的標(biāo)準(zhǔn)型

1、1第二章第二章 年金年金2年金年金l 年金的標(biāo)準(zhǔn)型年金的標(biāo)準(zhǔn)型期末付年金期末付年金期初付年金期初付年金有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)年金的一些問題有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)年金的一些問題l 年金的一般型年金的一般型變動(dòng)利率變動(dòng)利率計(jì)息頻率與支付頻率不一致計(jì)息頻率與支付頻率不一致連續(xù)年金連續(xù)年金基本變化年金基本變化年金其它年金其它年金3期末付年金l現(xiàn)值為l 的經(jīng)濟(jì)含義l終值為 l 的經(jīng)濟(jì)含義211nnnnvavvvvi1nniav221(1)11 (1)(1)(1)(1)nnnnisiiiii (1)1nniis 4 與 的關(guān)系l（1）l（2） nans(1)nnnias11nnias5l例例2.1.1 計(jì)算在年利率為計(jì)算在年利率為6

2、%的條件下，每年的條件下，每年年末投資年末投資1000元，投資元，投資10年的現(xiàn)值和積累年的現(xiàn)值和積累值。值。l例例2.1.2 某銀行客戶想通過零存整取方式在某銀行客戶想通過零存整取方式在1年后獲得年后獲得10000元，在月復(fù)利為元，在月復(fù)利為0.5%的情的情況下，每月末需存入多少錢，才能達(dá)到其要況下，每月末需存入多少錢，才能達(dá)到其要求？求？6l 例例2.1.3 甲在銀行存入甲在銀行存入20000元，計(jì)劃分元，計(jì)劃分4年支取年支取完，每半年支取一次，每半年計(jì)息一次的年名義完，每半年支取一次，每半年計(jì)息一次的年名義利率為利率為7%，計(jì)算其每次的支取額度。，計(jì)算其每次的支取額度。l 例例2.1.4

3、 已知年實(shí)際利率為已知年實(shí)際利率為8%，乙向銀行貸款，乙向銀行貸款10000元，期限為元，期限為5年，計(jì)算下面三種還款方式中年，計(jì)算下面三種還款方式中利息所占的額度：（利息所占的額度：（1）貸款的本金及利息積累值）貸款的本金及利息積累值在第在第5年末一次還清；（年末一次還清；（2）每年末支付貸款利息，）每年末支付貸款利息，第第5年末歸還本金；（年末歸還本金；（3）貸款每年年末均衡償還）貸款每年年末均衡償還（即采用等額年金的方式）。（即采用等額年金的方式）。7期初付年金l現(xiàn)值為l 的經(jīng)濟(jì)含義l終值為l 的經(jīng)濟(jì)含義.22111nnnnvavvvvd .1nnd av.21(1)1(1)(1)(1)

4、(1)nnnnisiiiid.(1)1nnid s 8 與 的關(guān)系l（1）l （2）.na.ns.(1)nnnias.11nndas9期初付與期末付年金 現(xiàn)值與終值之間的關(guān)系 .(1)nnai a.(1)nnsi s.11nnaa.11nnss10l例例2.1.5某銀行客戶想通過零存整取方式在某銀行客戶想通過零存整取方式在1年后獲得年后獲得10000元，在月復(fù)利為元，在月復(fù)利為0.5%的情的情況下，每月初需存入多少錢，才能達(dá)到其況下，每月初需存入多少錢，才能達(dá)到其要求？要求？11任意時(shí)刻的年金值任意時(shí)刻的年金值l在首期付款前某時(shí)刻的年金現(xiàn)值在首期付款前某時(shí)刻的年金現(xiàn)值l在最后一期付款后，某時(shí)刻

5、的年金積累在最后一期付款后，某時(shí)刻的年金積累值值.nm nmmv aaanm nmmv aaa.(1)nm nmmisss(1)nm nmmisss12l付款期間某時(shí)刻的年金當(dāng)前值付款期間某時(shí)刻的年金當(dāng)前值假定付款期限為假定付款期限為n，其中第，其中第m次付款（次付款（mk時(shí)，上述年金變時(shí)，上述年金變成永續(xù)年金，若成永續(xù)年金，若ik或者或者i=k，永續(xù)年金的，永續(xù)年金的現(xiàn)值不存在。現(xiàn)值不存在。2321(0)(1)(1)(1)1 111nnVvvkvkvkvnnvi 53l例例2.2.16 某期末付永續(xù)年金首期付款額為某期末付永續(xù)年金首期付款額為5000元，以后每期付款額是前一期付款額元，以后每

6、期付款額是前一期付款額的的1.05倍。當(dāng)利率分別為倍。當(dāng)利率分別為0.04、0.05、0.06時(shí)，計(jì)算該永續(xù)年金的現(xiàn)值。時(shí)，計(jì)算該永續(xù)年金的現(xiàn)值。54更一般變化年金更一般變化年金1. 付款頻率小于計(jì)息頻率的情形付款頻率小于計(jì)息頻率的情形 假設(shè)年金共假設(shè)年金共n=k*m個(gè)計(jì)息期，每個(gè)計(jì)息期，每k個(gè)計(jì)息期末個(gè)計(jì)息期末付款一次，第一次付款額為付款一次，第一次付款額為1，每次付款比，每次付款比前一次增加前一次增加1，則該年金的現(xiàn)值為，則該年金的現(xiàn)值為 從而有從而有 兩式相減，得到兩式相減，得到 所以有所以有23(0)23kkkmkVvvvmv2(1)(1)(0)123kkkmki Vvvmv 2(1)

7、(1)1 (0)1(0)kkkmkmknnkkiVvvvmvais Vmva 即(0)nnkkamvaVis55l例例2.2.17 某永續(xù)年金每某永續(xù)年金每2年末付款一次，且年末付款一次，且每次付款額增加每次付款額增加1單位，首次付款額為單位，首次付款額為1單單位，年利率為位，年利率為6%，計(jì)算該永續(xù)年金現(xiàn)值，計(jì)算該永續(xù)年金現(xiàn)值。 562. 付款頻率大于計(jì)息頻率的情形付款頻率大于計(jì)息頻率的情形1. 每個(gè)計(jì)息期內(nèi)的每個(gè)計(jì)息期內(nèi)的m次付款額保持不變次付款額保持不變l 在這種情形下，每個(gè)計(jì)息期內(nèi)付款額保持不變，而不在這種情形下，每個(gè)計(jì)息期內(nèi)付款額保持不變，而不同的計(jì)息期內(nèi)的付款額卻可能會(huì)發(fā)生變動(dòng)?？?/p>

8、慮其中同的計(jì)息期內(nèi)的付款額卻可能會(huì)發(fā)生變動(dòng)。考慮其中一種情形：第一種情形：第k個(gè)計(jì)息期內(nèi)的個(gè)計(jì)息期內(nèi)的m次支付每次付款額為次支付每次付款額為k/m，共，共n個(gè)計(jì)息期，記為個(gè)計(jì)息期，記為 ，從而有，從而有 l 因此有因此有 ()()mnIa()1/2/(1)/1 1/1 2/21 1/1 2/12()()()()mmmmmmmnnmnmnIavvvvvvvmmnvvvm ()()1/2/1/2/11()()()()mmmmnnmnmnnnnIav Iavvvvvvmm57l即即1/1/()1/1/1/1/11/1()1(1)(1)()1111(1)1(1)11(1)11mnnmmmmnnnmmn

9、nmnnmvvnv vviv Iamvmvvnvivmimivnivmivnivi11()()()()()11()nnnnnmnmmmmnanvvnivvnivIaividiivii58l從而該年金的積累值為從而該年金的積累值為()()()()()()(1)(1)nmmnnnmnnnmanvIsIaiiisni592. 每個(gè)計(jì)息期內(nèi)的每個(gè)計(jì)息期內(nèi)的m次付款額按等差數(shù)列遞增次付款額按等差數(shù)列遞增l 在這種情形下，付款額序列為在這種情形下，付款額序列為l 假設(shè)為期末付款，共假設(shè)為期末付款，共n個(gè)計(jì)息期，每個(gè)計(jì)息期內(nèi)的利個(gè)計(jì)息期，每個(gè)計(jì)息期內(nèi)的利率為率為i，則這種年金的現(xiàn)值為，則這種年金的現(xiàn)值為l

10、其推導(dǎo)過程在此省略。其推導(dǎo)過程在此省略。222221/2/3/(1)/mmmmnmmn m()()()()()nmnmmmnanvIai60l例例2.2.18 某期末付年金每年付款某期末付年金每年付款4次，首次次，首次付款為付款為1000元，以后每次付款較前一次付元，以后每次付款較前一次付款增加款增加1000元，共付款元，共付款5年，年利率為年，年利率為8%，計(jì)算第計(jì)算第5年年末的年金積累值。年年末的年金積累值。61連續(xù)變化年金連續(xù)變化年金l假設(shè)在假設(shè)在t時(shí)刻付款為時(shí)刻付款為t的連續(xù)年金，有的連續(xù)年金，有n個(gè)個(gè)計(jì)息期，利率為計(jì)息期，利率為i，則該年金的現(xiàn)值為，則該年金的現(xiàn)值為l更一般的，若在更一般的，