抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性

1、 抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性抽象函數(shù)是指沒有明確給出具體的函數(shù)表達(dá)式，只是給出一些特殊關(guān)系式的函數(shù)。它是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，因?yàn)槌橄?，解題時(shí)思維常常受阻，思路難以展開，而高考中會(huì)出現(xiàn)這一題型，本文對(duì)抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性問題進(jìn)行了整理、歸類，大概有以下幾種題型：一、判斷單調(diào)性和奇偶性1. 判斷單調(diào)性根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等有關(guān)性質(zhì)，畫出函數(shù)的示意圖，以形助數(shù)，問題迅速獲解。例1如果奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)且有最小值為5，那么在區(qū)間上是 A. 增函數(shù)且最小值為B. 增函數(shù)且最大值為 C. 減函數(shù)且最小值為D. 減函數(shù)且最大值為 分析：畫出滿足題意的示意圖，易知選B。 例2偶函數(shù)在上是減函數(shù)，問

2、在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論。 分析：如圖所示，易知在上是增函數(shù)，證明如下： 任取 因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以。 又是偶函數(shù)，所以 ， 從而，故在上是增函數(shù)。2. 判斷奇偶性根據(jù)已知條件，通過恰當(dāng)?shù)馁x值代換，尋求與的關(guān)系。例3若函數(shù)與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，判斷：函數(shù)是什么函數(shù)。 解：設(shè)圖象上任意一點(diǎn)為P（） 與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在的圖象上， 又 即對(duì)于函數(shù)定義域上的任意x都有，所以是偶函數(shù)。二、證明單調(diào)性和奇偶性1.證明單調(diào)性例4已知函數(shù)f(x)= ,且f(x),g(x)定義域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是增函數(shù). g(m) ·

3、g(n)= g(m+n)(m、nR) 求證： f(x)是R上的增函數(shù)解:設(shè)x1>x2 g(x)是R上的增函數(shù), 且g(x)>0 g(x1) > g(x2) >0 g(x1)+1 > g(x2)+1 >0 > >0 - >0 f(x1)- f(x2)=- =1-(1-) =->0 f(x1) >f(x2) f(x)是R上的增函數(shù)例5已知對(duì)一切，滿足，且當(dāng)時(shí)，求證：（1）時(shí)，（2）在R上為減函數(shù)。 證明：對(duì)一切有。 且，令，得， 現(xiàn)設(shè)，則， 而 ， 設(shè)且， 則 ， 即為減函數(shù)。2.證明奇偶性例6已知的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y滿

4、足，求證：是偶函數(shù)。 分析：在中，令， 得 令，得 于是故是偶函數(shù)。三、求參數(shù)范圍 這類參數(shù)隱含在抽象函數(shù)給出的運(yùn)算式中，關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內(nèi)的增減性，去掉“”符號(hào)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式組求解，但要特別注意函數(shù)定義域的作用。例7已知是定義在（）上的偶函數(shù)，且在（0，1）上為增函數(shù)，滿足，試確定的取值范圍。 解：是偶函數(shù)，且在（0，1）上是增函數(shù)， 在上是減函數(shù)， 由得。 （1）當(dāng)時(shí)， ，不等式不成立。 （2）當(dāng)時(shí)， （3）當(dāng)時(shí)， 綜上所述，所求的取值范圍是。例8已知是定義在上的減函數(shù)，若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 解： 對(duì)恒成立 對(duì)恒成立 對(duì)恒成立， 四、不等式1.解不等式這類不

5、等式一般需要將常數(shù)表示為函數(shù)在某點(diǎn)處的函數(shù)值，再通過函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)“”，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解。例9已知函數(shù)對(duì)任意有，當(dāng)時(shí)，求不等式的解集。 解：設(shè)且 則 ， 即， 故為增函數(shù)， 又 因此不等式的解集為。2. 討論不等式的解求解這類問題利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，脫去函數(shù)符號(hào)。例10已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且對(duì)一切實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求k的值。 分析：由單調(diào)性，脫去函數(shù)記號(hào)，得 由題意知(1)(2)兩式對(duì)一切恒成立，則有 五、比較函數(shù)值大小 利用函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性等性質(zhì)將自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用其單調(diào)性使問題獲解。例11已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，時(shí)，是增函數(shù)，若，且，則的大小關(guān)系是_。 分析：且， 又時(shí)，是增函數(shù)， 是偶函數(shù)， 故六、綜合問題求解解題時(shí)需把握好如下三點(diǎn)：一是注意函數(shù)定義域的應(yīng)用，二是利用函數(shù)的奇偶性去掉函數(shù)符號(hào)“”前的“負(fù)號(hào)”，三是利用函數(shù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)“”。例12.設(shè)函數(shù)定義在R上，當(dāng)時(shí)，且對(duì)任意，有，當(dāng)時(shí)。 （1）證明； （2）證明：在R上是增函數(shù)； （3）設(shè)， ，若，求滿足