三角形相關(guān)證明(共13頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 課 題 三角形的相關(guān)證明學(xué)習(xí)目標(biāo)與考點(diǎn)分析掌握三角形相關(guān)證明的方法 以及定理的熟練運(yùn)用三角形證明是中考中必考知識(shí)點(diǎn) 做好基礎(chǔ)知識(shí)的掌握有助于綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)重點(diǎn)三角形的全等證明 以及與其他知識(shí)的結(jié)合運(yùn)用學(xué)習(xí)方法講練結(jié)合 練習(xí)鞏固 課后總結(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容與過程一·課本導(dǎo)入聯(lián)系生活 結(jié)合書本導(dǎo)入今天所學(xué)知識(shí) 復(fù)習(xí)前面所學(xué)知識(shí)三角形的相關(guān)初步知識(shí) 二·知識(shí)點(diǎn)梳理 一、全等三角形1判定和性質(zhì)一般三角形直角三角形判定邊角邊（SAS）、角邊角（ASA）角角邊（AAS）、邊邊邊（SSS）具備一般三角形的判定方法斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等（HL）性質(zhì)對應(yīng)邊相等，對應(yīng)

2、角相等對應(yīng)中線相等，對應(yīng)高相等，對應(yīng)角平分線相等注： 判定兩個(gè)三角形全等必須有一組邊對應(yīng)相等； 全等三角形面積相等2證題的思路：(一)相似三角形1、三個(gè)角對應(yīng)相等，且三條邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形，叫做相似三角形用符號(hào)“”表示相似，讀作“相似于”當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)三角形的三個(gè)角與另一個(gè)(或幾個(gè))三角形的三個(gè)角對應(yīng)相等，且三條對應(yīng)邊的比相等時(shí)，這兩個(gè)(或幾個(gè))三角形叫做相似三角形，即定義中的兩個(gè)條件，缺一不可；相似三角形的特征：形狀一樣，但大小不一定相等；由相似三角形的定義知如果兩個(gè)三角形相似，那么它們的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例2、相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1

3、所以全等三角形是相似三角形的特例其區(qū)別在于全等要求對應(yīng)邊相等，而相似要求對應(yīng)邊成比例相似比具有順序性例如ABCABC的對應(yīng)邊的比，即相似比為k，則ABCABC的相似比，當(dāng)且僅當(dāng)它們?nèi)葧r(shí)，才有k=k=1相似比是一個(gè)重要概念，后繼學(xué)習(xí)時(shí)出現(xiàn)的頻率較高，其實(shí)質(zhì)它是將一個(gè)圖形放大或縮小的倍數(shù)，這一點(diǎn)借助相似三角形可觀察得出(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：三邊對應(yīng)成比例的兩三角形相似判定定理2：兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似判定定理3：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似方法總結(jié)：（1）判定兩個(gè)三角形相似，至少需要下列條件之一：兩角對應(yīng)相等；兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等；三條邊對應(yīng)

4、成比例理解時(shí)，可類比全等三角形的判定方法在中，只要滿足兩個(gè)角對應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形就相似，解題時(shí)關(guān)鍵是尋找對應(yīng)角，一般地，在解題過程中要特別注意“公共角”“對頂角”“同角的余角(或補(bǔ)角)”都是相等的，這是常用的判定方法（2）已有兩邊對應(yīng)成比例時(shí)，可考慮利用判定定理（1）或判定定理（3）但是，在選擇利用判定定理（3）時(shí)，一對對應(yīng)角相等必須是成比例兩邊的夾角對應(yīng)相等2、直角三角形相似的判定如圖是一個(gè)十分重要的相似三角形的基本圖形，圖中的三角形，可稱為“母子相似三角形”或“雙直角三角形”，其應(yīng)用較為廣泛三、典型例題講解1、尋找相似三角形例1、如圖，在ABCD 中，E是AB延長線上一點(diǎn)，連結(jié)DE，交A

5、C于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F，那么圖中相似的三角形(不含全等三角形)共有（）A.6對B.5對C.4對D.3對 解：由AEDC，可得AEGCDG，DFCEFB.由BCAD，可得BFEADE，F(xiàn)CGDAG，DCFEAD. 例3、已知ABC中，AB=8，AC=6，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，如果以A，D，E為頂點(diǎn)的三角形和以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形相似，且相似比為，求AD和AE的長分析：通過相似比，將AD，AE的長轉(zhuǎn)化到方程中求解由于已知的兩個(gè)三角形相似，并沒有具體的對應(yīng)關(guān)系，所以結(jié)論具有不確定性，應(yīng)分類討論解：如圖(1)所示，當(dāng)ADEABC時(shí)，有，AE=2如圖(2)所示，當(dāng)ADEACB時(shí)，小結(jié)：數(shù)形結(jié)合

6、思想方法是解答有關(guān)相似三角形問題的基本方法在解題時(shí)需借助圖形深入理解數(shù)量之間的關(guān)系，并對問題進(jìn)行全面的、進(jìn)一步的分析與探索例5、如圖，CD是RtABC斜邊AB上的中線，過點(diǎn)D垂直于AB的直線交BC于E，交AC延長線于F求證：(1)ADFEDB；(2)CD2=DE·DF分析：(1)ADF與EDB都是直角三角形，要證它們相似，只要再找一個(gè)角對應(yīng)相等即可；(2)注意到CD是斜邊AB的中線，AD=BD=CD，由結(jié)論(1)不難得出結(jié)論(2)證明：(1)DFAB，ADF=BDE=90°，又FA=BA， F=B，ADFEDB(2)由(1)得，AD·BD=DE·DF又C

7、D是RtABC斜邊上的中線， AD=BD=CD故CD2=DE·DF點(diǎn)評：本題綜合考查了直角三角形的性質(zhì)與相似三角形的判定等這是一道階梯型問題，第(2)題根據(jù)(1)得出有關(guān)比例式，然后使用“等線代換”使問題簡捷獲證其實(shí)第(2)題也可這樣思考：把它轉(zhuǎn)化為比例式，證明這三條線段所在的CDEFDC請同學(xué)們完成這一證明例6、如圖，AD是ABC的角平分線，BEAD于E，CFAD于F 求證：分析：待證式中的四條線段不是在兩個(gè)三角形中，無法直接根據(jù)兩個(gè)三角形相似得出，需要插入一個(gè)“中間比”，由題設(shè)易證ABEACF，BDECDF，從中不難找到這個(gè)中間比證明：AD是ABC的角平分線，1=2BEAD，CF

8、AD，3=4=90°，ABEACF，點(diǎn)評：當(dāng)無法直接由兩個(gè)三角形相似得出結(jié)論中的比例式時(shí)，一般可尋找“中間比”幫忙；5、相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用例7、如圖所示，D是BC上一點(diǎn)，ABCDBA，E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點(diǎn)，且AB=28，BC=36，求BEBF解析：BE，BF分別是ABC，ABD中AC，AD邊上的中線，而AC，AD又恰是相似三角形ABC和三角形DBA的一組對應(yīng)邊，因而考慮利用相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比來解答因?yàn)锳BCDBA，且BC=36，AB=28，所以相似比又因?yàn)锽E，BF分別是ABC，ABD中AC，AD邊上的中線，點(diǎn)撥：利用相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比的性質(zhì)解

9、決問題時(shí)，注意把相似三角形的對應(yīng)元素確定準(zhǔn)確例8、如圖所示，PNBC，ADBC，交PN于E，交BC于D分析：首先，先說明APN與ABC相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和比例的有關(guān)知識(shí)結(jié)合已知條件，就可求出這三個(gè)問題的結(jié)論解：(1)因?yàn)镻NBC，所以可得APNABC又因?yàn)橄嗨迫切蚊娣e比等于相似比的平方，因?yàn)镾ABC=18cm2，所以SAPN=2cm2 1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中點(diǎn)，AD是整數(shù)，求ADADBC證明: 延長AD到E,使DE=AD,則三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2在三角形ABE中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<1

10、0+24<AD<6又AD是整數(shù),則AD=5如圖，在ABC中，AB=AC，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且AD=AE求證：MD=ME證明：3在ABC中，ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且ADMN于D，BEMN于E（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：ADCCEB；DE=AD+BE；（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE；（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明（1）證明：ACB=90°，ACD+BCE=90°，而ADMN

11、于D，BEMN于E，ADC=CEB=90°，BCE+CBE=90°，ACD=CBE在RtADC和RtCEB中，ADC=CEBACD=CBEAC=CB，RtADCRtCEB（AAS），AD=CE，DC=BE，DE=DC+CE=BE+AD；（2）證明：在ADC和CEB中，ADC=CEB=90°ACD=CBEAC=CB，ADCCEB（AAS），AD=CE，DC=BE，DE=CE-CD=AD-BE；（3）DE=BE-AD證明的方法與（2）相同4如圖所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求證：（1）EC=BF；（2）ECBF證明：(1)AEAB，AFACEA

12、B=90°=FACEAB+BAC=FAC+BACAEBMCF 5如圖：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求證：（1）AM=AN；（2）AMAN。證明：（1）BEAC，CFABABM+BAC=90°，ACN+BAC=90°ABM=ACNBM=AC，CN=ABABMNACAM=AN（2）ABMNACBAM=NN+BAN=90°BAM+BAN=90°即MAN=90°AMAN6已知：如圖ACBD，AE和BE分別平分CAB和DBA，CD過點(diǎn)E求證：（1）AEBE； （2）AB=AC+BD證明：（1）ACBD，CAB+DBA=180&#

13、176;（1分）又AE和BE分別平分CAB和DBA，EAB=12CAB，EBA=12DBA，EAB+EBA=12(CAB+DBA)=90°，AEBE （4分）（2）在AB上截取AF=AC，連接EF，在CAE和FAE中AC=AFCAE=FAEAE=AE，CAEFAE，則CEA=FEA，（8分）又CEA+BED=FEA+FEB=90°，F(xiàn)EB=DEB在DEB和FEB中DEB=FEBEB=EBDBE=FBE， DEBFEB（ASA），（10分）BD=BF，AB=AF+FB=AC+BD （12分）7、如圖,已知: AD是BC上的中線 ,且DF=DE求證:BECF證明：AD是BC上的

14、中線，BD=DC又DF=DE（已知），BDE=CDF（對頂角相等），BEDCFD（SAS）E=CFD（全等三角形的對應(yīng)角相等）CFBE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）8、已知：如圖，ABCD，DEAC，BFAC，E，F(xiàn)是垂足，ADECBF求證：證明：（1）DEAC，BFAC， 課內(nèi)練習(xí)與訓(xùn)練1已知：如圖，四邊形ABCD中，AC平分角BAD，CE垂直AB 于E，且角B+角D=180度，求證：AE=AD+BE 2已知，如圖，AB=CD，DFAC于F，BEAC于E，DF=BE。求證：AF=CE。FEACDB3已知，如圖，ABAC，ABAC，ADAE，ADAE。求證：BECD。AEDCBFEDCAB4如圖，

15、DEAB，DFAC，垂足分別為E、F，請你從下面三個(gè)條件中任選出兩個(gè)作為已知條件，另一個(gè)為結(jié)論，推出一個(gè)正確的命題。 AB=AC BD=CD BE=CFFEDCABGH5、如圖，ABC中，AB=AC，過A作GEBC，角平分線BD、CF交于點(diǎn)H，它們的延長線分別交GE于E、G，試在圖中找出三對全等三角形，并對其中一對給出證明。6、如圖，在中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，。（） 請你再添加一個(gè)條件，使得，并給出證明。 你添加的條件是：_ _（2）根據(jù)你添加的條件，再寫出圖中的一對全等三角形：_（不再添加其他線段，不再標(biāo)注或使用其他字母，不必寫出證明過程）7、已知：如圖，ABBC，ADDC，AB=AD，若E是A

16、C上一點(diǎn)。求證：EB=ED。 8、已知：如圖，AB、CD交于O點(diǎn)，CE/DF，CE=DF，AE=BF。求證：ACE=BDF。 9. 已知：如圖，ABC中，ADBC于D，E是AD上一點(diǎn)，BE的延長線交AC于F，若BD=AD，DE=DC。求證：BFAC。 10. 已知：如圖，ABC和ABC中，BAC=BAC，B=B，AD、AD分別是BAC、BAC的平分線，且AD=AD。求證：ABCABC。 11.已知：如圖，AB=CD，AD=BC，O是AC中點(diǎn)，OEAB于E，OFD于F。求證：OE=OF。 12.已知：如圖，ACOB，BDOA，AC與BD交于E點(diǎn)，若OA=OB，求證：AE=BE。 13.已知：如圖

17、，AB/DE，AE/BD，AF=DC，EF=BC。求證：AEFDBC。 14.如圖，B，E分別是CD、AC的中點(diǎn)，ABCD，DEAC求證：AC=CD 15.已知：如圖，PA、PC分別是ABC外角MAC和NCA的平分線，它們交于點(diǎn)P，PDBM于D，PFBN于F求證：BP為MBN的平分線16.在ABC中，ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且ADMN于D，BEMN于E（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：ADCCEB；DE=ADBE；（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE=ADBE；CBAED圖1NMABCDEMN圖2ACBEDNM圖3（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問DE，AD，BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明A 17如圖，已知AD是ABC的中線， DEAB于E， DFAC于F， 且BE=CF， 求證：(1)AD是BAC的平分線；(2)AB=AC2 1 F E B D C 七、如果四邊形ABCD的對角線交于O，過O作直線OGAB交BC于E，交AD于F，交CD的延長線于G，求