導(dǎo)數(shù)與微分（課堂PPT）

1、第第2章章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分結(jié)束結(jié)束 本章共六節(jié)，大體上分為本章共六節(jié)，大體上分為兩部分。其中第一部分是導(dǎo)數(shù)兩部分。其中第一部分是導(dǎo)數(shù)，第二部分是微分，從結(jié)構(gòu)上，第二部分是微分，從結(jié)構(gòu)上來說它們是平行的。來說它們是平行的。前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁2.1.1 2.1.1 引出導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)例引出導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)例例例1 1 平面曲線的切線斜率平面曲線的切線斜率 曲線曲線 的圖像如圖所示的圖像如圖所示, ,在曲線上任取兩點(diǎn)在曲線上任取兩點(diǎn) 和和 ，作割線作割線 ，割線的斜率為，割線的斜率為)(xfy 00()M x ,y),(00yyxxN 00()()tanMNf xxf xykxx MN2.1

2、2.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念yxO( )yf x MNTx0 xxx0yP前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁這里這里 為割線為割線MN的傾角，設(shè)的傾角，設(shè) 是切線是切線MT的傾角，的傾角，當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，點(diǎn)點(diǎn)N沿曲線趨于點(diǎn)沿曲線趨于點(diǎn)M。若上式的若上式的極限存在，記為極限存在，記為k，則此極限值，則此極限值k就是所求切線就是所求切線MT的斜率，即的斜率，即xxfxxfxykxxx )()(limlimtanlimtan00000 0 xyxO( )yf x MNTx0 xxx0yP前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁當(dāng)當(dāng) 趨向于趨向于0 0時(shí)，如果極限時(shí)，如果極限設(shè)某產(chǎn)品的總成本設(shè)某產(chǎn)品的總成本C是產(chǎn)量是產(chǎn)量Q的函數(shù)

3、，即的函數(shù)，即C=C(Q )，當(dāng)產(chǎn)，當(dāng)產(chǎn)量量Q 從從 變到變到 時(shí)，總成本相應(yīng)地改變量為時(shí)，總成本相應(yīng)地改變量為 當(dāng)產(chǎn)量從當(dāng)產(chǎn)量從 變到變到 時(shí)，總成本的平均變化率時(shí)，總成本的平均變化率0Q0QQ 00()()CC QQC Q Q0 00QQ 00()()C QQC QCQQ 0000()()limlimQQC QQC QCQQ 存在，則稱此極限是產(chǎn)量為存在，則稱此極限是產(chǎn)量為 時(shí)總成本的變化率。時(shí)總成本的變化率。0Q0Q例例2 2 產(chǎn)品總成本的變化率產(chǎn)品總成本的變化率前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁定義定義 設(shè)設(shè)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，的某鄰域內(nèi)有定義， 屬于該鄰域，記屬于該鄰域，

4、記 若若存在，則稱其極限值為存在，則稱其極限值為y = f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0 處的導(dǎo)數(shù)，記為處的導(dǎo)數(shù)，記為xx0),()(00 xfxxfy xyx0limxxfxxfx )()(lim000.|dd,|dd,|)(0000 xxxxxxxfxyyxf或或或.)()(limlim)(00000 xxfxxfxyxfxx 或或2.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁導(dǎo)數(shù)定義與下面的形式等價(jià)：導(dǎo)數(shù)定義與下面的形式等價(jià)：.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 若若y =f (x)在在x= x0 的導(dǎo)數(shù)存在，則稱的導(dǎo)數(shù)存在，則稱y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0 處可導(dǎo)，反之稱處可

5、導(dǎo)，反之稱y = f (x)在在x = x0 不可導(dǎo)，此時(shí)意不可導(dǎo)，此時(shí)意味著不存在味著不存在.函數(shù)的可導(dǎo)性與函數(shù)的連續(xù)性的概念函數(shù)的可導(dǎo)性與函數(shù)的連續(xù)性的概念都是描述函數(shù)在一點(diǎn)處的性態(tài)，導(dǎo)數(shù)的大小反映都是描述函數(shù)在一點(diǎn)處的性態(tài)，導(dǎo)數(shù)的大小反映了函數(shù)在一點(diǎn)處變化了函數(shù)在一點(diǎn)處變化(增大或減小增大或減小)的快慢的快慢.前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 書上書上50頁還有幾個(gè)常見的形式，值得注意的是其頁還有幾個(gè)常見的形式，值得注意的是其中的第二個(gè)一般來說只能在已知導(dǎo)數(shù)存在的時(shí)候中的第二個(gè)一般來說只能在已知導(dǎo)數(shù)存在的時(shí)候使用。另外，導(dǎo)數(shù)為無窮只是個(gè)記號，不代表導(dǎo)使用。另外，導(dǎo)數(shù)為無窮只是個(gè)記號，不代表導(dǎo)數(shù)存

6、在。數(shù)存在。前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁三、左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)三、左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù) 左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù): :.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx 右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù):.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx顯然可以用下面的形式來定義左、右導(dǎo)數(shù)顯然可以用下面的形式來定義左、右導(dǎo)數(shù),)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 定理定理3.1 y = f (x)在在x =x0可導(dǎo)的充分必要條件是可導(dǎo)的充分必要條件是y = f (x)在在x=x0 的左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等的左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等.前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、導(dǎo)數(shù)的幾

7、何意義 當(dāng)自變量當(dāng)自變量 從變化到從變化到 時(shí)，曲線時(shí)，曲線y=f(x)上的點(diǎn)由上的點(diǎn)由 變到變到).(,(00 xxfxxM此時(shí)此時(shí) 為割線兩端點(diǎn)為割線兩端點(diǎn)M0，M的橫坐標(biāo)之差，而的橫坐標(biāo)之差，而 則為則為M0，M 的縱坐標(biāo)之差，的縱坐標(biāo)之差，所以所以 即為過即為過M0，M兩點(diǎn)的兩點(diǎn)的割線的斜率割線的斜率.0 x).(,(000 xfxMxyxyxx0M0M0 xxx0前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 曲線曲線y = f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)M0處的切線即為割線處的切線即為割線M0M當(dāng)當(dāng)M沿曲沿曲線線y=f(x)無限接近無限接近 時(shí)的極限位置時(shí)的極限位置M0P，因而當(dāng)因而當(dāng) 時(shí)，割線斜率的極限值就是切線

8、的斜率時(shí)，割線斜率的極限值就是切線的斜率.即：即：0 0 xD D00()limlimtantanxyfxkx 所以，導(dǎo)數(shù)所以，導(dǎo)數(shù) 的幾何意義的幾何意義是曲線是曲線y = f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn)M0(x0,f(x0)處的切線斜率處的切線斜率.)(0 xf M0M0 xxx0P P0 0M 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則曲線在點(diǎn)處可導(dǎo)，則曲線y=f(x)在在點(diǎn)處的切線方程為：點(diǎn)處的切線方程為： 而而當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),曲線曲線 在在 的切線方程為的切線方程為0001()().()yf xxxfx 0 xx (即法線平行y軸).0 xx 000()()().yf xfxx

9、x 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),曲線曲線 在在 的法線方程為的法線方程為0()0fx ( )f x0M而當(dāng)而當(dāng) 時(shí)時(shí),曲線曲線 在在 的法線方程為的法線方程為0()0fx ( )f x0M0()fx ( )f x0M前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例3 3 求函數(shù)求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)解解: (1): (1)求增量求增量: : (2)(2)算比值算比值: : (3)(3)取極限取極限: : 同理可得同理可得: :特別地特別地, . , . 2xy ()( )yf xxf x 222()2()xxxx xx xxxy2xxxxyyxx2)2(limlim00為正整數(shù)）nnxxnn()(111( )()xn 前頁前頁結(jié)束

10、結(jié)束后頁后頁例例4 4 求曲線求曲線 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的切線與法線方程處的切線與法線方程. .解解: :因?yàn)橐驗(yàn)?, ,由導(dǎo)數(shù)幾何意義由導(dǎo)數(shù)幾何意義, ,曲線曲線 在點(diǎn)在點(diǎn) 的切線與法線的斜率分別為的切線與法線的斜率分別為: : 于是所求的切線方程為于是所求的切線方程為: :即即法線方程為法線方程為: :3xy )8 , 2(233)(xx3xy )8 , 2(1211,12)3(122221kkxykxx)2(128xy01612 yx)2(1218xy即09812yx前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁2.1.4 2.1.4 可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理定理2 若函數(shù)若函數(shù)y = f (x

11、)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，則則f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0 處連續(xù)處連續(xù).證證 因?yàn)橐驗(yàn)閒 (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，故有處可導(dǎo)，故有00()lim.xyfxx 根據(jù)函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系根據(jù)函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系,可得可得:00()lim0.xyfxx ，其其中中兩端乘以兩端乘以 得得:0()yfxxx x由此可見由此可見:000limlim()0.xxyfxxx 即函數(shù)即函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0 處連續(xù)處連續(xù).證畢證畢.前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例5 證明函數(shù)證明函數(shù) 在在x=0處連續(xù)但不可導(dǎo)處連續(xù)但不可導(dǎo).|yx 證證 因?yàn)橐驗(yàn)?lim| 0 xx 所以所以 在在x =0=0連續(xù)連

12、續(xù)|yx 00(0)limlim1xxyxfxx 1limlim)0(00 xxxyfxx而而即函數(shù)即函數(shù) 在在x=0處左右導(dǎo)數(shù)不相等處左右導(dǎo)數(shù)不相等,從而在從而在|yx x=0不可導(dǎo)不可導(dǎo).由此可見，函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可由此可見，函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)的必要導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件條件，但不是充分條件即可導(dǎo)定連續(xù)即可導(dǎo)定連續(xù), ,連續(xù)不一定可導(dǎo)連續(xù)不一定可導(dǎo). .前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)u(u(x) )與與v(v(x) ) 在點(diǎn)在點(diǎn)x處均可導(dǎo)，則處均可導(dǎo)，則: :定理一定理一);()()()()1(xvxuxvxu ),()()()()()()2(xvxux

13、vxuxvxu uCCuCCxv ) (,()(,則則為為常常數(shù)數(shù)）特特別別地地2)()()()()()()()3(xvxvxuxvxuxvxu ( )1,u x 2.2.1 2.2.1 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則2.2 2.2 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算特別地特別地,如果如果可得公式可得公式21( ) ( ( )0)( ) ( )v xv xv xv x 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁wvuwvu )(注：法則（注：法則（1）（）（2）均可推廣到有限）均可推廣到有限多個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形多個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形wuvwvuvwuuvw )(例：例：設(shè)設(shè)u=u(x),v=v(x),

14、w=w(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x處均處均可導(dǎo)，則可導(dǎo)，則前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁)3lnsin(3 xexyx解：解： )3(ln)(sin)()(3 xexxxexxcos32 例例2 設(shè)設(shè)52,xyxy 求求)(52)(5 xx2xx解：解：)25( xxy2ln25225xxxx yxexyx ，求求設(shè)設(shè)3lnsin3例例1前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁)(tan xy)cossin( xx解：解：xxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 即即 2(ta n)secxx 2(cot)cscxx 類似可得類似可得例例3 求求y = tanx

15、 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁)cos1( xxx2cossin )(sec xy解：解：xxtancos1 xx tansec 即即(sec )sectanxxx (csc )csccotxxx 類似可得類似可得例例4 求求 y = secx 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 定理二定理二)(xu 如果函數(shù)如果函數(shù)在在x處可導(dǎo)，而函數(shù)處可導(dǎo)，而函數(shù)y=f(u)在對應(yīng)的在對應(yīng)的u處可導(dǎo)，處可導(dǎo)， 那么復(fù)合函數(shù)那么復(fù)合函數(shù))(xfy 在在x處可導(dǎo)，且有處可導(dǎo)，且有dydy dudxdu dx或或xuxyyu對于多次復(fù)合的函數(shù)，其求導(dǎo)公式類似，對于多次復(fù)合的函數(shù)，其求導(dǎo)公式類似，此法則

16、也稱鏈導(dǎo)法此法則也稱鏈導(dǎo)法注：注：2.2.2 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁xuxuy)1()(sin2 xu 2cos )1cos(22xx 例例7yxy 求求,2lnsin222lncos22 xxxxxxxy2221212lncos222 解：解：解：解：復(fù)復(fù)合合而而成成可可看看作作221,sin)1sin(xuuyxy yxy 求求),1sin(2例例6前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁定理三定理三, 0)( y 且且)(yx 如果單調(diào)連續(xù)函數(shù)如果單調(diào)連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則它的反函數(shù)則它的反函數(shù)y=f(x)在對應(yīng)的區(qū)間在對應(yīng)的區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且有內(nèi)可導(dǎo)，且有

17、1dydxdydx 1( )( )fxy 或或證證 因?yàn)橐驗(yàn)?的反函數(shù)的反函數(shù) ( )( )yf xxy 是是( ) ( )xyf x所所以以有有dxdydydx 1上式兩邊對上式兩邊對x求導(dǎo)得求導(dǎo)得xyf 1或或dydxdxdy1 或或1( )( )fxy 所所以以 0)(ydydx 2.2.3 反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁）內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)且且可可導(dǎo)導(dǎo)，在在區(qū)區(qū)間間（而而2,2sin yx, 0cos)(sin yyy且且解：解：y = arcsinx 是是x = siny 的反函數(shù)的反函數(shù)因此在對應(yīng)的區(qū)間（因此在對應(yīng)的區(qū)間（-1，1）內(nèi)有）內(nèi)有)(sin1)(ar

18、csin yxxycos1 y2sin11 211x 21(arcsin )1xxx 即即同理同理21(arccos )1xxx 21(arctan )1xx 21(cot )1arcxx 求函數(shù)求函數(shù)y = arcsinx 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)例例7 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁基本導(dǎo)數(shù)公式表基本導(dǎo)數(shù)公式表為為常常數(shù)數(shù)）CC(0).(1 為為常常數(shù)數(shù)） ().(21 xxaxxaln1).(log3 14.(ln)xx xxee ).(6xxcos).(sin7 xxsin).(cos8 2.2.4 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)aaaxxln)(5 . .前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 dxdydxd

19、dxyd22即即,)( yy )()( xfxf或或22)(dxxfd,y 記作記作),(xf 22dxyd或或二階導(dǎo)數(shù)：二階導(dǎo)數(shù)：)(xfy 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍是仍是x的可導(dǎo)的可導(dǎo)函數(shù)，就稱函數(shù)，就稱)(xfy 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，的二階導(dǎo)數(shù)，n階導(dǎo)數(shù)：階導(dǎo)數(shù)：( )( )( )( )nnnnd ddd yf xfxydx dxdxdx 二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算：高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算： 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則與基本公式將函運(yùn)用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則與基本公式將函數(shù)逐次求導(dǎo)數(shù)逐次求導(dǎo)2.3 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)前頁前頁結(jié)束

20、結(jié)束后頁后頁,lnaayx 解：解：nxnaay)(ln)( ,)(ln2aayx ,特別地特別地,)(xxee xnxee )()(,)(xxee ,例例9)(,sinnyxy求求設(shè)設(shè) )2sin( xy)2cos( x)22sin( x解：解：)(sin xyxcos )2sin( x )22sin( xy)23sin( x)2sin()( nxyn即即()(sin)sin()2nxxn 同理同理( )(cos )cos()2nxxn )(,nxyay求求設(shè)設(shè) 例例8前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 簡單簡單 介紹下求高階導(dǎo)數(shù)的介紹下求高階導(dǎo)數(shù)的Leibniz公式。特別指公式。特別指出它和二項(xiàng)式展

21、開的形式上的類似之處與差別。出它和二項(xiàng)式展開的形式上的類似之處與差別。前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁22xyxyeyex 1. 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例例10 求方程求方程 所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：解：方程兩端對方程兩端對x求導(dǎo)得求導(dǎo)得0)2(2 xyeyxxyye2. 5 隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)即是由隱函數(shù)即是由 所確定的函數(shù)，其求導(dǎo)方法就是把所確定的函數(shù)，其求導(dǎo)方法就是把y看成看成x的函數(shù)，方程兩端同時(shí)對的函數(shù)，方程兩端同時(shí)對x求導(dǎo)，然后解出求導(dǎo)，然后解出 。 ( , )F x yy 20yxex ye 即即前頁前頁結(jié)束結(jié)束后

22、頁后頁例例9dxdyyxy求求設(shè)設(shè)),2arctan( 解：解：兩邊對兩邊對x求導(dǎo)得求導(dǎo)得)21()2(112yyxy 1)2(12 yxy得得解解出出 ,y 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁)1ln(2)1(xxxexyy 2 2可可以以寫寫成成函函數(shù)數(shù)解一解一)1ln(2 xxey )1ln(2)1ln(2 xxexx )1(1)1ln(222)1ln(2xxxxexx 222212)1ln()1(xxxxxyxyx 求求設(shè)設(shè),)1(2例例11前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁)1ln(ln2xxy 兩邊對兩邊對x求導(dǎo)，由鏈導(dǎo)法有求導(dǎo)，由鏈導(dǎo)法有xxxxyy21)1ln(122 22212)1ln(xxx

23、222212)1ln()1(xxxxyx 解二稱為解二稱為對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法，可用來求冪指函數(shù)和多個(gè)因，可用來求冪指函數(shù)和多個(gè)因子連乘積函數(shù)、開方及其它適用于對數(shù)化簡的函數(shù)的求導(dǎo)子連乘積函數(shù)、開方及其它適用于對數(shù)化簡的函數(shù)的求導(dǎo)注：注：兩兩邊邊取取自自然然對對數(shù)數(shù)將將函函數(shù)數(shù)xxy)1(2 解二解二前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁)1ln(21)43ln(21)1ln(21ln2 xxxy解：解：將函數(shù)取自然對數(shù)得將函數(shù)取自然對數(shù)得)1(21)43(23112 xxxxyy兩邊對兩邊對x求導(dǎo)得求導(dǎo)得2231(1)(34)(1)12(34)2(1)xyxxxxxx 所所以以yxxxy 求求設(shè)設(shè), )

24、1)(43)(1(2例例12前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁且且)(tx )(),(tytx 設(shè)設(shè)均可導(dǎo)均可導(dǎo),具有單值連續(xù)具有單值連續(xù)反函數(shù)反函數(shù))(1xt ，則參數(shù)方程確定的函數(shù)可看成則參數(shù)方程確定的函數(shù)可看成)(ty 與與)(1xt 復(fù)合而成的函數(shù)，復(fù)合而成的函數(shù)， 根據(jù)求導(dǎo)法則有：根據(jù)求導(dǎo)法則有：求得求得y對對x的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)對參數(shù)方程所確定的函數(shù)對參數(shù)方程所確定的函數(shù)y=f(x),可利用參數(shù)方程直接可利用參數(shù)方程直接dydy dtdxdtdxdtdxdtdy1 )(1)(tt ( )( )tt 此即參數(shù)方程所確定函數(shù)的此即參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo)公式2.參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)參數(shù)方

25、程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)變量變量y與與x之間的函數(shù)關(guān)系有時(shí)是由參數(shù)方程之間的函數(shù)關(guān)系有時(shí)是由參數(shù)方程)()(txty 確定的，其中確定的，其中t 稱為參數(shù)稱為參數(shù)前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 解：解： 曲線上對應(yīng)曲線上對應(yīng)t =1的點(diǎn)（的點(diǎn)（x, y)為（為（0,0）,曲線曲線t =1在處的切線斜率為在處的切線斜率為1 tdxdyk12231 ttt122 于是所求的切線方程為于是所求的切線方程為 y =x123 txtty求曲線求曲線在在t =1處的切線方程處的切線方程例例13前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 簡單介紹一下對由方程確定的函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)的簡單介紹一下對由方程確定的函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)的方法，關(guān)鍵是正

26、確寫出一階導(dǎo)數(shù)的正確形式。方法，關(guān)鍵是正確寫出一階導(dǎo)數(shù)的正確形式。前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁解解如圖，正方形金屬片的面如圖，正方形金屬片的面積積 A 與邊長與邊長 x 的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系為為A = x2 , 受熱后當(dāng)邊長由受熱后當(dāng)邊長由x0伸長到伸長到x0+ 時(shí)時(shí), 面積面積A相應(yīng)的增量為相應(yīng)的增量為x2.6.1 微分的概念微分的概念例例1 設(shè)有一個(gè)邊長為設(shè)有一個(gè)邊長為x0的正方形金屬片，受熱后它的的正方形金屬片，受熱后它的邊長伸長了邊長伸長了 ，問其面積增加了多少？，問其面積增加了多少？x 2 0 x A 0 x x x 0 x x 0 x 2 x 202020)(2)(xxxxxxA 2.

27、6 2.6 微分微分前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁的線性函數(shù)的線性函數(shù)同階的無窮??；同階的無窮??；時(shí)與時(shí)與是當(dāng)是當(dāng)xxxx 0,20從上式可以看出，從上式可以看出，xA是分成兩部分：第一部分xA 是是分成兩部分：第一部分分成兩部分：第一部分高高階階的的無無窮窮小小。時(shí)時(shí)比比是是當(dāng)當(dāng)?shù)诘诙坎糠址謝xx 0,)(2這表明這表明的的近近似似值值：數(shù)數(shù)作作為為很很小小時(shí)時(shí)，可可用用其其線線性性函函Ax 02.Axx 這部分就是面積這部分就是面積A 的增量的主要部分（線性主部）的增量的主要部分（線性主部）,2)()(0200 xxxxx A A因?yàn)橐驗(yàn)樗陨鲜娇蓪懗伤陨鲜娇蓪懗?().AA xx 前頁前

28、頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁)()(00 xfxxfy 可以表示為可以表示為定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的某鄰域內(nèi)有定義，的某鄰域內(nèi)有定義，處的增量處的增量0 x在點(diǎn)在點(diǎn))(xf如果函數(shù)如果函數(shù)),( xoxAy 00 d | d |.x xx xyyAx，即即于是于是,（2.3.1)式可寫成式可寫成0 xxdAA 處的微分，處的微分，0 x)(xfxA 可微，可微，稱為稱為在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處處在點(diǎn)在點(diǎn))(xf高階的無窮小，則稱函數(shù)高階的無窮小，則稱函數(shù)時(shí)時(shí)0 x)( xo x其中其中A是與是與無關(guān)的常數(shù)，無關(guān)的常數(shù)，是當(dāng)是當(dāng)比比x記為記為前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁由微分定義，函數(shù)由微分定

29、義，函數(shù)f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處可微與可導(dǎo)等價(jià)，處可微與可導(dǎo)等價(jià)，且且0()Afx , ,因而因而)(xf在點(diǎn)在點(diǎn) x0處的微分可寫成處的微分可寫成00d()x xyf xx00d()dx xyf xx于是函數(shù)于是函數(shù)通常把通常把x 記為記為，稱自變量的微分，稱自變量的微分，上式兩端同除以自變量的微分，得上式兩端同除以自變量的微分，得d( )dyf xx因此導(dǎo)數(shù)也稱為微商因此導(dǎo)數(shù)也稱為微商可微函數(shù)：如果函數(shù)在區(qū)間可微函數(shù)：如果函數(shù)在區(qū)間(a , b)內(nèi)每一點(diǎn)都可微，內(nèi)每一點(diǎn)都可微， 則稱該函數(shù)在則稱該函數(shù)在(a , b)內(nèi)可微。內(nèi)可微。d( )dyfxxf (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0 處的微分又可寫成

30、處的微分又可寫成d xf(x) 在在(a,b)內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)x處的微分記為處的微分記為前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁解：解：0201. 0101. 1)(2222 xxxy例例2 求函數(shù)求函數(shù) y=x2 在在 x=1,01. 0 x時(shí)的改變量和微分。時(shí)的改變量和微分。于是于是 110.010.01d20.02xxxxyx x 面積的微分為面積的微分為 d2.rssrr r .)(2)(222rrrrrrs解：面積的增量解：面積的增量面積的增量與微分面積的增量與微分r當(dāng)半徑增大當(dāng)半徑增大2rs例例3 半徑為半徑為r 的圓的面積的圓的面積時(shí)，求時(shí)，求2d()2yxxx x 在點(diǎn)在點(diǎn)1x處，處，前頁前頁

31、結(jié)束結(jié)束后頁后頁2.6.2 微分的幾何意義微分的幾何意義x當(dāng)自變量當(dāng)自變量x有增量有增量時(shí)，時(shí)，切線切線MT 的縱坐標(biāo)相應(yīng)地有增量的縱坐標(biāo)相應(yīng)地有增量tan( )dPxf xxy Q( , )M x y因此，微分因此，微分d( )yfxx幾何上表示當(dāng)幾何上表示當(dāng)x有增量有增量x時(shí)，曲線時(shí)，曲線 ( )yf x在對應(yīng)點(diǎn)在對應(yīng)點(diǎn)處的切線的縱坐標(biāo)的增量處的切線的縱坐標(biāo)的增量 y用用d y近似代替近似代替dyyPN 就是用就是用QP近似代替近似代替QN，并且，并且tan( )f x設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y = f (x)的圖形如下圖所示的圖形如下圖所示.過曲線過曲線y = f (x)上一點(diǎn)上一點(diǎn)M(x,y)處作

32、切線處作切線MT,設(shè)設(shè)MT的傾角為的傾角為則則, y ( )yf x MNOxy d yxxx Q QP前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁2.6.3 微分的運(yùn)算法則微分的運(yùn)算法則1. 微分的基本公式：微分的基本公式：(1) d0 () CC為為常常數(shù)數(shù)1(2) dd () aaxaxxa 為為常常數(shù)數(shù)(4) dee dxxx 1(6) dlndxxx (8) dcossin dxx x (3) dln d (01)xxaaaxa,a 11(5) dlogd (01)lnaxxa,axa (7) dsincos d xx x 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁21(16) d arccot d 1xxx 21(14

33、) d arccos d1xxx 21(13) darcsin d1xxx 21(15) d arctan d 1xxx 2(10) dcotcscdxx x 2(9) d tan secdxx x (12) dcsc csccot dxxx x (11) dsec sectan dxxx x 續(xù)前表續(xù)前表前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁2. 2. 微分的四則運(yùn)算法則微分的四則運(yùn)算法則設(shè)設(shè)u=u(x)，v=v(x)均可微均可微 ，則，則d()dd ;uvuv d()dd ;uvv uu vd()dCuCu （C 為常數(shù)）；為常數(shù)）；2ddduvuuvvv0().v 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁3復(fù)合函數(shù)的微分法則復(fù)合函數(shù)的微分法則都是可導(dǎo)函數(shù)，則都是可導(dǎo)函數(shù)，則( )( )yf uux，設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)的微分為的微分為)(xfy復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)d( )d( ) ( )dxyfxxf uxx 利用微分形式不變性，可以計(jì)算復(fù)合函數(shù)和隱利用微分形式不變性，可以計(jì)算復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的微分函數(shù)的微分.這就是一階微分形式不變性這就是一階微分形式不變性.可見，若可見，若y=f(u)可微，不論可微，不論u是自變量還是中間變量，是自變量還是中間變量，d( )dyf uu總有總有而而d( )duxxuufyd)(d 于是前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后