二重積分習(xí)題及答案

1、解解 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 解解 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 3. 計(jì)算二重積分,dd)(222yxeyxxIyxD其中:(1) D為圓域; 122 yx(2) D由直線1,1,xyxy解解: (1) 利用對稱性.yox1DyxxIDdd20dd)(2122yxyxD10320dd21rr4yxeyxDyxdd22圍成 .yxeyxDyxdd122(2) 積分域如圖:o1yx11D2Dxyxy , xy將D 分為,21DDyxxIDdd2yxeyxDyxdd22200dd1112x

2、yxx32添加輔助線利用對稱性 , 得111 xyo4. 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分,dd)sgn() 1 (2yxxyID,dd)22()2(22yxxyyxID122 yx在第一象限部分在第一象限部分. 解解: (1)2xy 21, DD兩部分兩部分, 則則1ddDyxI1112ddxyx322D2ddDyx2011ddxyx1011:yxD，其中其中D 為圓域?yàn)閳A域把與把與D 分成分成1D作輔助線作輔助線xy1o1xy (2) 提示提示: 21, DD兩部分 1DyxyxDdd)(22yxyxDdd)2(說明說明: 若不用對稱性, 需分塊積分以去掉絕對值符號. xy 作輔助線2D將D 分成

3、Dyxdd2yxxyyxIDdd)22(222) 12(325 計(jì)算計(jì)算 1:,)(22 yxDdxdyyxD積分區(qū)域積分區(qū)域D關(guān)于關(guān)于x、y軸均對稱軸均對稱,分析分析 yxyxf ),(被積函數(shù)被積函數(shù)關(guān)于關(guān)于x,y均是偶函數(shù)，利用對稱性均是偶函數(shù)，利用對稱性去掉絕對值符號去掉絕對值符號. 解解 采用直角坐標(biāo)采用直角坐標(biāo) Ddxdyyx)(【注【注】在利用對稱性計(jì)算二重積分時(shí)，要同時(shí)考慮被積在利用對稱性計(jì)算二重積分時(shí)，要同時(shí)考慮被積函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域的對稱性，不能只注意積分區(qū)域函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域的對稱性，不能只注意積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱性，而忽視了被積函數(shù)應(yīng)具有相應(yīng)的奇關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱性，而忽視了被積函數(shù)應(yīng)具有相應(yīng)的奇偶性偶性. 21010)(4xdyyxdx38 .)()(11)()(12 banxanbadyyfybndyyfyxdx證明證明 證證 bynbaxanbadxyfyxdydyyfyxdx)()()()(22 babynyxndyyf)(11)(1.)()(111 bandyyfybnDxy bbaa61 yx122 yx解解 sincosryrx Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd7解解32 61 sin4 r sin2 rdx