對數(shù)相關(guān)公式(共8頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上對數(shù)相關(guān)知識(shí)概述：對數(shù)是高中代數(shù)中一塊重要內(nèi)容，主要考察對數(shù)函數(shù)以及與對數(shù)相關(guān)的運(yùn)算等（包括各種公式），在此總結(jié)如下：定義：對數(shù)源出于指數(shù)，且，常用對數(shù)：；自然對數(shù)：，一代數(shù)基本關(guān)系式 .(基礎(chǔ))把指數(shù)式代入對數(shù)式消去，得到*（F1），且，說明：特別地，對應(yīng)和的情況，有*（F1.1），且*（F1.2），且把對數(shù)式代入指數(shù)式消去，得到（F2）真數(shù)還原:，且，說明：應(yīng)用舉例：例1：求值(E1)；(E2)；(E3)。解：(E1)(E2)(E3)為了底數(shù)變?yōu)橄嗤确治雠c的關(guān)系，所以注：需要使用的指數(shù)恒等式：，。做這一類題的關(guān)鍵在于關(guān)注底數(shù)是否相同，底數(shù)不同的想辦法化成同底數(shù)

2、，然后應(yīng)用公式。自己動(dòng)手：(Q1)；(Q2)；(Q3)；(Q4)；(Q5)。（F3），且，證明：因?yàn)橥砩厦鎯墒降淖筮叺讛?shù)相同，指數(shù)的相等由乘法交換律保證著，所以。應(yīng)用舉例：例1：(E2)；(E3)解：用（F3）重新做：(E2)；(E3)。注：（F3）可以方便計(jì)算這一類題，在做選擇填空上可以快一點(diǎn)點(diǎn)。自己動(dòng)手：(Q6)；(Q7)。二積的對數(shù)、商的對數(shù)、冪的對數(shù)。（重點(diǎn)）*（F4）,且，證法一：令，那么，所以。證法二：。證法一首先引入了輔助的，最后求得結(jié)果后換回。證法二是不引入輔助量而是利用了（F2）和（F1）。兩種方法基本步驟一樣，沒有本質(zhì)區(qū)別。(F4.1)擴(kuò)展到多個(gè)數(shù)的積的情況：且，*（F5

3、）,且，*（F6），且，證法一：令，那么，所以。證法二：。應(yīng)用舉例：例2：求值：（E8）；（E9）；（E10）；（E11）；解：（E8）；（E9）；（E10）注：把所有減法做成加法，把所有除法做成乘法。（E11）例3：(E12)已知，且，求。分析：質(zhì)因數(shù)分解：，而，它們都由以或?yàn)榈椎膬缢敖M成”。注意這里要解一元二次方程組。解：因?yàn)?（1）同理 （2）從上面兩式解出和（和是已知量，把和看作未知量）（2）-（1）：（1）-（2）：所以自己動(dòng)手：（Q8）；（Q9）；（Q10）；（Q11）；（Q12）已知，求下列各式的值：（Q12.1）；（Q12.2）；（Q12.3）；（Q12.4）。三：對數(shù)式連鎖

4、。（這個(gè)恒等式比較難，有興趣的同學(xué)可以看一下）（F7），。（類比：）證明：記，應(yīng)用（F6）與（F2），有。（F7.1）擴(kuò)展應(yīng)用：，類比：應(yīng)用舉例：例4：（E13）；（E14）。解：由（F7.1）：（E13），。（E14）自己動(dòng)手：（Q13）；（Q14）。四：換底公式。（既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)）前面的恒等式的變換（F1F6）都沒有觸及底數(shù)，對數(shù)的運(yùn)算大多要求底數(shù)相同，當(dāng)?shù)讛?shù)不同時(shí)，對底數(shù)進(jìn)行變換令其變?yōu)橄嗤浅１匾?，所以換底公式是為了在運(yùn)算中統(tǒng)一底數(shù)，降低運(yùn)算難度而出現(xiàn)的。*（F8），。（類比：）證法一：由（F7）得，即。證法二：令，那么，所以。注意到，換底公式從左到右的應(yīng)用過程中，底數(shù)由變?yōu)?，右邊?/p>

5、為對數(shù)的商的形式，其中可以在范圍內(nèi)根據(jù)實(shí)際情況任意選取。只需對取一些特殊值，便可得到換底公式一些常用形態(tài)。（F8.1）取，；（F8.2）取，；（F8.3）取，即，底數(shù)與真數(shù)互換之后的對數(shù)式與原對數(shù)式互為倒數(shù)；*（F8.4），且，證明：用換底公式（F8），把底數(shù)換成，得到，再應(yīng)用(F6)與(F1)，有，結(jié)合起來便得到（F8.4）。恒等式（F8.4）是恒等式（F6）的增強(qiáng)版本。（F8.5）對數(shù)式中，底數(shù)和真數(shù)同時(shí)進(jìn)行同指數(shù)乘方（該指數(shù)非零），對數(shù)式的值不變。，且，這樣底數(shù)可以換成與之關(guān)系比較密切的，例如可以“擴(kuò)充”成為，也可以“收縮”成為，也可以“倒轉(zhuǎn)”成為，視乎需要使用。（F8.6）多個(gè)對數(shù)式連

6、乘積中，將所有真數(shù)以任意順序重排，將所有底數(shù)以任意順序重排，得到新的對數(shù)式連乘積的值與原式相等。這個(gè)公式寫出來比較麻煩，下面用例子說明：如真數(shù)是：，底數(shù)是：，我們把真數(shù)隨意重排：，底數(shù)重排后：，新的對數(shù)式觀察上面兩式右邊，分子和分母分別都只是順序不同而已，乘法交換律保證了兩對數(shù)式連乘積的相等。應(yīng)用舉例：例5：（E15）；（E16）。解：（E15）對數(shù)式的連乘，與對數(shù)式連鎖有點(diǎn)相似，但稍微復(fù)雜，應(yīng)用換底公式另外，應(yīng)用（F8.6），保持真數(shù)順序不變，底數(shù)重排為：，有（E16）括號之內(nèi)底數(shù)不同，不能直接相加，全部換成常用對數(shù)例6：（E17）已知，試用，表示；（E18）已知，試用，表示。解：（E17）

7、解法一：全部換成常用對數(shù)，（這樣，都可以用,表出，代入后便可以達(dá)到消元的目的）解法二：事實(shí)上，如果把底數(shù)統(tǒng)一換成或的話，兩個(gè)式子中有一個(gè)不用變換底數(shù)，會(huì)比較方便，這里以為例（E18）題目條件給出的是，一般來說，把底數(shù)換成，或都可以使問題簡化，這里以為例（事實(shí)上，把底數(shù)換成或運(yùn)算量更少）。，（或）注：這里解題關(guān)鍵是注意觀察，熟悉質(zhì)因數(shù)分解和對數(shù)運(yùn)算恒等式，以及選取適當(dāng)?shù)牡讛?shù)進(jìn)行換底。例7：（E19）已知正數(shù)滿足：，求證：；(E20)已知，求的值。（E19）證明：引入設(shè)而不求的未知數(shù)，令，那么，（觀察上面三式，真數(shù)相同而底數(shù)不同，所以把底數(shù)統(tǒng)一換成將會(huì)方便運(yùn)算）利用（F8.3），可得，所以（E20）把底數(shù)統(tǒng)一換成，由（F8.3）得，注:把出現(xiàn)頻率較高的量作為底數(shù)是十分有效的。自己動(dòng)手：（Q15）；（Q16）；（Q17）例6（E17）中通過把底數(shù)換成求解；（Q18）設(shè)，試用表示；（Q19）設(shè)，求的值。附錄1.乘方表2常用對數(shù)表與自然對數(shù)表0.30100.477