方差分析培訓(xùn)教材

1、 一 方差分析的意義 工業(yè)生產(chǎn)中產(chǎn)品質(zhì)量?jī)?yōu)劣，農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中產(chǎn)量上下，由諸多因素造成。如農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中 ，肥料，澆灌，良種，管理等；化工生產(chǎn)中，原料成分，催化劑，劑量，反響溫度，壓力，溶液，機(jī)器設(shè)備與操作人員水平。每種因素的改變，可影響產(chǎn)品質(zhì)量與數(shù)量，那么在諸因素中找出對(duì)質(zhì)量的某種指標(biāo)有顯著影響的因素，還要弄清這些顯著因素在什么狀態(tài)下水平起的作用大。方差分析就是根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，鑒別各個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響的有效方法。 試驗(yàn)指標(biāo)：在試驗(yàn)中要考察的指標(biāo)稱為試驗(yàn)指標(biāo)。 因素：影響試驗(yàn)指標(biāo)的條件稱為因素。 可控因素： 如，反響溫度，原料劑量，濃度。 不可控因素：如，測(cè)量誤差，氣象條件等。 水平：因素所處狀

2、態(tài)稱為因素的水平。 單因素試驗(yàn)：試驗(yàn)中只有一項(xiàng)因素在改變稱為單因素試驗(yàn)。否那么就稱多因素試驗(yàn)。 例1 設(shè)有三臺(tái)機(jī)器，用來生產(chǎn)規(guī)模相同的鋁合金薄板,取樣測(cè)量薄板至千分之一厘米，得結(jié)果如下表所示； 機(jī)器1 機(jī)器2 機(jī)器3 0.236 0.257 0.258 0.238 0.258 0.264 0.248 0.255 0.259 0.245 0.254 0.267 0.243 0.261 0.262 x = 0.242 x = 0.256 x = 0.262 這里，試驗(yàn)指標(biāo)是薄板的厚度。機(jī)器為因素，不同的三臺(tái)機(jī)器是這個(gè)因素的三個(gè)不同的水平。試驗(yàn)的目的是為了考察各臺(tái)機(jī)器所生產(chǎn)的薄板的厚度有無顯著差異。

3、 例2 下面列出了隨機(jī)選取的，用于計(jì)算器的四種類型的電路的響應(yīng)時(shí)間以毫秒計(jì)。 表9.2 電路的響應(yīng)時(shí)間 類型1 類型2 類型3 類型4 19 20 16 18 22 21 15 22 20 33 16 19 18 27 26 15 40 17這里，試驗(yàn)指標(biāo)是電路的響應(yīng)時(shí)間。電路類型為因素，這一因素有四個(gè)不同的水平。試驗(yàn)的目的是為了考察各種類型的電路的響應(yīng)時(shí)間有無顯著差異。 二 單因素試驗(yàn) 在例 1 中，我們?cè)谝蛩氐拿恳粋€(gè)水平下進(jìn)行了獨(dú)立試驗(yàn)，其結(jié)果是一個(gè)隨機(jī)變量。表中的數(shù)據(jù)可看成來自三個(gè)不同總體的樣本值。將各個(gè)總體的均值依次記作1 , 2 , 3,按題意需檢驗(yàn)假設(shè) H0 ： 1 = 2 = 3

4、 H1 ： 1 , 2 , 3 不全相等?，F(xiàn)在假設(shè)假設(shè)各總體均為正態(tài)變量，且各總體的方差相等，那么這是一個(gè)檢驗(yàn)同方差的多個(gè)正態(tài)總體均值是否相等的問題。 設(shè)因素A有s個(gè)水平A1 , A2 , , As, 在水平Aj (j=1,2, s)下，進(jìn)行了nj (nj2) 次獨(dú)立試驗(yàn)，得到如下表的結(jié)果 表9.4 水平觀察值 A1 A2 As x11 x12 x1s x21 x22 x2s xn1 1 xn2 2 xns s 樣本總和 T. 1 T. 2 T. s 樣本均值 . . . 總體均值 1 2 . . . s1 .x2 .xsx. 我們假定：各個(gè)水平Aj (j=1,2,s)下的樣本x1j , A2

5、j , , Anj j 來自具有相同方差s2，均值分別為j(j=1,2,s)的正態(tài)總體N (j,s2) , j與s2未知。且設(shè)不同水平Aj 下的樣本之間相互獨(dú)立。 ), ,( 2sjijNx由于), 0( x2ijsNj即有可寫成則記可以看成隨機(jī)誤差故ijijjijjijxxx, .s, . 1,2,j ; n , . 1,2,i ,jijjijx), 0(2sNij獨(dú)立，各 ij) 1 (其中mj與s2均為未知參數(shù)，1式稱為單因素試驗(yàn)方差分析的數(shù)學(xué)模型。 方差分析的任務(wù)是對(duì)于模型1： 10 檢驗(yàn)s 個(gè)總體N (m1,s2), , N (ms,s2)的均值 是否相等 H0 ： 1 = 2 =

6、= s , (2) H1 ： 1 , 2 , , s 不全相等。 20 作出未知參數(shù)1 , 2 , , s ,s2的估計(jì)。(3) n1 1sjjjn記 , nn 1j稱為總平均。再引入其中sj(4) s, . 1,2,j ,jj的效應(yīng)。稱水平此時(shí)有jssAnnj2211 , 0.n 利用這些記號(hào)，模型1可改寫成 ,ijjijx), 0(2sNij獨(dú)立各 ij) 1 (sjjjjsjnin1. ,.,2 , 1,.,2 , 1, 0而假設(shè)2等價(jià)假設(shè) H0 ： 1 = 2 = = s = 0 (2) H1 ： 1 , 2 , , s 不全為零。這是因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)1 = 2 = = s 時(shí), j =

7、,即 j =0. 三 平方和的分解引入總平方和(5) )(S 112Tsjniijjxx(6) 1x 11sjniijjxn其中(7) 11.jniijjjxnx是數(shù)據(jù)的總平均。 ST 又稱總變差。記水平Aj下的樣本平均值為 ，即jx.那么有sjniijjxx112T)(S sjnijjijjxxxx112.)()(sjnijijjxx112.)(sjnijjxx112.)(sjnijjijjxxxx11.)(2sjnijjijjxxxx11.)(2 而sjnijijjjxxxx11. )()(2. 0)(211.sjnijjijjjxnxxx于是我們將ST分解成為：(8) , S TAESS

8、 其中(9) )(112.sjnijijEjxxSsjnijAjxxS112.)(sjjjxxn12.)(sjjjxnxn122.(10) 上述SE的各項(xiàng)表示在水平Aj 下，樣本觀察值與樣本均值的差異，這是由隨機(jī)誤差引起的, SE稱誤差平方和誤差平方和。而SA 的各項(xiàng)表示在水平 Aj 下樣本平均值與數(shù)據(jù)總平均的差 異，這是由水平Aj及隨機(jī)誤差引起的. SA稱效應(yīng)平方和效應(yīng)平方和。 三 SE ，SA 的統(tǒng)計(jì)特性(11) .)( . )(12.121 .11snisisniiExxxxS故有倍的的樣本方差是總體注意到,1),()(212.jjnijijnNxxjsjnijjijnxx1222.).

9、1(/)(s分布的可加性知由）式中各平方和獨(dú)立，獨(dú)立，故（因各211ijx,) 1(/122sjjEnSs(12) ),(/ 22snSEs即的自由度為式還知，由這里E1jS(12). nn sj個(gè)變量是的統(tǒng)計(jì)特性，因我們研究sSSAA ,且有sn (13) .)()E(S 2Essn 一個(gè)線性約束條件有的平方和，它們之間僅（),.,2 , 1)(.sjxxnjj)(.1xxnnjjsjj)(.1xxnjsjj, 011xnnxsjjniijj且可證的自由度是故知. 1sSA(15) .) 1()(122sjjjAnsSEs(16) ).1(/S 22A0sHSSEAs為真時(shí)獨(dú)立，且當(dāng)與還可證

10、假設(shè)檢驗(yàn)問題的拒絕域四、 (17) ,)1SE( 152A0ssH 為真時(shí)）式知，當(dāng)由（(18) 1-s1)1SE( , 02s1j22A121ssjjsjjjnsnH此時(shí)為真時(shí)，而當(dāng)(19) ,)SE( 132Es sn）式知，又由（的偏估計(jì)。都是是否為真，即不管20)/(ssnSHE的特性，綜上所述，根據(jù)分式)/() 1/(snSsSFEA)., 1()/() 1/()/() 1/(22snsFsnSsSsnSsSEAEAss為真時(shí)，確定。當(dāng)由顯著性水平其中的拒絕域具有形式）知檢驗(yàn)問題（0 )/() 1/( 2HkksnSsSFEA(20) ), 1()/() 1/( 2snsFsnSsS

11、FEA的拒絕域?yàn)椋┯纱说脵z驗(yàn)問題（單因素試驗(yàn)方差分析表 方差來源 平方和 自由度 均方 F 比 因素A SA s-1 誤差 SE n-s 總和 ST n-11sSSAAsnSSEEEASSF sjniijniijjjxTsjx11.1.j,.,2 , 1,T 記簡(jiǎn)便公式計(jì)算。在實(shí)際中，可用下面的即有(21) . ,s1j2.12.22.11112.222ATEsjjjjjAsjnisjniijijTSSSnTnTxnxnSnTxxnxSjj，完成這一假設(shè)。試取不全相等。中需檢驗(yàn)假設(shè)如上所述，在例例05. 0 ,:H , :H 1 4 32113210,15, 5n3,s 321nnn現(xiàn)在解31

12、5122.2.00124533. 015/)8 . 3(963912. 015jiijTTxS00105333. 015/(3.8)- )31. 128. 121. 1 (5122222.32.nTnTSjjjA.000192. 0SEATSS,12, 21,141,STsnsnSSEA的自由度依次為單因素試驗(yàn)方差分析表 方差來源 平方和 自由度 均方 F 比 因素A 0.00105333 2 0.00052661 32.92 誤差 0.000192 12 0.000016 總和 0.00124533 14板厚度有顯著差異。認(rèn)為各臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的薄下拒絕故在水平因,05. 0,92.3289. 3

13、)12, 2(F 00.05H 五、 未知參數(shù)的估計(jì) 我們已經(jīng)知道，不管H0是否為真snSE2s式知的無偏估計(jì)。又由是)7(),14(2ss.1,2,.,j ,)(1)xE( ,)xE(1.jjniijjxEn的無偏估計(jì)。，分別是故jjx.j , x 不全為零，由于則效應(yīng)又若拒絕s,.,H210的無偏估計(jì)。是知jjjjxx.j s1,2,.,j , 的估計(jì)?？勺C的均值差和時(shí)，常需作出兩總體當(dāng)拒絕kjkjkjNNss),(),(H 220).(11)()x(.jsntnnSxkjEkjk(22) .11)(x 12/.jkjEkkjkjnnSsntx的置信區(qū)間為的置信度為據(jù)此，可得均值例例5 求

14、例4中的未知參數(shù)s2, j, j(j=1,2,3)的點(diǎn)估計(jì)及均值差的置信度為0.95的置信區(qū)間。(),242. 0 ,000016. 0/112xsnSEs,262. 0 ,256. 03322xx,011. 0 ,253. 011xxx.009. 0 ,003. 03322xxxx均值差的區(qū)間估計(jì)如下。由t(n-s)=t)11()12(025. 0kjEnnSt006. 05210161788. 26故 u1-u2, u1-u3, 及u2-u3 ),008. 0,020. 0()006. 0256. 0242. 0(),014. 0,026. 0()006. 0262. 0242. 0().0 ,012. 0()006. 0262. 0256. 0( 例6 設(shè)在例2中的四種類型電路的響應(yīng)時(shí)間的總體均為正態(tài)且各總體的方差相同。又設(shè)各樣本相互獨(dú)立。試取水平0.05,檢驗(yàn)各個(gè)類型電路的響應(yīng)時(shí)間是否有顯著差異。 解 分別以 1, 2, 3, 4, 記類型I, II, III, IV四種電路響應(yīng)時(shí)間總體的平均值。我們需檢驗(yàn)() H0: 1 = 2 = 3 = 4, H1: 1 , 2 , 3 , 4, 不全相等?，F(xiàn)在 n=18, s=4, n1 = n2 = 5, n4= 3,44.71418386899218224112TxSjniijTj2222