晶向指數(shù)與晶面指數(shù)精講

1、 晶向指數(shù)和晶面指數(shù)晶向指數(shù)和晶面指數(shù) 晶向：在晶格中，穿過兩個(gè)以上結(jié)點(diǎn)的任一直線，晶向：在晶格中，穿過兩個(gè)以上結(jié)點(diǎn)的任一直線，都代表晶體中一個(gè)原子列在空間的位向，稱為晶向。都代表晶體中一個(gè)原子列在空間的位向，稱為晶向。v晶面：由結(jié)點(diǎn)組成的任一平面都代表晶體的原子平晶面：由結(jié)點(diǎn)組成的任一平面都代表晶體的原子平面，稱為晶面。面，稱為晶面。vMiller（密勒）指數(shù)統(tǒng)一標(biāo)定晶向指數(shù)和晶面指數(shù)（密勒）指數(shù)統(tǒng)一標(biāo)定晶向指數(shù)和晶面指數(shù) 晶體中不同的晶面和不同的方向上原子的排列方式和密度不同，構(gòu)成了晶體的各向異性。 晶向指數(shù)晶向指數(shù)晶向指數(shù)：晶向指數(shù)： u v w任意陣點(diǎn)任意陣點(diǎn)P的位置的位置可以用矢量或

2、者坐可以用矢量或者坐標(biāo)來表示。標(biāo)來表示。OP = u + v + wabc晶向指數(shù)的確定步驟晶向指數(shù)的確定步驟 (1) 以晶胞的某一陣點(diǎn)以晶胞的某一陣點(diǎn)O為原點(diǎn)為原點(diǎn)，過原點(diǎn)，過原點(diǎn)O的晶軸為坐標(biāo)軸的晶軸為坐標(biāo)軸x,y, z, 以晶胞以晶胞點(diǎn)陣矢量的長(zhǎng)度點(diǎn)陣矢量的長(zhǎng)度作為坐標(biāo)軸的長(zhǎng)度單位。作為坐標(biāo)軸的長(zhǎng)度單位。(2) 過原點(diǎn)過原點(diǎn)O作一直線作一直線OP，使其平行于待定晶向，使其平行于待定晶向。 (3) 在直線在直線OP上選取上選取距原點(diǎn)距原點(diǎn)O最近的一個(gè)陣點(diǎn)最近的一個(gè)陣點(diǎn)P，確定，確定P點(diǎn)的點(diǎn)的3 個(gè)坐標(biāo)值。個(gè)坐標(biāo)值。(4) 將這將這3個(gè)坐標(biāo)值化為個(gè)坐標(biāo)值化為最小整數(shù)最小整數(shù)u，v，w，加以方

3、括號(hào)，加以方括號(hào)， u v w即為待定晶向的晶向指數(shù)。即為待定晶向的晶向指數(shù)。 以晶向以晶向DADA為例：為例： 立方晶胞中的主要晶向立方晶胞中的主要晶向 晶向晶向OA OA ： 100 100 晶向晶向OB OB ： 110110 晶向晶向OB OB ： 晶向指數(shù)一般標(biāo)記為晶向指數(shù)一般標(biāo)記為 uvwuvw ， 表示一組原子排列相同的平行晶向。表示一組原子排列相同的平行晶向。111111晶向指數(shù)的意義晶向指數(shù)的意義（1）一個(gè)晶向指數(shù)代表相互平行、方向一致的所有晶向）一個(gè)晶向指數(shù)代表相互平行、方向一致的所有晶向（2）負(fù)值：標(biāo)于數(shù)字上方，表示同一晶向的相反方向。）負(fù)值：標(biāo)于數(shù)字上方，表示同一晶向的

4、相反方向。 uvwwvu是指向相反的同一方向。是指向相反的同一方向。010010 例如：例如：晶向族：晶體中晶向族：晶體中原子排列情況相同但空間位向不同的一組晶原子排列情況相同但空間位向不同的一組晶向向，用，用表示。表示。特點(diǎn)是特點(diǎn)是晶向數(shù)字相同晶向數(shù)字相同，但，但排列順序不同或正負(fù)號(hào)不同排列順序不同或正負(fù)號(hào)不同的一組的一組晶向。晶向。其根本原因是：由于點(diǎn)陣的其根本原因是：由于點(diǎn)陣的對(duì)稱性對(duì)稱性，使得這些，使得這些非平行非平行的陣點(diǎn)的陣點(diǎn)直線經(jīng)直線經(jīng)對(duì)稱操作對(duì)稱操作后完全重合，這些陣點(diǎn)直線在幾何上是完全后完全重合，這些陣點(diǎn)直線在幾何上是完全等價(jià)的。等價(jià)的。把這些等價(jià)的陣點(diǎn)直線合歸為同一種陣點(diǎn)類

5、型，稱為把這些等價(jià)的陣點(diǎn)直線合歸為同一種陣點(diǎn)類型，稱為方向族方向族，用用表示。表示。對(duì)稱性越高，方向族所含的方向越多。對(duì)稱性越高，方向族所含的方向越多。晶向族晶向族例如例如立方系立方系的對(duì)稱性最高，方向族的的對(duì)稱性最高，方向族的3個(gè)指數(shù)可以任意交個(gè)指數(shù)可以任意交換位置換位置，他們也，他們也可以獨(dú)立地改變正負(fù)號(hào)可以獨(dú)立地改變正負(fù)號(hào)，如果三個(gè)指數(shù)的，如果三個(gè)指數(shù)的順序不變，每個(gè)指數(shù)獨(dú)立地改變正負(fù)號(hào)就有：順序不變，每個(gè)指數(shù)獨(dú)立地改變正負(fù)號(hào)就有：及它們的反向共及它們的反向共8個(gè)指向，個(gè)指向，u、v、w3個(gè)指數(shù)互換共有個(gè)指數(shù)互換共有6組，結(jié)組，結(jié)果立方晶系的果立方晶系的晶向共有晶向共有24個(gè)等價(jià)方向，個(gè)

6、等價(jià)方向，48個(gè)等價(jià)指向。個(gè)等價(jià)指向。uvwvwuwvuwuv 這六個(gè)晶向是立方體三個(gè)坐標(biāo)軸方向，它們的基元排列情況這六個(gè)晶向是立方體三個(gè)坐標(biāo)軸方向，它們的基元排列情況就完全相同。就完全相同。 但如果是正交晶系，但如果是正交晶系，100 、010、001這三個(gè)晶向就不這三個(gè)晶向就不是等同晶向因?yàn)檫@三個(gè)晶向的格點(diǎn)間距分別為是等同晶向因?yàn)檫@三個(gè)晶向的格點(diǎn)間距分別為 a，b,c三者三者不等，其上的基元排列情況不同，性質(zhì)也不同，所以不能屬不等，其上的基元排列情況不同，性質(zhì)也不同，所以不能屬于同一晶向族。于同一晶向族。如立方晶系中如立方晶系中 晶向族晶向族100100001010010001100 晶向

7、族包括晶向族包括8條體對(duì)角線。條體對(duì)角線。111 111111111111111111111111 晶面指數(shù)標(biāo)定步驟晶面指數(shù)標(biāo)定步驟 （1） 在點(diǎn)陣中設(shè)定參考坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)不能選在待標(biāo)定的在點(diǎn)陣中設(shè)定參考坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)不能選在待標(biāo)定的晶面上。晶面上。 （2）求得待定晶面在三個(gè)晶軸上的截距，若該晶面與某軸平）求得待定晶面在三個(gè)晶軸上的截距，若該晶面與某軸平行，則在此軸上截距為無窮大；若該晶面與某軸負(fù)方向相截，行，則在此軸上截距為無窮大；若該晶面與某軸負(fù)方向相截，則在此軸上截距為一負(fù)值；則在此軸上截距為一負(fù)值； （3）取各截距的倒數(shù)；）取各截距的倒數(shù)；晶面指數(shù)晶面指數(shù)（4）將三倒數(shù)化為互質(zhì)的整

8、數(shù)比，并）將三倒數(shù)化為互質(zhì)的整數(shù)比，并 加上圓括號(hào)，即表示該晶面的指數(shù)，加上圓括號(hào)，即表示該晶面的指數(shù)， 記為記為( h k l )。 立方晶系的晶面表示方法立方晶系的晶面表示方法 以晶面以晶面ABBAABBA為例：為例：晶面的截距可以為負(fù)數(shù)晶面的截距可以為負(fù)數(shù), , 在指數(shù)上加負(fù)號(hào)在指數(shù)上加負(fù)號(hào), ,如如 。立方晶胞中的主要晶面立方晶胞中的主要晶面晶面指數(shù)的一般標(biāo)記為晶面指數(shù)的一般標(biāo)記為( (hklhkl) )。實(shí)際表示一組原子。實(shí)際表示一組原子排列相同的平行晶面。排列相同的平行晶面。圖 晶面指數(shù)的標(biāo)定立方晶系中的晶面指數(shù)立方晶系中的晶面指數(shù)xyz3/41/43/21/21/2ABC)643

9、()043()346(晶面指數(shù)的意義晶面指數(shù)的意義（1）晶面指數(shù)所代表的不僅是某一晶面，而是代表著）晶面指數(shù)所代表的不僅是某一晶面，而是代表著 一組一組相互平行的晶面。相互平行的晶面。（2）一個(gè)點(diǎn)陣平面的指數(shù)和坐標(biāo)原點(diǎn)的選擇無關(guān)，平行）一個(gè)點(diǎn)陣平面的指數(shù)和坐標(biāo)原點(diǎn)的選擇無關(guān)，平行面的面指數(shù)相同，如果不考慮面的極性（即不考慮面法線面的面指數(shù)相同，如果不考慮面的極性（即不考慮面法線指向的方向），則指向的方向），則lkhhkl（1）在晶體內(nèi)凡）在晶體內(nèi)凡晶面間距和晶面上原子的分布完全相同晶面間距和晶面上原子的分布完全相同，只是空間位向不同的晶面可以歸并為同一晶面族，以只是空間位向不同的晶面可以歸并為

10、同一晶面族，以h k l表示，它代表由表示，它代表由對(duì)稱性對(duì)稱性相聯(lián)系的若干組相聯(lián)系的若干組等效晶面等效晶面的總和的總和。（2）如果不考慮面的極性，則一個(gè)面族所包含的等價(jià)面的）如果不考慮面的極性，則一個(gè)面族所包含的等價(jià)面的 數(shù)目是相同指數(shù)的晶向指數(shù)的數(shù)目的一半。數(shù)目是相同指數(shù)的晶向指數(shù)的數(shù)目的一半。晶晶 面面 族族100 晶面族晶面族111晶晶面面族族110 晶晶面面族族)121() 112()112()211()112() 121 ()211()121()211()211 ()121()112(112 )132() 123()213()321()231()213()123()312()321

11、() 312()132()213()123() 132()312()231()213()231 ()321()132()312() 321 ()231()123(123 在立方晶系中在立方晶系中, , 一個(gè)晶面指數(shù)與一個(gè)晶向指數(shù)數(shù)值一個(gè)晶面指數(shù)與一個(gè)晶向指數(shù)數(shù)值和符號(hào)相同時(shí)和符號(hào)相同時(shí), , 則該晶面與該晶向互相垂直。則該晶面與該晶向互相垂直。如：如：(111)111(111)111、 110 110 （110110）。）。晶面與晶向互相垂直晶面與晶向互相垂直（1）坐標(biāo)系可以平移，不可以旋轉(zhuǎn)，坐標(biāo)系可以平移，不可以旋轉(zhuǎn)，（2) 坐標(biāo)原點(diǎn)可以選在任何結(jié)點(diǎn)上例如：頂點(diǎn)、體心、坐標(biāo)原點(diǎn)可以選在任何結(jié)

12、點(diǎn)上例如：頂點(diǎn)、體心、 面心，但不能選在待標(biāo)定的晶面上。面心，但不能選在待標(biāo)定的晶面上。（3）所有位于原點(diǎn)同一側(cè)互相平行的晶面，都有相同的）所有位于原點(diǎn)同一側(cè)互相平行的晶面，都有相同的 指數(shù)，即（指數(shù)，即（h k l）是表示一組平行的晶面。）是表示一組平行的晶面。（4）已知截距求晶面指數(shù)，則指數(shù)是惟一的；而已知晶）已知截距求晶面指數(shù)，則指數(shù)是惟一的；而已知晶 面指數(shù)，畫晶面時(shí)，這個(gè)晶面就不是惟一的。面指數(shù)，畫晶面時(shí)，這個(gè)晶面就不是惟一的。注意：注意：六方晶系指數(shù)六方晶系指數(shù)六方晶系的晶向指數(shù)和晶面指數(shù)同樣可以應(yīng)用上述方法標(biāo)定，六方晶系的晶向指數(shù)和晶面指數(shù)同樣可以應(yīng)用上述方法標(biāo)定，這時(shí)取這時(shí)取a

13、1，a2，c為晶軸，而為晶軸，而a1軸與軸與a2軸的夾角為軸的夾角為120度，度，c軸軸與與a1，a2軸相垂直。軸相垂直。按這種方法，六方晶系六個(gè)柱面的晶面按這種方法，六方晶系六個(gè)柱面的晶面指數(shù)應(yīng)為指數(shù)應(yīng)為這六個(gè)面是同類型的晶面，但其這六個(gè)面是同類型的晶面，但其晶面指數(shù)中的數(shù)字卻不盡相同晶面指數(shù)中的數(shù)字卻不盡相同 ，不能顯示六方晶系的對(duì)稱性。不能顯示六方晶系的對(duì)稱性。六方晶系晶面指數(shù)標(biāo)定六方晶系晶面指數(shù)標(biāo)定根據(jù)六方晶系的對(duì)稱特點(diǎn)，對(duì)六方晶系采用根據(jù)六方晶系的對(duì)稱特點(diǎn)，對(duì)六方晶系采用a1，a2，a3及及c四個(gè)晶軸，四個(gè)晶軸，a1，a2，a3之間的夾角均為之間的夾角均為120度，這樣，其晶度，這樣，其晶面指數(shù)就以面指數(shù)就以(h k i l）四個(gè)指數(shù)來表示。）四個(gè)指數(shù)來表示。 根據(jù)幾何學(xué)可知，三維空間獨(dú)立的根據(jù)幾何學(xué)可知，三維空間獨(dú)立的坐標(biāo)軸最多不超過三個(gè)。前三個(gè)指坐標(biāo)軸最多不超過三個(gè)。前三個(gè)指數(shù)中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，它們之間數(shù)中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，它們之間存在以下關(guān)系：存在以下關(guān)系：i ( h + k ) 。于是六個(gè)晶面可以歸并為于是六個(gè)晶面可以歸并為1010晶面族晶面族01010101010100110110 012102110101a1a2a3c)2110() 1110(a1a2a3cA