晶向指數(shù)與晶面指數(shù)精講

1、 晶向指數(shù)和晶面指數(shù)晶向指數(shù)和晶面指數(shù) 晶向：在晶格中，穿過兩個以上結(jié)點的任一直線，晶向：在晶格中，穿過兩個以上結(jié)點的任一直線，都代表晶體中一個原子列在空間的位向，稱為晶向。都代表晶體中一個原子列在空間的位向，稱為晶向。v晶面：由結(jié)點組成的任一平面都代表晶體的原子平晶面：由結(jié)點組成的任一平面都代表晶體的原子平面，稱為晶面。面，稱為晶面。vMiller（密勒）指數(shù)統(tǒng)一標(biāo)定晶向指數(shù)和晶面指數(shù)（密勒）指數(shù)統(tǒng)一標(biāo)定晶向指數(shù)和晶面指數(shù) 晶體中不同的晶面和不同的方向上原子的排列方式和密度不同，構(gòu)成了晶體的各向異性。 晶向指數(shù)晶向指數(shù)晶向指數(shù)：晶向指數(shù)： u v w任意陣點任意陣點P的位置的位置可以用矢量或

2、者坐可以用矢量或者坐標(biāo)來表示。標(biāo)來表示。OP = u + v + wabc晶向指數(shù)的確定步驟晶向指數(shù)的確定步驟 (1) 以晶胞的某一陣點以晶胞的某一陣點O為原點為原點，過原點，過原點O的晶軸為坐標(biāo)軸的晶軸為坐標(biāo)軸x,y, z, 以晶胞以晶胞點陣矢量的長度點陣矢量的長度作為坐標(biāo)軸的長度單位。作為坐標(biāo)軸的長度單位。(2) 過原點過原點O作一直線作一直線OP，使其平行于待定晶向，使其平行于待定晶向。 (3) 在直線在直線OP上選取上選取距原點距原點O最近的一個陣點最近的一個陣點P，確定，確定P點的點的3 個坐標(biāo)值。個坐標(biāo)值。(4) 將這將這3個坐標(biāo)值化為個坐標(biāo)值化為最小整數(shù)最小整數(shù)u，v，w，加以方

3、括號，加以方括號， u v w即為待定晶向的晶向指數(shù)。即為待定晶向的晶向指數(shù)。 以晶向以晶向DADA為例：為例： 立方晶胞中的主要晶向立方晶胞中的主要晶向 晶向晶向OA OA ： 100 100 晶向晶向OB OB ： 110110 晶向晶向OB OB ： 晶向指數(shù)一般標(biāo)記為晶向指數(shù)一般標(biāo)記為 uvwuvw ， 表示一組原子排列相同的平行晶向。表示一組原子排列相同的平行晶向。111111晶向指數(shù)的意義晶向指數(shù)的意義（1）一個晶向指數(shù)代表相互平行、方向一致的所有晶向）一個晶向指數(shù)代表相互平行、方向一致的所有晶向（2）負(fù)值：標(biāo)于數(shù)字上方，表示同一晶向的相反方向。）負(fù)值：標(biāo)于數(shù)字上方，表示同一晶向的

4、相反方向。 uvwwvu是指向相反的同一方向。是指向相反的同一方向。010010 例如：例如：晶向族：晶體中晶向族：晶體中原子排列情況相同但空間位向不同的一組晶原子排列情況相同但空間位向不同的一組晶向向，用，用表示。表示。特點是特點是晶向數(shù)字相同晶向數(shù)字相同，但，但排列順序不同或正負(fù)號不同排列順序不同或正負(fù)號不同的一組的一組晶向。晶向。其根本原因是：由于點陣的其根本原因是：由于點陣的對稱性對稱性，使得這些，使得這些非平行非平行的陣點的陣點直線經(jīng)直線經(jīng)對稱操作對稱操作后完全重合，這些陣點直線在幾何上是完全后完全重合，這些陣點直線在幾何上是完全等價的。等價的。把這些等價的陣點直線合歸為同一種陣點類

5、型，稱為把這些等價的陣點直線合歸為同一種陣點類型，稱為方向族方向族，用用表示。表示。對稱性越高，方向族所含的方向越多。對稱性越高，方向族所含的方向越多。晶向族晶向族例如例如立方系立方系的對稱性最高，方向族的的對稱性最高，方向族的3個指數(shù)可以任意交個指數(shù)可以任意交換位置換位置，他們也，他們也可以獨立地改變正負(fù)號可以獨立地改變正負(fù)號，如果三個指數(shù)的，如果三個指數(shù)的順序不變，每個指數(shù)獨立地改變正負(fù)號就有：順序不變，每個指數(shù)獨立地改變正負(fù)號就有：及它們的反向共及它們的反向共8個指向，個指向，u、v、w3個指數(shù)互換共有個指數(shù)互換共有6組，結(jié)組，結(jié)果立方晶系的果立方晶系的晶向共有晶向共有24個等價方向，個

6、等價方向，48個等價指向。個等價指向。uvwvwuwvuwuv 這六個晶向是立方體三個坐標(biāo)軸方向，它們的基元排列情況這六個晶向是立方體三個坐標(biāo)軸方向，它們的基元排列情況就完全相同。就完全相同。 但如果是正交晶系，但如果是正交晶系，100 、010、001這三個晶向就不這三個晶向就不是等同晶向因為這三個晶向的格點間距分別為是等同晶向因為這三個晶向的格點間距分別為 a，b,c三者三者不等，其上的基元排列情況不同，性質(zhì)也不同，所以不能屬不等，其上的基元排列情況不同，性質(zhì)也不同，所以不能屬于同一晶向族。于同一晶向族。如立方晶系中如立方晶系中 晶向族晶向族100100001010010001100 晶向

7、族包括晶向族包括8條體對角線。條體對角線。111 111111111111111111111111 晶面指數(shù)標(biāo)定步驟晶面指數(shù)標(biāo)定步驟 （1） 在點陣中設(shè)定參考坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點不能選在待標(biāo)定的在點陣中設(shè)定參考坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點不能選在待標(biāo)定的晶面上。晶面上。 （2）求得待定晶面在三個晶軸上的截距，若該晶面與某軸平）求得待定晶面在三個晶軸上的截距，若該晶面與某軸平行，則在此軸上截距為無窮大；若該晶面與某軸負(fù)方向相截，行，則在此軸上截距為無窮大；若該晶面與某軸負(fù)方向相截，則在此軸上截距為一負(fù)值；則在此軸上截距為一負(fù)值； （3）取各截距的倒數(shù)；）取各截距的倒數(shù)；晶面指數(shù)晶面指數(shù)（4）將三倒數(shù)化為互質(zhì)的整

8、數(shù)比，并）將三倒數(shù)化為互質(zhì)的整數(shù)比，并 加上圓括號，即表示該晶面的指數(shù)，加上圓括號，即表示該晶面的指數(shù)， 記為記為( h k l )。 立方晶系的晶面表示方法立方晶系的晶面表示方法 以晶面以晶面ABBAABBA為例：為例：晶面的截距可以為負(fù)數(shù)晶面的截距可以為負(fù)數(shù), , 在指數(shù)上加負(fù)號在指數(shù)上加負(fù)號, ,如如 。立方晶胞中的主要晶面立方晶胞中的主要晶面晶面指數(shù)的一般標(biāo)記為晶面指數(shù)的一般標(biāo)記為( (hklhkl) )。實際表示一組原子。實際表示一組原子排列相同的平行晶面。排列相同的平行晶面。圖 晶面指數(shù)的標(biāo)定立方晶系中的晶面指數(shù)立方晶系中的晶面指數(shù)xyz3/41/43/21/21/2ABC)643

9、()043()346(晶面指數(shù)的意義晶面指數(shù)的意義（1）晶面指數(shù)所代表的不僅是某一晶面，而是代表著）晶面指數(shù)所代表的不僅是某一晶面，而是代表著 一組一組相互平行的晶面。相互平行的晶面。（2）一個點陣平面的指數(shù)和坐標(biāo)原點的選擇無關(guān)，平行）一個點陣平面的指數(shù)和坐標(biāo)原點的選擇無關(guān)，平行面的面指數(shù)相同，如果不考慮面的極性（即不考慮面法線面的面指數(shù)相同，如果不考慮面的極性（即不考慮面法線指向的方向），則指向的方向），則lkhhkl（1）在晶體內(nèi)凡）在晶體內(nèi)凡晶面間距和晶面上原子的分布完全相同晶面間距和晶面上原子的分布完全相同，只是空間位向不同的晶面可以歸并為同一晶面族，以只是空間位向不同的晶面可以歸并為

10、同一晶面族，以h k l表示，它代表由表示，它代表由對稱性對稱性相聯(lián)系的若干組相聯(lián)系的若干組等效晶面等效晶面的總和的總和。（2）如果不考慮面的極性，則一個面族所包含的等價面的）如果不考慮面的極性，則一個面族所包含的等價面的 數(shù)目是相同指數(shù)的晶向指數(shù)的數(shù)目的一半。數(shù)目是相同指數(shù)的晶向指數(shù)的數(shù)目的一半。晶晶 面面 族族100 晶面族晶面族111晶晶面面族族110 晶晶面面族族)121() 112()112()211()112() 121 ()211()121()211()211 ()121()112(112 )132() 123()213()321()231()213()123()312()321

11、() 312()132()213()123() 132()312()231()213()231 ()321()132()312() 321 ()231()123(123 在立方晶系中在立方晶系中, , 一個晶面指數(shù)與一個晶向指數(shù)數(shù)值一個晶面指數(shù)與一個晶向指數(shù)數(shù)值和符號相同時和符號相同時, , 則該晶面與該晶向互相垂直。則該晶面與該晶向互相垂直。如：如：(111)111(111)111、 110 110 （110110）。）。晶面與晶向互相垂直晶面與晶向互相垂直（1）坐標(biāo)系可以平移，不可以旋轉(zhuǎn)，坐標(biāo)系可以平移，不可以旋轉(zhuǎn)，（2) 坐標(biāo)原點可以選在任何結(jié)點上例如：頂點、體心、坐標(biāo)原點可以選在任何結(jié)

12、點上例如：頂點、體心、 面心，但不能選在待標(biāo)定的晶面上。面心，但不能選在待標(biāo)定的晶面上。（3）所有位于原點同一側(cè)互相平行的晶面，都有相同的）所有位于原點同一側(cè)互相平行的晶面，都有相同的 指數(shù)，即（指數(shù)，即（h k l）是表示一組平行的晶面。）是表示一組平行的晶面。（4）已知截距求晶面指數(shù)，則指數(shù)是惟一的；而已知晶）已知截距求晶面指數(shù)，則指數(shù)是惟一的；而已知晶 面指數(shù)，畫晶面時，這個晶面就不是惟一的。面指數(shù)，畫晶面時，這個晶面就不是惟一的。注意：注意：六方晶系指數(shù)六方晶系指數(shù)六方晶系的晶向指數(shù)和晶面指數(shù)同樣可以應(yīng)用上述方法標(biāo)定，六方晶系的晶向指數(shù)和晶面指數(shù)同樣可以應(yīng)用上述方法標(biāo)定，這時取這時取a

13、1，a2，c為晶軸，而為晶軸，而a1軸與軸與a2軸的夾角為軸的夾角為120度，度，c軸軸與與a1，a2軸相垂直。軸相垂直。按這種方法，六方晶系六個柱面的晶面按這種方法，六方晶系六個柱面的晶面指數(shù)應(yīng)為指數(shù)應(yīng)為這六個面是同類型的晶面，但其這六個面是同類型的晶面，但其晶面指數(shù)中的數(shù)字卻不盡相同晶面指數(shù)中的數(shù)字卻不盡相同 ，不能顯示六方晶系的對稱性。不能顯示六方晶系的對稱性。六方晶系晶面指數(shù)標(biāo)定六方晶系晶面指數(shù)標(biāo)定根據(jù)六方晶系的對稱特點，對六方晶系采用根據(jù)六方晶系的對稱特點，對六方晶系采用a1，a2，a3及及c四個晶軸，四個晶軸，a1，a2，a3之間的夾角均為之間的夾角均為120度，這樣，其晶度，這樣，其晶面指數(shù)就以面指數(shù)就以(h k i l）四個指數(shù)來表示。）四個指數(shù)來表示。 根據(jù)幾何學(xué)可知，三維空間獨立的根據(jù)幾何學(xué)可知，三維空間獨立的坐標(biāo)軸最多不超過三個。前三個指坐標(biāo)軸最多不超過三個。前三個指數(shù)中只有兩個是獨立的，它們之間數(shù)中只有兩個是獨立的，它們之間存在以下關(guān)系：存在以下關(guān)系：i ( h + k ) 。于是六個晶面可以歸并為于是六個晶面可以歸并為1010晶面族晶面族01010101010100110110 012102110101a1a2a3c)2110() 1110(a1a2a3cA