概率論1-2 事件的概率

1、第二節(jié)第二節(jié) 事件的概率事件的概率1.2.1 頻率及概率的統(tǒng)計定義頻率及概率的統(tǒng)計定義 定義定義 在相同的條件下，進行了在相同的條件下，進行了n 次試驗，次試驗， 在這在這 n 次試驗中，事件次試驗中，事件 A 發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù) nA 稱為稱為 事件事件 A 發(fā)生的頻數(shù)。比值發(fā)生的頻數(shù)。比值 n A / n 稱為事件稱為事件 A 發(fā)生的頻率，并記成發(fā)生的頻率，并記成 fn(A) 。mnA=“出現(xiàn)正面出現(xiàn)正面”( )nfA( )nfA 事件A出現(xiàn)次數(shù)試驗總次數(shù)nu隨機試驗隨機試驗拋擲一枚均勻的硬幣拋擲一枚均勻的硬幣u試驗總次數(shù)試驗總次數(shù)n 將硬幣拋擲將硬幣拋擲n次次u隨機事件隨機事件u事件事

2、件A出現(xiàn)次數(shù)出現(xiàn)次數(shù)m出現(xiàn)正面出現(xiàn)正面m次次u隨機事件的頻率隨機事件的頻率)()()()(2121AfnAfnAfnAAAfkkn2()1;()0;nnff 則是兩兩互不相容事件若,321AAAk 它具有下述性質(zhì)它具有下述性質(zhì):;1)(01Afn德德.摩摩 根根 試試 驗驗 者者 拋拋 擲擲 次次 數(shù)數(shù)n 出現(xiàn)正面的次數(shù)出現(xiàn)正面的次數(shù)m 出現(xiàn)正面的頻率出現(xiàn)正面的頻率m/n 2048 1061 0.518 蒲蒲 豐豐 4040 2048 0.5069 皮爾遜皮爾遜 12000 6019 0.5016 皮爾遜皮爾遜 24000 12012 0.5005 維維 尼尼 0.4998 14994 300

3、00 拋擲硬幣的試驗拋擲硬幣的試驗Experiment of tossing coinu歷史紀錄歷史紀錄 隨機事件隨機事件A在相同條件下重復多次時，事件在相同條件下重復多次時，事件A 發(fā)發(fā)生的頻率在一個固定的數(shù)值生的頻率在一個固定的數(shù)值p附近擺動，隨試驗次數(shù)附近擺動，隨試驗次數(shù)的增加更加明顯的增加更加明顯頻率和概率頻率和概率u 頻率的穩(wěn)定性頻率的穩(wěn)定性u 事件的概率事件的概率 事件事件A的頻率穩(wěn)定在數(shù)值的頻率穩(wěn)定在數(shù)值p，說明了數(shù)值，說明了數(shù)值p可以用可以用來刻劃事件發(fā)生可能性大小，可以規(guī)定為事件來刻劃事件發(fā)生可能性大小，可以規(guī)定為事件A的概率的概率 對任意事件，在相同的條件下重復進行對任意事

4、件，在相同的條件下重復進行n次次試驗，事件發(fā)試驗，事件發(fā) 生的頻率生的頻率 m/n，隨著試驗次數(shù)，隨著試驗次數(shù)n的的增大而穩(wěn)定地在某個常數(shù)增大而穩(wěn)定地在某個常數(shù)P 附近擺動那么稱附近擺動那么稱p為事件為事件的概率的概率 ( )P Ap概率的統(tǒng)計定義概率的統(tǒng)計定義 當試驗次數(shù)足夠大時，可以用事件當試驗次數(shù)足夠大時，可以用事件A發(fā)生的頻發(fā)生的頻率近似的代替事件率近似的代替事件A的概率的概率頻 率 穩(wěn) 定 值 概率 事件發(fā)生事件發(fā)生的頻繁程度的頻繁程度事件發(fā)生事件發(fā)生的可能性的大小的可能性的大小頻率的性質(zhì)概率的公理化定義概率的公理化定義與基本性質(zhì)概率的公理化定義與基本性質(zhì)定義定義 設(shè) E 是隨機試驗

5、， 是它的樣本空間，對于 E 的每一個事件 A 賦予一個實數(shù)，記為 稱為事件 A 的概率，要求集合函數(shù) 滿足 下列條件： ()P A,)(AP0()1;P A公理一（非負性）（非負性）()1;P 公理二（規(guī)范性）（規(guī)范性）)()()(2121APAPAAP21,A A 是兩兩互不相容事件則公理三 若（可數(shù)可加性）（可數(shù)可加性）;0)(1性質(zhì)P則是兩兩互不相容事件若性質(zhì),221AAAn)()()()(2121APAPAPAAAPnn4()( )()()( )( )( )( )P BAP BP ABABP BAP BP AP BP A性質(zhì)AB3,( )1( )AP AP A 性質(zhì)對任何事件有5()

6、,()( )( )()A BP ABP AP BP AB性質(zhì)加法公式 對任意兩個事件有加法公式的推廣加法公式的推廣三個事件的加法公式三個事件的加法公式1231231223()()()()()()P AAAP AP AP AP A AP A A13123()();P A AP A A An個事件的加法公式個事件的加法公式11111()()()()nniijijkiij nij k niPAP AP A AP A A A 112( 1)()nnP A AA 例例1.2.1 設(shè)事件設(shè)事件A，B的概率分別為的概率分別為1/3和和1/2，試求，試求下列三種情況下下列三種情況下 的值：的值：()P AB（

7、1）A，B互不相容；（互不相容；（2） ；（；（3）1()8P AB AB解解： （1）由于）由于A，B互不相容，則互不相容，則 ，于是，于是 ，從而，從而BABB AAB1()().2P ABP B（2）由于）由于 ，且，且 ，所以，所以ABB ABA111()()()().236P ABP BAP BP A由于由于且且 互不相容，則互不相容，則()BBAA BABAB ABAB與P( )()()()BP ABABP ABP AB即即113()P( )().288P ABBP AB練習練習 已知事件已知事件A，B滿足滿足試求試求()()()P ABP ABP Ap且().P B所以所以解解

8、因為因為()()()1()P ABP ABP ABP AB1()()()P AP BP AB1()()0P AP B因此因此()1()1.P BP Ap例例1.2.2 某人外出旅游兩天，據(jù)氣象預(yù)報，第一天下某人外出旅游兩天，據(jù)氣象預(yù)報，第一天下雨的概率為雨的概率為0.6，第二天下雨的概率為，第二天下雨的概率為0.3，兩天都下，兩天都下雨的概率為雨的概率為0.1.試求：試求：（1）第一天下雨而第二天不下雨的概率；）第一天下雨而第二天不下雨的概率；（2）第一天不下雨而第二天下雨的概率；）第一天不下雨而第二天下雨的概率；（3）至少有一天下雨的概率；）至少有一天下雨的概率；（4）兩天都不下雨的概率；）兩天都不下雨的概率；（5）至少有一天不下雨的概率）至少有一天不下雨的概率.練習練習 某公司購進一批電視機某公司購進一批電視機,經(jīng)開箱檢驗經(jīng)開箱檢驗,外觀有缺外觀有缺陷的占陷的占5%,顯像管有缺陷的占顯像管有缺陷的占6%,其他部分有缺陷的其他部分有缺陷的占占8%,外觀及顯像管均有缺陷的占外觀及顯像管均有缺陷的占0.3%,顯像管及其顯像管及其他部分有缺陷的占他部分有缺陷的占0.5%,外觀及其他部分均有缺陷的外觀及其他部分均有缺陷的占占0.4%,三者都有缺陷的占三者都有缺陷的占0.02%.現(xiàn)從中任取一件現(xiàn)從中任取一件,問問至少有一種缺陷的是多少至少有一種缺陷的是多少?1.設(shè)設(shè)A