畢業(yè)論文平面自治系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性分析

1、 A 基礎(chǔ)理論 B 應(yīng)用研究 C 調(diào)查報(bào)告 D 其他本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）平面自治系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性分析二級(jí)學(xué)院：專 業(yè)：年 級(jí)：學(xué) 號(hào)：作者姓名：指導(dǎo)教師：完成日期：2013年5月5日平面自治系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性分析論文答辯小組組 長(zhǎng)：成 員：論文成績(jī)：目錄1 引言12 預(yù)備知識(shí)22.1基本概念及基本定理2基本概念22.1.2 基本定理33 平面自治系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性分析43.1線性系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性43.1.1 有同號(hào)相異實(shí)根43.1.2 有異號(hào)實(shí)根53.1.3 有重實(shí)根63.1.4 有一對(duì)共軛復(fù)根73.2 非線性系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性94結(jié)束語(yǔ)10參考文獻(xiàn)11平面自治系統(tǒng)的

2、平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性分析 摘 要：本文主要探討了平面自治系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性，并將其用數(shù)學(xué)軟Maple形象地描繪出來(lái). 關(guān)鍵詞：平面自治系統(tǒng)；平衡點(diǎn)；穩(wěn)定性The equilibrium point and its stability of the plane autonomous systemAbstract:This article mainly discussesthe equilibrium point and its stability of the plane autonomous system, and applies mathematical software by Maple

3、to describe vividly.Keywords: the plane autonomous system;equilibrium point; stability1 引言20世紀(jì)以來(lái),隨著大量的邊緣科學(xué)諸如電磁流體力學(xué)、化學(xué)流體力學(xué)、動(dòng)力氣象學(xué)、海洋動(dòng)力學(xué)、地下水動(dòng)力學(xué)等等的產(chǎn)生和發(fā)展,在自然科學(xué)（如物理、 化學(xué)、生物、天文）和社會(huì)科學(xué)（如工程、經(jīng)濟(jì)、軍事）中的大量問(wèn)題都可以用微分方程來(lái)描述,尤其當(dāng)我們描述實(shí)際對(duì)象的某些特性隨時(shí)間（空間）而演變的過(guò)程,分析它的變化規(guī)律,預(yù)測(cè)它的未來(lái)形態(tài)時(shí),要建立對(duì)象的動(dòng)態(tài)模型,通常要用到微分方程模型,而穩(wěn)定性模型的對(duì)象仍是動(dòng)態(tài)過(guò)程,而建模的目的是研究

4、時(shí)間充分長(zhǎng)以后過(guò)程的變化趨勢(shì)、平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定.因此,用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性,對(duì)穩(wěn)定性模型的研究起著很重要的作用.微分方程的穩(wěn)定性理論將平衡點(diǎn)（奇點(diǎn)）分為結(jié)點(diǎn)（臨界結(jié)點(diǎn)或星形結(jié)點(diǎn)、兩向結(jié)點(diǎn)或正常結(jié)點(diǎn)、單向結(jié)點(diǎn)）、鞍點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心等類型.奇點(diǎn)是平面自治系統(tǒng)的一類特殊的軌線，一般來(lái)說(shuō),奇點(diǎn)及其附近的軌線的性態(tài)是比較復(fù)雜的,熟練掌握平面自治系統(tǒng)奇點(diǎn)類型對(duì)于研究系統(tǒng)的相圖有重要的意義.本文將探討平面自治系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性,并結(jié)合Maple軟件分析其相圖.2 預(yù)備知識(shí)2.1基本概念及基本定理基本概念定義1右端不顯含自變量的微分方程組 (1)是二階自治方程(系統(tǒng)).定義2 代數(shù)方程組

5、 的實(shí)根組成的點(diǎn)稱為二階自治方程(1)的平衡點(diǎn)或奇點(diǎn).注 二維常系數(shù)線性自治系統(tǒng)的一般形式為 (2)它的系數(shù)矩陣的特征方程是 (3)將特征方程改寫為，其中.當(dāng)非奇異時(shí),系統(tǒng)(2)有惟一奇點(diǎn),稱為初等奇點(diǎn).方程(3)的根即為矩陣的特征根.關(guān)于非線性系統(tǒng) (4) 的奇點(diǎn)與線性系統(tǒng)(2)的奇點(diǎn)有很大關(guān)系. 基本定理定理1 (Perron第一定理) 設(shè)系統(tǒng)(4)中的滿足條件：,則如果是對(duì)應(yīng)線性系統(tǒng)(2)的焦點(diǎn)、結(jié)點(diǎn)或鞍點(diǎn),那么也是非線性系統(tǒng)(4)的同類型奇點(diǎn),且具有相同的穩(wěn)定性.定理2 (Perron第二定理) 如果定理1中的條件保持不變,而將條件且具有相同的穩(wěn)定性.對(duì)于一般的非線性系統(tǒng)(1),可以用

6、近似線性方法判斷其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,而對(duì)于任意高階的方程都可以化為一階方程組來(lái)處理.系統(tǒng)(1)的線性近似系統(tǒng)為(2),即 假設(shè),即奇點(diǎn)為初等奇點(diǎn)(又稱為一次奇點(diǎn)).先討論線性系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)的定性性質(zhì).由線性方程組理論知系統(tǒng)(2)的通解完全由它的系數(shù)矩陣A的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形確定.設(shè)A的實(shí)若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為J,則存在非奇異實(shí)矩陣P,使.從而可利用非奇異線性坐標(biāo)變換,將系統(tǒng)(2)化為線性系統(tǒng)(5)注意到系統(tǒng)(2)與系統(tǒng)(5)可以相互轉(zhuǎn)化，因此只要把(5)式的軌線性質(zhì)搞清楚了系統(tǒng)(2)的軌線性質(zhì)也就清楚了.是下面三種形式之一：，其中這里第一、二種形式對(duì)應(yīng)于矩陣A僅有實(shí)特征根的情形,第三種形式相應(yīng)于矩陣A具有

7、一對(duì)共軛復(fù)根的情形.用表示(2)式右端的系數(shù)矩陣.首先考慮矩陣A非退化的情形，即,這時(shí)在復(fù)數(shù)域有兩個(gè)非零特征根（）.下面根據(jù)特征根的不同情形來(lái)研究系統(tǒng)(5)的平衡點(diǎn).3 平面自治系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性分析3.1線性系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性有同號(hào)相異實(shí)根此時(shí)，都是實(shí)數(shù)且.為穩(wěn)定的兩向結(jié)點(diǎn).為不穩(wěn)定的兩向結(jié)點(diǎn).圖1例1 考慮如下的平面線性系統(tǒng) (6)解 首先計(jì)算系數(shù)矩陣的特征根.系統(tǒng)(6)的系數(shù)矩陣為.從而特征根為,是一對(duì)同號(hào)相異的正實(shí)根.因此,原點(diǎn)作為系統(tǒng)(6)的平衡點(diǎn)是一個(gè)不穩(wěn)定的兩向結(jié)點(diǎn).為了畫出相圖,我們需要找出平衡點(diǎn)的兩個(gè)特殊方向.為此先求出的特征向量.這樣,我們相應(yīng)繪出兩條直線,它們上面

8、的軌道都是繼續(xù)沿著它們且背離原點(diǎn).因?yàn)?因此除了上的軌道外,所有軌道的曲線都與相切于點(diǎn),從而直線分別給出了平衡點(diǎn)的兩個(gè)特殊方向.由此可以畫出系統(tǒng)(6)的相圖,見(jiàn)圖1.圖1有異號(hào)實(shí)根此時(shí)，都是實(shí)數(shù)且.或,為鞍點(diǎn).或,為鞍點(diǎn).例2 作出系統(tǒng)(7) 在點(diǎn)附近的相圖.解 系統(tǒng)(7)的系數(shù)矩陣為. 由,解得特征根,是一對(duì)異號(hào)實(shí)根.因此原點(diǎn)作為系統(tǒng)(7)的平衡點(diǎn)是鞍點(diǎn).其相圖見(jiàn)圖2.圖2有重實(shí)根此時(shí),.或,為穩(wěn)定臨界結(jié)點(diǎn)或退化結(jié)點(diǎn).或,為不穩(wěn)定臨界結(jié)點(diǎn)或退化結(jié)點(diǎn).圖7圖（g）例3 考慮如下的平面線性系統(tǒng) (8)解 系統(tǒng)(8)的系數(shù)矩陣為. 由,解得特征根,相同的實(shí)根.因此平衡點(diǎn)或者是穩(wěn)定的星形結(jié)點(diǎn)或者是穩(wěn)

9、定的單向結(jié)點(diǎn).它們之間的區(qū)別在于平衡點(diǎn)有多少個(gè)特殊方向,無(wú)窮個(gè)對(duì)應(yīng)于前者,唯一一個(gè)對(duì)應(yīng)于后者.進(jìn)一步判斷,我們同樣先求出的特征向量,由解得特征向量.顯然，總共能解出的線性無(wú)關(guān)的特征向量組有且只有一個(gè)向量組成.因此是穩(wěn)定的單向結(jié)點(diǎn).沿特征向量繪出一條直線,它上面的軌道繼續(xù)沿著它指向原點(diǎn),其余所有軌道的曲線都與相切于點(diǎn),見(jiàn)圖3.圖3例4 研究下面系統(tǒng)(9)解 系統(tǒng)(9)的系數(shù)矩陣為. 由,解得特征根,是相同的實(shí)根.因此原點(diǎn)作為系統(tǒng)(9)的平衡點(diǎn)是星形結(jié)點(diǎn)(或臨界結(jié)點(diǎn)).其相圖見(jiàn)圖4. 圖4有一對(duì)共軛復(fù)根此時(shí),而且.圖11例5 研究下面系統(tǒng)的奇點(diǎn),并在奇點(diǎn)鄰域內(nèi)畫出積分曲線族圖像： (10). 解

10、系統(tǒng)(10)的系數(shù)矩陣為. 由,解得特征根,是一對(duì)共軛復(fù)根且.因此原點(diǎn)作為系統(tǒng)(10)的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的焦點(diǎn),見(jiàn)圖5.為了確定積分曲線(螺線)的方向,在點(diǎn)作出速度向量. 圖5例6 研究下面系統(tǒng)的奇點(diǎn)，并在奇點(diǎn)鄰域內(nèi)畫出積分曲線族圖像： (11) 解 系統(tǒng)(11)的系數(shù)矩陣為.由,解得特征根.因此,奇點(diǎn)是中心.沿軌線運(yùn)動(dòng)的方向由向量確定,見(jiàn)圖6.圖63.2 非線性系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性對(duì)于非線性系統(tǒng),先將其線性化,得到該非線性系統(tǒng)的線性近似系統(tǒng),再根據(jù)線性系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性的判斷方法, 并結(jié)合Perron第一定理和Perron第二定理就可以判斷出其線性近似系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性與該非線性系統(tǒng)的

11、平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性一致.例7 討論非線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)O(0,0)的類型.(12)解 將系統(tǒng)(12)寫成 其中.(12)的線性近似系統(tǒng)為：(13)滿足定理1,所以奇點(diǎn)也是原非線性系統(tǒng)(12)的穩(wěn)定焦點(diǎn).例8 討論非線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)的類型.(14)解 系統(tǒng)(14)的線性近似系統(tǒng)為(15)易知,奇點(diǎn)是系統(tǒng)(15)的中心,但根據(jù)已知定理1和定理2無(wú)法判斷其是否為系統(tǒng)(2)的中心.作極坐標(biāo)變換,令，代入 系統(tǒng)(14)可得到從而解得，可見(jiàn)容易得出奇點(diǎn)是原系統(tǒng)(14)的穩(wěn)定焦點(diǎn).4 結(jié)束語(yǔ)對(duì)于一般形式的線性方程組(2),可先由系數(shù)矩陣的特征根迅速判斷出平衡點(diǎn)的類型和穩(wěn)定性,然后利用平面線性系統(tǒng)平衡點(diǎn)的下面兩個(gè)性質(zhì)

12、作出相圖.首先注意到當(dāng),某些軌道將沿某一確定的方向稱為(平衡點(diǎn)的特殊方向)趨向于平衡點(diǎn),特別地,兩向結(jié)點(diǎn)和鞍點(diǎn)有兩個(gè)特殊方向,單向結(jié)點(diǎn)有一個(gè)特殊方向,星形結(jié)點(diǎn)有無(wú)窮個(gè)特殊方向,焦點(diǎn)和中心沒(méi)有特殊方向;并且當(dāng)某條直線給出平衡點(diǎn)的特殊方向時(shí),它被平衡點(diǎn)分割的兩條射線都是系統(tǒng)的軌道,這些性質(zhì)在放射變換下保持不變.其次平面線性系統(tǒng)(2)在相平面上給出的方向場(chǎng)關(guān)于平衡點(diǎn)對(duì)稱，即若為系統(tǒng)在點(diǎn)給出的方向,則為系統(tǒng)在點(diǎn)給出的方向.通過(guò)探討平面自治系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性,并結(jié)合圖像對(duì)其進(jìn)行分析,對(duì)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性及穩(wěn)定性模型的研究起著非常重要的作用.參考文獻(xiàn)1張偉年,杜正東,徐冰編.常微分方程M.北京：高等教育出版社，2006:179-190.2趙愛(ài)民，李美麗，韓茂安著.微分方程基本理論M.北京：科學(xué)出版社， 2011:127-135.3（俄)博亞爾丘克，（俄）戈洛瓦奇編著；鄭元祿譯.高等數(shù)學(xué)例題與習(xí)題集（四） 常微分方程M.北京：清華大學(xué)出版社，2005:89-95.4鐘益林，彭樂(lè)群，劉炳文編著.常微分方程及其Maple，MATLAB求解M.北京： 清華大學(xué)出版社，2007:8-10.5傅希林，范進(jìn)軍編著.非線性微分方程M.北京：科學(xué)出版