高數(shù)下期末復習內容(共32頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上期末復習主要內容第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何§7.1 向量代數(shù)一、空間直角坐標系二、向量概念：+ 坐標 模方向角 方向余弦 ； ； 三、向量運算： 設； ；加（減）法 數(shù)乘 數(shù)量積（點乘）（）定義·=（）坐標公式·=+ （）重要應用·=04向量積（叉乘）（）定義與和皆垂直，且，構成右手系 （）坐標公式= （）重要應用=，共線5、混合積 （）定義 （，）（）·（）坐標公式（，）=（）表示以，為棱的平行六面體的體積§7.2 平面與直線一、 空間解析幾何1 空間解析幾何研究的基本問題。（1）已知曲面（線）作為點的

2、幾何軌跡，建立這曲面（線）的方程，（2）已知坐標x，y和z 間的一個方程（組），研究這方程（組）所表示的曲面（線）。2 距離公式 空間兩點與間的距離d為3 定比分點公式是AB的分點：,點A,B的坐標為，則 ，當M為中點時， ，二、平面及其方程。1 法向量： 與平面垂直的非零向量，稱為平面的法向量，通常記成。對于給定的平面，它的法向量有無窮多個，但它所指的方向只有兩個。2 點法式方程： 已知平面過點，其法向量A,B,C,則平面的方程為 或 其中 3 一般式方程：其中A, B, C不全為零. x, y, z前的系數(shù)表示的法線方向數(shù)，A,B,C是的法向量特別情形： ，表示通過原點的平面。 ，平行于z

3、軸的平面。 ，平行平面的平面。 x0表示平面。4 三點式方程：設,三點不在一條直線上。則通過A,B,C的平面方程為： 5 平面束：設直線L的一般式方程為，則通過L的所有平面方程為+，其中6 有關平面的問題兩平面為 ： ：與間夾角垂直條件平行條件重合條件7 設平面的方程為，而點為平面外的一點，則M到平面的距離d： 三 直線及其方程1 方向向量：與直線平行的非零向量，稱為直線L的方向向量。2 直線的點向式方程（對稱式方程）： 其中為直線上的點，為直線的方向向量。3 參數(shù)式方程： 4 兩點式：設,為不同的兩點，則通過A和B的直線方程為5 一般式方程（作為兩平面的交線）：6 有關直線的問題 兩直線為:

4、垂直條件平行條件四、平面與直線相互關系平面的方程為：直線L 的方程為： L與間夾角L 與垂直條件L 與平行條件 L 與重合條件L 上有一點在上§7.3 曲面與空間曲線一、曲面方程1、一般方程 2、參數(shù)方程 二、空間曲線方程1、一般方程 2、參數(shù)方程 三、常見的曲面方程1、球面方程：設是球心，R是半徑，P（x，y，z）是球面上任意一點，則,即。2. 旋轉曲面的方程（）設L是平面上一條曲線，其方程是 L繞z軸旋轉得到旋轉曲面，設P（x，y，z）是旋轉面上任一點，由點 旋轉而來（點是圓心）.由 得旋轉面方程是 （）求空間曲線 繞z軸一周得旋轉曲面的方程 第一步：從上面聯(lián)立方程解出 第二步：

5、旋轉曲面方程為 繞y軸一周或繞x軸一周的旋轉曲面方程類似地處理3、二次曲面曲面名稱方 程曲面名稱方 程橢球面旋轉拋物面橢圓拋物面雙曲拋物面單葉雙曲面雙葉雙曲面二次錐面橢圓柱面雙曲柱面拋物柱面四、空間曲線在坐標平面上的投影： 曲線C的方程 曲線C在平面上的投影：先從曲線C的方程中消去Z得到，它表示曲線C為準線，母線平行于Z軸的柱面方程，那么就是C在平面上的投影曲線方程。曲線C在平面上投影或在平面上投影類似地處理第八章 多元函數(shù)微分學§8.1 多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性一、多元函數(shù)的概念1二元函數(shù)的定義及其幾何意義設D是平面上的一個點集，如果對每個點P(x,y)D，按照某一對應規(guī)則f，

6、變量z都有一個值與之對應，則稱z是變量x，y的二元函數(shù)，記以z=f（x，y），D稱為定義域。二元函數(shù)z=f（x，y）的圖形為空間一塊曲面，它在xy平面上的投影域就是定義域D。例如 二元函數(shù)的圖形為以原點為球心，半徑為1的上半球面，其定義域D就是xy平面上以原點為圓心，半徑為1的閉圓。2三元函數(shù)與n元函數(shù)：空間一個點集，稱為三元函數(shù)。它們的幾何意義不再討論，在偏導數(shù)和全微分中會用到三元函數(shù)。條件極值中，可能會遇到超過三個自變量的多元函數(shù)。二、二元函數(shù)的極限：設的鄰域內有定義，如果對任意只要則，稱當?shù)臉O限存在，極限值為A。否則，稱為極限不存在。值得注意：是在平面范圍內，可以按任何方式沿任意曲線趨于

7、，所以二元函數(shù)的極限比一元函數(shù)的極限復雜，但只要求知道基本概念和簡單的討論極限存在性和計算極限值不象一元函數(shù)求極限要求掌握各種方法和技巧。三、二元函數(shù)的連續(xù)性1二元函數(shù)連續(xù)的概念若若內每一點皆連續(xù)，則稱在D內連續(xù)。2閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質定理1 （有界性定理）設在閉區(qū)域D上連續(xù)，則在D上一定有界定理2 （最大值最小值定理）設在閉區(qū)域D上連續(xù)，則在D上一定有最大值和最小值定理3 （介值定理）設在閉區(qū)域D上連續(xù)，M為最大值，m為最小值，若則存在§8.2 偏導數(shù)與全微分一、偏導數(shù)與全微分的概念1偏導數(shù)二元：設， 三元：設，2二元函數(shù)的二階偏導數(shù)：設 ， ， 3全微分：設 增量若 當 則稱

8、可微，而全微分定義：定理：可微情況下， 三元函數(shù) 全微分 4相互關系：連續(xù)存在 5方向導數(shù)與梯度二、復合函數(shù)微分法鏈式法則三、隱函數(shù)微分法：設 則 四、幾何應用1空間曲面上一點處的切平面和法線2空間曲線上一點處的切線和法平面§8.3 多元函數(shù)的極值和最值一、求第一步 第二步 進一步 二、求多元（）函數(shù)條件極值的拉格朗日乘子法求 約束條件 求出 是有可能的條件極值點，一般再由實際問題的含義確定其充分性，這種方法關鍵是解方程組的有關技巧。三、多元函數(shù)的最值問題（略）第九、十章 多元函數(shù)積分學§9.1 二重積分一、在直角坐標系中化二重積分為累次積分以及交換積分順序序問題X型區(qū)域：

9、設有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在 上連續(xù)，則 Y型區(qū)域：設有界閉區(qū)域其中在上連續(xù)，在上連續(xù)則關于二重積分的計算主要根據(jù)X型區(qū)域或Y型區(qū)域I，把二重積分化為累次積分從而進行計算，對于比較復雜的區(qū)域D如果既不符合X型區(qū)域中關于D的要求，又不符合Y型區(qū)域中關于D的要求，那么就需要把D分解成一些小區(qū)域，使得每一個小區(qū)域能夠符合X型區(qū)域或Y型區(qū)域中關于區(qū)域的要求，利用二重積分性質，把大區(qū)域上二重積分等于這些小區(qū)域上二重積分之和，而每個小區(qū)域上的二重積分則可以化為累次積分進行計算。在直角坐標系中兩種不同順序的累次積分的互相轉化是一種很重要的手段，具體做法是先把給定的累次積分反過來化為二重積分，求出它的積分區(qū)

10、域D，然后根據(jù)D再把二重積分化為另外一種順序的累次積分。二、在極坐標系中化二重積分為累次積分在極坐標系中一般只考慮一種順序的累次積分，也即先固定對進行積分，然后再對進行積分，由于區(qū)域D的不同類型，也有幾種常用的模型。模型I 設有界閉區(qū)域其中在上連續(xù)，在上連續(xù)。則模型II 設有界閉區(qū)域其中在上連續(xù)，在上連續(xù)。則 §9.2 三重積分一、三重積分的計算方法1、直角坐標系中三重積分化為累次積分（1）設是空間的有界閉區(qū)域 其中D是xy平面上的有界閉區(qū)域，在D上連續(xù)函數(shù)上連續(xù)，則 （2）設其中D(z)為豎坐標為z的平面上的有界閉區(qū)域，則2、柱坐標系中三重積分的計算相當于把(x,y)化為極坐標（）

11、而z保持不變3、球坐標系中三重積分的計算§9.3 曲線積分第一類 曲線積分（對弧長的曲線積分）參數(shù)計算公式：只討論空間情形（平面情形類似）設空間曲線L的參數(shù)方程 則 （假設）這樣把曲線積分化為定積分來進行計算第二類 曲線積分（對坐標的曲線積分）參數(shù)計算公式：只討論空間情形（平面情形類似）設空間有向曲線L 的參數(shù)方程這樣把曲線積分化為定積分來計算。值得注意：如果曲線積分的定向相反，則第二類曲線積分的值差一個負號，而第一類曲線積分的值與定向無關，故曲線不考慮定向。三、兩類曲線積分之間的關系空間情形：設L=為空間一條逐段光滑有定向的曲線，在L上連續(xù)，則四、格林公式關于平面區(qū)域上的二重積分和

12、它的邊界曲線上的曲線之間的關系有一個十分重要的定理，它的結論就是格林公式。定理1、（單連通區(qū)域情形）設平面上有界閉區(qū)域D由一條逐段光滑閉曲線L所圍的單連通區(qū)域，當沿L正定向移動時區(qū)域D在L的左邊，函數(shù)在D上有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則有五、平面上曲線積分與路徑無關的幾個等價條件設P，Q在單連通區(qū)域D內有一階連續(xù)偏導數(shù)，則下面幾個條件彼此等價1任意曲線L=AB 在D內 與路徑無關2D內任意逐段光滑閉曲線C，都有3成立4D內處處有§9.4 曲面積分 一、第一類曲面積分（對面積的曲面積分）基本計算公式：設曲面S的方程 ，在D上有連續(xù)偏導數(shù)，在S上連續(xù)，則這樣把第一類曲面積分化為二重積分進行計算二

13、、第二類曲面積分（對坐標的曲面積分）基本計算公式：如果曲面S的方程 上連續(xù)，在S上連續(xù)，則 若曲面S指定一側的法向量與Z軸正向成銳角取正號，成鈍角取負號，這樣把這部分曲面積分化為xy平面上的二重積分，其它兩部分類似地處理。三、兩類曲面積分之間的關系：其中處根據(jù)定向指定一側的法向量的三個方向余弦四、高斯公式(外側)定理 設是由分塊光滑曲面S圍成的單連通有界閉區(qū)域，在上有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則 其中為S在點處的法向量的方向余弦五、斯托克斯公式定理：設L是逐段光滑有向閉曲線，S是以L為邊界的分塊光滑有向曲面，L的正向與S的側（取法向量的指向）符合右手法則，函數(shù)在包含S的一個空間區(qū)域內有連續(xù)的一階偏導數(shù)

14、，則有也可用第一類曲面積分 六、梯度、散度和旋度1、梯度 設稱為u的梯度 ，令是算子則 2、散度 設則 稱為的散度高斯公式可寫成 （外側）其中為外側單位法向量3、旋度，稱為的旋度。斯托克斯公式可寫成 其中第十一章 無窮級數(shù)§ 11.1常數(shù)項級數(shù)一、基本概念與性質1. 基本概念無窮多個數(shù)依次相加所得到的表達式稱為數(shù)項級數(shù)（簡稱級數(shù)）。 （）稱為級數(shù)的前n項的部分和，稱為部分和數(shù)列。不存在，則稱級數(shù)是發(fā)散的，發(fā)散級數(shù)沒有和的概念。（注：在某些特殊含義下可以考慮發(fā)散級數(shù)的和，但在基礎課和考研的考試大綱中不作這種要求。）2 基本性質（1） 如果（2） 在級數(shù)中增加或減少或變更有限項則級數(shù)的收

15、斂性不變。（3） 收斂級數(shù)具有結合律，也即對級數(shù)的項任意加括號所得到的新級數(shù)仍收斂，而且其和不變。發(fā)散級數(shù)不具有結合律，引言中的級數(shù)可見是發(fā)散的，所以不同加括號后得到級數(shù)的情形就不同。（4） 級數(shù)（注：引言中提到的級數(shù)，因此收斂級數(shù)的必要條件不滿足，發(fā)散。調和級數(shù)滿足卻是發(fā)散的，所以滿足收斂級數(shù)的必要條件，而收斂性尚不能確定。）3兩類重要的級數(shù)（1）等比級數(shù)（幾何級數(shù)）：當時，收斂；當時，發(fā)散（2）p-級數(shù)： 當p>1時，收斂，當p1時發(fā)散（注：p>1時，的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知）二、正項級數(shù)斂散性的判別法則稱為正項級數(shù)，這時是單調加數(shù)列，它是否收斂就只取決于是否有

16、上界，因此有上界，這是正項級數(shù)比較判別法的基礎，從而也是正項級數(shù)其它判別法的基礎。1. 比較判別法收斂，則收斂；如果發(fā)散，則發(fā)散。2. 比較判別法的極限形式：設若當0<A<+時，與同時收斂或同時發(fā)散。當A=0時，若收斂，則收斂。當A=+時，若收斂，則收斂。3比值判別法（達朗倍爾）：設>0，而當<1時，則收斂當>1時(包括=+)，則發(fā)散當=1時，此判別法無效（注：如果不存在時，此判別法也無法用）4根值判別法（柯西）：設0，而當<1時，則收斂當>1時(包括=+)，則發(fā)散當=1時，此判別法無效事實上，比值判別法和根值判別法都是與等比級數(shù)比較得出相應的結論，應

17、用時，根據(jù)所給級數(shù)的形狀有不同的選擇，但它們在=1情形下都無能為力。數(shù)學上有更精細一些的判別法，但較復雜，對考研來說不作要求。三、交錯級數(shù)及其萊布尼茲判別法1交錯級數(shù)概念：若>0,稱為交錯級數(shù)。2萊布尼茲判別法：設交錯級數(shù)滿足：1）2) =0，則收斂，且0<<四、絕對收斂與條件收斂1定理：若收斂，則一定收斂；反之不然。2定義：若收斂，則稱為絕對收斂；若收斂，而發(fā)散，則稱為條件收斂。3有關性質1）絕對收斂級數(shù)具有交換律，也即級數(shù)中無窮多項任意交換順序，得到級數(shù)仍是絕對收斂，且其和不變。2）條件收斂級數(shù)的正項或負項構成的級數(shù)，即（+）或（）一定是發(fā)散的。4一類重要的級數(shù)：設當&g

18、t;1時，是絕對收斂的當0<1時，是條件收斂的當0時，是發(fā)散的§11.2 冪級數(shù)一、函數(shù)項級數(shù)及其收斂域與和函數(shù)1 函數(shù)項級數(shù)的概念設皆定義在區(qū)間I上，則稱為區(qū)間I上的函數(shù)項級數(shù)。2 收斂域設，如果常數(shù)項級數(shù)收斂，則稱是函數(shù)項級數(shù)的收斂點，如果發(fā)散，則稱是的發(fā)散點。函數(shù)項級數(shù)的所有收斂點構成的集合就稱為收斂域。所有發(fā)散點構成的集合你為發(fā)散域。3 和函數(shù)在的收斂域的每一點都有和，它與有關，因此，收斂域稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)，它的定義域就是函數(shù)項級數(shù)的收斂域。二、冪級數(shù)及其收斂域1 冪級數(shù)概念稱為的冪級數(shù)，稱為冪級數(shù)的系數(shù)，是常數(shù)，當時，稱為的冪級數(shù)。一般討論有關問題，作平移替換就

19、可以得出有關的有關結論。2冪級數(shù)的收斂域冪級數(shù)的收斂域分三種情形：（1）收斂域為，亦即對每一個皆收斂，我們稱它的收斂半徑（2）收斂域僅為原點，除原點外冪級數(shù)皆發(fā)散，我們稱它的收斂半徑。（3）收斂域為 所以求冪級數(shù)的收斂半徑非常重要，（1）（2）兩種情形的收斂域就確定的。而（3）的情形，還需討論兩點上的斂散性。冪級數(shù)的性質四則運算設分析性質設冪級數(shù)的收斂半徑> 0，S() = 為和函數(shù)，則有下列重要性質。（1）求導后冪級數(shù)的收斂半徑不變，因此得出（2）冪級數(shù)的收斂半徑也不變。（3）若(i)(ii)(iii)四、冪級數(shù)求和函數(shù)的基本方法1把已知函數(shù)的冪級數(shù)展開式（§ 11.3將討論

20、）反過來用。下列基本公式應熟背：2、用逐項求導和逐項積分方法以及等比級數(shù)求和公式3、用逐項求導和逐項積分方法化為和函數(shù)的微分方程從而求出微分方程的解。五、利用冪級數(shù)求和函數(shù)得出有關常數(shù)項級數(shù)的和§11.3將函數(shù)展開成冪級數(shù)一、泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)的概念1 基本概念二、函數(shù)展成冪級數(shù)的方法1套公式§11.4傅里葉級數(shù)一、三角函數(shù)系的正交性二、傅里葉系數(shù)與傅里葉級數(shù)三、狄利克雷收斂定理我們把上述兩個條件稱為狄利克雷條件四、正弦級數(shù)與余弦級數(shù)第十二章 常微分方程§12.1 基本概念和一階微分方程基本概念常微分方程和階、解、通解和特解、初始條件、齊次線性方程和非齊次線性方程、變量可分離方程1、)2、齊次方程： 一階線性方程及其推廣1、2、全微分方程§12.2特殊的高階微分方程一、可降階的高階微分方程方程類型解法及解的表達式通解無y令一階方程，設其解為,即，則原方程的通解為有y無x