積化和差與和差化積公式教師版

1、積化和差與和差化積公式、和角、倍半角公式復習課1、 基本公式復習1、兩角和與差公式及規(guī)律 2二倍角公式及規(guī)律 3、積化和差與和差化積公式 生動的口訣：（和差化積） 口訣 正加正，正在前，余加余，余并肩 正減正，余在前，余減余，負正弦 反之亦然 和差化積公式是積化和差公式的逆用形式，要注意的是： 其中前兩個公式可合并為一個：sin+sin=2sincos 積化和差公式的推導用了“解方程組”的思想，和差化積公式的推導用了“換元”思想。 只有系數(shù)絕對值相同的同名函數(shù)的和與差，才能直接運用公式化成積的形式，如果一個正弦與一個余弦的和或差，則要先用誘導公式化成同名函數(shù)后再運用公式化積。 合一變形也是一種

2、和差化積。 三角函數(shù)的和差化積，可以理解為代數(shù)中的因式分解，因此，因式分解在代數(shù)中起什么作用，和差化積公式在三角中就起什么作用。 3、積化和差與積差化積是一種孿生兄弟，不可分離，在解題過程中，要切實注意兩者的交替使用。如在一般情況下，遇有正、余弦函數(shù)的平方，要先考慮降冪公式，然后應(yīng)用和差化積、積化和差公式交替使用進行化簡或計算。和積互化公式其基本功能在于：當和、積互化時，角度要重新組合，因此有可能產(chǎn)生特殊角；結(jié)構(gòu)將變化，因此有可能產(chǎn)生互消項或互約因式，從而利于化簡求值。正因為如此“和、積互化”是三角恒等變形的一種基本手段。sin +sin =2sin(+)/2·cos(-)/2的證明

3、過程 因為 sin(+)=sin cos +cos sin ， sin(-)=sin cos -cos sin ， 將以上兩式的左右兩邊分別相加，得 sin(+)+sin(-)=2sin cos ， 設(shè) +=，-= 那么 =(+)/2, =（-）/2 把，的值代入，即得 sin +sin =2sin(+)/2cos(-）/2 cos(-)-cos(+) =(coscos+sinsin)-(coscos-sinsin) =2sinsin sinsin=-1/2-2sinsin =-1/2(coscos-sinsin)-(coscos+sinsin) =-1/2cos(+)-cos(-) 其他的3

4、個式子也是相同的證明方法。4、萬能公式 證： 注意：1、上述三個公式統(tǒng)稱為萬能公式。2、 這個公式的本質(zhì)是用半角的正切表示正弦、余弦、正切，即：所以利用它對三角式進行化簡、求值、證明，可以使解題過程簡潔3、上述公式左右兩邊定義域發(fā)生了變化，由左向右定義域縮小。2、 應(yīng)注意的問題1、兩角差的余弦公式是本章中其余公式的基礎(chǔ)，應(yīng)記準該公式的形式.2、倍角公式有升、降冪的功能，如果升冪，則角減半，如果降冪，則角加倍，根據(jù)條件靈活選用.3、公式的“三用”（順用、逆用、變用）是熟練進行三角變形的前提.3、整體原則-從角度關(guān)系、函數(shù)名稱差異、式子結(jié)構(gòu)特征分析入手，尋求三角變形的思維指向；4、角度配湊方法 ，

5、其中是任意角。三、例題講解例1 已知，均為銳角， sin=，求+的值。解析：由已知條件有cos=，且0+。 又cos(+)=coscos-sinsin 例2已知（） 求（） 若求的值解當時，當時，故當n為偶數(shù)時，當n為奇數(shù)時，例3已知（） 求的值；（） 當時，求的值解（）方法從而，方法設(shè)（）由已知可得 例4已知求的值. 解 例5已知求的值. 解 將兩條件式分別平方，得 將上面兩式相加，得 例6 的值等于 （ ）A B C D 解故選B.例7 已知cos()= 都是銳角，求cos(+)的值。解析：由已知條件有因為0sin2=，所以02，所以0。又因為0，所以-0。由、得-。又因為cos（-）=，

6、所以。=。從而cos(+)=cos2-(-) =cos2cos(-)+sin2sin(-) 評析：本例通過0sin2= ，發(fā)現(xiàn)了隱含條件：0，將-的范圍縮小為，進而由cos(-)= ,將-的范圍確定為，從而避免了增解。例8 已知，且tan,tna是一元二次方程的兩個根，求+的值。解析：由已知條件得tan+tan= ，tantan=40， 所以tan0，tan0。又因為 ，所以所以-+0。又因為tan(+)= =所以+= 。評析：本例根據(jù)韋達定理tan+tan= ，tantan=4，挖掘出了隱含條件tan0,tan0，知，得出了+的確切范圍，從而順利求解。例9 已知，求；解：=；例10 已知，的

7、值解：，又因為（）及，所以，即，所以注：“已知”與 “未知”的聯(lián)系是“ =”，從而目標是求出的值例11 已知且是第二象限的角，求解：是第二象限的角， ，即，=注：“未知”與“已知”和“已知”的聯(lián)系顯然是“”例12 已知解：又所以可知是第一象限的角，是第三象限的角， 注：“未知”與“已知”和“已知”的聯(lián)系顯然是“”例13 已知求（）（）解：解法一：得：；得：，即，所以解法二：把已知和差化積得：得：即÷得：注：求利用方法一簡單，求利用方法二簡單一般地，已知兩角的正余弦的和與差，求兩角和與差的正余弦，往往采用和差化積或者平方后求和與差【 課堂練習1】 1cos105°的值為 （

8、） A B C D 2對于任何、（0，），sin(+)與sin+sin的大小關(guān)系是 （ ） Asin(+)sin+sin Bsin(+)sin+sin Csin(+)=sin+sin D要以、的具體值而定3已知，sin2=a，則sin+cos等于 （ ） A B C D±4已知tan=，tan=，則cot(+2)= 5已知tanx=，則cos2x= 【 課堂練習2】 求下列各式的值 1cos200°cos80°+cos110°cos10°= 2（cos15°+sin15°）= 3化簡1+2cos2cos2= 4cos(20&

9、#176;+x)cos(25°x)cos(70°x)sin(25°x)= 5 = 【課后反饋1】 1已知0，sin=，cos(+)=，則sin等于 （ ） A0 B0或 C D0或2 的值等于 （ ） A2+ B C2 D 3 ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，則C的大小為 （ ） A B C 或 D 或4若是銳角，且sin()= ，則cos的值是 5coscoscos = 6已知tan=，tan=，且、都是銳角求證：+=45° 7已知cos()=，cos(+)= ，且（）（，），+（，2），求cos2、cos2的值 8

10、已知sin(+)= ，且sin(+)= ，求 【課后反饋2】 1cos75°+cos15°的值等于 （ ） A B C D 2a=（sin17°+cos17°），b=2cos213°1，c= ，則 （ ） Acab B bca C abc D bac 3化簡= 4化簡sin(2+)2sincos(+)= 5 在ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，則tan+tan+tantan的值為 6 化簡sin2A+sin2B+2sinAsinBcos(A+B) 7 化簡sin50°(1+tan10°) 8 已知sin(+)=1，求證：sin(2+)+sin(2+3)=0 參考答案：【 課堂練習1】 1 C 2 B 3 B 4 5【 課堂練習2】 1 2 3 2 4 5tan2【課后反饋1】 1 C 2 C 3 A 4 5 6略 7 cos2=，cos2=1 8 【課后反饋2】 1 A 2 A 3 tan 4 sin 5 6 sin2（AB）7. 1 8 .略 例14 已知，求3cos 2