直線與圓錐曲線問題的處理方法1

1、題目 高中數(shù)學復習專題講座直線與圓錐曲線問題的處理方法(1)高考要求 直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等 突出考查了數(shù)形結合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉化等數(shù)學思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高，起到了拉開考生“檔次”，有利于選拔的功能 重難點歸納 1 直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程是否有實數(shù)解成實數(shù)解的個數(shù)問題，此時要注意用好分類討論和數(shù)形結合的思想方法 2 當直線與圓錐曲線相交時 涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦

2、長(即應用弦長公式)；涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來，相互轉化 同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，往往就能事半功倍 典型題例示范講解例1如圖所示，拋物線y2=4x的頂點為O，點A的坐標為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點O或點A)且交拋物線于M、N兩點，求AMN面積最大時直線l的方程，并求AMN的最大面積 命題意圖 直線與圓錐曲線相交，一個重要的問題就是有關弦長的問題 本題考查處理直線與圓錐曲線相交問題的第一種方法“韋達定理法” 知識依托 弦長公式、三角形的面積公式、不等式法求最值、函數(shù)與方程的思

3、想 錯解分析 將直線方程代入拋物線方程后，沒有確定m的取值范圍 不等式法求最值忽略了適用的條件 技巧與方法 涉及弦長問題，應熟練地利用韋達定理設而不求計算弦長，涉及垂直關系往往也是利用韋達定理，設而不求簡化運算 解法一 由題意，可設l的方程為y=x+m,其中5m0 由方程組,消去y,得x2+(2m4)x+m2=0 直線l與拋物線有兩個不同交點M、N，方程的判別式=(2m4)24m2=16(1m)0,解得m1,又5m0,m的范圍為(5，0)設M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=42m，x1·x2=m2,|MN|=4 點A到直線l的距離為d= S=2(5+m),從而S2=4(

4、1m)(5+m)2=2(22m)·(5+m)(5+m)2()3=128 S8,當且僅當22m=5+m,即m=1時取等號 故直線l的方程為y=x1，AMN的最大面積為8 解法二 由題意，可設l與x軸相交于B（m,0）, l的方程為x = y +m,其中0m5 由方程組,消去x,得y 24 y 4m=0 直線l與拋物線有兩個不同交點M、N，方程的判別式=(4)2+16m=16(1+m)0必成立,設M(x1,y1),N(x2,y2)則y 1+ y 2=4，y 1·y 2=4m,S= 4=4S8,當且僅當即m=1時取等號 故直線l的方程為y=x1，AMN的最大面積為8 例2已知雙曲

5、線C 2x2y2=2與點P(1，2)(1)求過P(1，2)點的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個交點，兩個交點，沒有交點 (2)若Q(1，1)，試判斷以Q為中點的弦是否存在 命題意圖 第一問考查直線與雙曲線交點個數(shù)問題，歸結為方程組解的問題 第二問考查處理直線與圓錐曲線問題的第二種方法“點差法” 知識依托 二次方程根的個數(shù)的判定、兩點連線的斜率公式、中點坐標公式 錯解分析 第一問，求二次方程根的個數(shù)，忽略了二次項系數(shù)的討論 第二問，算得以Q為中點弦的斜率為2，就認為所求直線存在了 技巧與方法 涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率，弦的中點坐標聯(lián)系起來，相互轉化

6、解 (1)當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=1,與曲線C有一個交點 當l的斜率存在時，設直線l的方程為y2=k(x1),代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0 (*)()當2k2=0,即k=±時，方程(*)有一個根，l與C有一個交點()當2k20,即k±時=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)當=0,即32k=0,k=時，方程(*)有一個實根，l與C有一個交點 當0,即k,又k±,故當k或k或k時，方程(*)有兩不等實根，l與C有兩個交點 當0，即k時，方程(*)無解，l與C無交點 綜上知 當k=

7、7;,或k=，或k不存在時，l與C只有一個交點；當k,或k,或k時，l與C有兩個交點；當k時，l與C沒有交點 (2)假設以Q為中點的弦存在，設為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2x12y12=2,2x22y22=2兩式相減得 2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=22(x1x2)=y1y1即kAB=2但漸近線斜率為±,結合圖形知直線AB與C無交點，所以假設不正確，即以Q為中點的弦不存在 例3已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，直線y=x+1與橢圓交于P和Q，且OPOQ，|PQ|=，求橢圓方程 解 設橢圓方程為mx2

8、+ny2=1(m0,n0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得(m+n)x2+2nx+n1=0,=4n24(m+n)(n1)0,即m+nmn0,由OPOQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,+1=0,m+n=2 又22,將m+n=2,代入得m·n=由、式得m=,n=或m=,n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1 學生鞏固練習 1 斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A、B兩點，則|AB|的最大值為( )A 2B C D 2 拋物線y=ax2與直線y=kx+b(k0)交于A、B兩點，且此兩點的橫坐標分別為x1,x2,直線與x軸交點的橫坐標是x

9、3,則恒有( )A x3=x1+x2B x1x2=x1x3+x2x3C x1+x2+x3=0D x1x2+x2x3+x3x1=03 正方形ABCD的邊AB在直線y=x+4上，C、D兩點在拋物線y2=x上，則正方形ABCD的面積為_ 4 已知拋物線y2=2px(p0),過動點M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，且|AB|2p (1)求a的取值范圍 (2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求NAB面積的最大值 5 已知中心在原點，頂點A1、A2在x軸上，離心率e=的雙曲線過點P(6，6) (1)求雙曲線方程 (2)動直線l經(jīng)過A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點M

10、、N，問 是否存在直線l,使G平分線段MN，證明你的結論 參考答案:1 解析 弦長|AB|= 答案 C2 解析 解方程組,得ax2kxb=0,可知x1+x2=,x1x2=,x3=,代入驗證即可 答案 B3 解析 設C、D所在直線方程為y=x+b,代入y2=x,利用弦長公式可求出|CD|的長，利用|CD|的長等于兩平行直線y=x+4與y=x+b間的距離，求出b的值，再代入求出|CD|的長 答案 18或504 解 (1)設直線l的方程為 y=xa,代入拋物線方程得(xa)2=2px,即x22(a+p)x+a2=0|AB|=2p 4ap+2p2p2,即4app2又p0,a (2)設A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中點 C(x,y),由(1)知，y1=x1a,y2=x2a,x1+x2=2a+2p,則有x=p 線段AB的垂直平分線的方程為yp=(xap),從而N點坐標為(a+2p,0）點N到AB的距離為從而SNAB=當a有最大值時，S有最大值為p2 5 解 (1)如圖，設雙曲線方程為=1 由已知得,解得a2=9,b2=12 所以所求