第五節(jié)振型向量正交性

1、第五節(jié) 振型向量正交性對(duì)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)問題的分析與兩自由度系統(tǒng)沒有本質(zhì)上的區(qū)別。只是由于自由度上的增多導(dǎo)致數(shù)學(xué)上計(jì)算變得復(fù)雜多了。因此，在研究多自由度系統(tǒng)振動(dòng)問題時(shí)，應(yīng)找出一種便于分析的方法，這就是模態(tài)分析法（振型疊加法）。為此，首先討論有關(guān)耦合與解耦的方法。一、 耦合與解耦（教材6.7和6.8）舉例說明什么是耦合與解耦。如圖所示是一剛性桿AD，用剛度分別為和的彈簧支承與A、D兩端。（1） 取質(zhì)心C點(diǎn)的垂直位移和剛性桿繞C點(diǎn)的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)。則剛性桿在振動(dòng)中任一瞬時(shí)的受力如圖所示。由幾何關(guān)系，得由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，的系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為 （a）式中m是剛性桿AD的質(zhì)量，J是剛性桿AD繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)

2、動(dòng)慣量。整理式（a），得 （b）寫成矩陣的形式 （c） 在上式中，質(zhì)量矩陣是一個(gè)對(duì)角矩陣，反映在方程組中，就是兩個(gè)微分方程的第一個(gè)方程僅包含一個(gè)廣義坐標(biāo)的二階導(dǎo)數(shù)（加速度），第二個(gè)方程僅包含另一個(gè)廣義坐標(biāo)的二階導(dǎo)數(shù)，這種加速度（慣性力）之間沒有耦合的情況，稱之為慣性解耦。 剛度矩陣是非對(duì)角矩陣，反映在方程組中，也就是兩個(gè)微分方程的每一個(gè)方程都包含廣義坐標(biāo)和，這種坐標(biāo)之間有耦合的情況，稱之為彈性耦合（靜力耦合）。（2）如果在桿上另取一點(diǎn)B，令，其中 ，且令 以B點(diǎn)的縱坐標(biāo)和桿的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)，則系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為寫成矩陣形式在新的坐標(biāo)寫出的方程中，剛度矩陣是一個(gè)對(duì)角矩陣，反映在方程組中，就是兩

3、個(gè)微分方程的第一個(gè)方程僅包含一個(gè)廣義坐標(biāo)，第二個(gè)方程僅包含另一個(gè)廣義坐標(biāo)，這種坐標(biāo)之間沒有耦合的情況，稱之為彈性解耦（靜力解耦）。而質(zhì)量矩陣是非對(duì)角矩陣，反映在方程組中，也就是兩個(gè)微分方程的每一個(gè)方程都包含廣義坐標(biāo)的二階導(dǎo)數(shù)和，這種加速度（慣性力）之間有耦合的情況，稱之為慣性耦合。（3）若以彈簧支承處的位移和為廣義坐標(biāo)，則振動(dòng)微分方程為寫成矩陣形式由此可見此時(shí)，剛度矩陣和質(zhì)量矩陣都不是對(duì)角矩陣，即方程組中同時(shí)存在著慣性耦合和彈性耦合。有以上分析可以看出，同一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)可以選擇不同的廣義坐標(biāo)來建立它的運(yùn)動(dòng)方程。但若選擇的坐標(biāo)不同，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程的形式和耦合情況也不同。這表明：運(yùn)動(dòng)方程的耦合并不是

4、振動(dòng)系統(tǒng)所固有的本性，而完全取決于坐標(biāo)的選擇。即和與選取的坐標(biāo)系有關(guān)。換句話說，描述系統(tǒng)的坐標(biāo)系不同，則和也不同。我們知道，求解一個(gè)耦合的運(yùn)動(dòng)方程是十分復(fù)雜的，尤其是實(shí)際工程問題，有的系統(tǒng)自由度多達(dá)上百數(shù)千，因此即使利用計(jì)算機(jī)求解這樣一個(gè)耦合的方程組，也是十分困難的。但如果選取的坐標(biāo)恰好使系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程組的耦合項(xiàng)全等于零，既無彈性耦合，又無慣性耦合，也就是使質(zhì)量矩陣和剛度矩陣同時(shí)為對(duì)角矩陣，那么n個(gè)聯(lián)立的微分方程就成為n個(gè)獨(dú)立的微分方程了，于是求解就很容易了。二、振型正交性（教材6.12）一個(gè)個(gè)自由度系統(tǒng)具有個(gè)固有頻率和組對(duì)應(yīng)的振型向量。設(shè)第階固有頻率為，對(duì)應(yīng)的振型為，則有如下的關(guān)系 （a

5、）同樣和也滿足 （b）用前乘以（a）兩端，用前乘以（b）兩端，得 （c） （d）因?yàn)楹投际菍?duì)稱矩陣，則將（d）式兩邊轉(zhuǎn)置，得 （e）（c）（e），得 （f）在一般情況下，當(dāng)時(shí)，所以有 （4-45）將上式代入（e）式，得  （4-46）式（4-45）和（4-46）表示，對(duì)應(yīng)于不同固有頻率的兩個(gè)振型向量之間存在著對(duì)質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性。這個(gè)性質(zhì)就稱為振型向量正交性。將式（a）兩邊前乘以，得 （g） 令 （h）因質(zhì)量矩陣是正定的，則總是一個(gè)正實(shí)數(shù)。稱為第階主質(zhì)量。令 （i）稱為第階主剛度。則由式（g），得 （j）由此可見，第階固有頻率的平方就等于第階主剛度除以第階主質(zhì)量。三、主質(zhì)量矩

6、陣和主剛度矩陣把個(gè)振型向量依次排列，構(gòu)成一個(gè)階方陣，記為 （6-44）稱為振型矩陣。則注意到： （）和 則上式變成稱為主質(zhì)量矩陣（模態(tài)質(zhì)量矩陣）。同理，有稱為主剛度矩陣（模態(tài)剛度矩陣）。例題2：驗(yàn)證振型正交性。對(duì)于圖示系統(tǒng)（例1），質(zhì)量矩陣，剛度矩陣系統(tǒng)的三個(gè)固有頻率振型向量為證：四、正則振型向量和正則（主）坐標(biāo)1. 正則振型向量由于振型向量?jī)H表示各坐標(biāo)間幅值的相對(duì)大小。因此，只有通過歸一化，這才能確定振型向量中元素的具體數(shù)值。所以，如果歸一化不同，則由振型向量構(gòu)成的振型矩陣，按下式計(jì)算時(shí)求得的主質(zhì)量的值各不相同。故為了方便起見，將各階振型向量正則化，令 （6-48）稱為第階正則振型向量。（6-49）即正則振型向量所對(duì)應(yīng)的主質(zhì)量等于1。（6-50）即正則振型向量所對(duì)應(yīng)的主剛度等于。把個(gè)正則振型向量依次排列，構(gòu)成一個(gè)階方陣，記為則矩陣稱為正則振型矩陣。由于正則振型向量是振型向量中的特定一組，因此正則振型向量也滿足振型向量正交性。即所以有2. 正則(主)坐標(biāo)若以為變換矩陣，對(duì)原廣義坐標(biāo)進(jìn)行線性變換，令 （6-51）則 稱為正則主坐標(biāo)，簡(jiǎn)稱正則坐標(biāo)。將（6-51）式代入多自由度系統(tǒng)的振