直線與雙曲線的相交弦問題

1、直線與雙曲線的相交弦問題直線與雙曲線相交的弦長(zhǎng)公式（兩點(diǎn)之間的距離）一、已知雙曲線方程和直線方程求弦長(zhǎng)例1、 過雙曲線的左焦點(diǎn)，作傾斜角為的弦，求；的面積（為雙曲線的右焦點(diǎn)）。1、求直線被雙曲線截得的弦長(zhǎng)；2、過雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角為的弦，求弦長(zhǎng)；3、已知斜率為2的直線被雙曲線截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程；4、過雙曲線的左焦點(diǎn)，作傾斜角為的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，求：（1）弦長(zhǎng)（2）的周長(zhǎng)（為雙曲線的右焦點(diǎn)）二、已知弦長(zhǎng)求雙曲線方程5、 已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線上一點(diǎn)，到雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別為4和8，直線被雙曲線截得的弦長(zhǎng)為，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程6、已知傾斜角為的直線被雙曲線截得的弦長(zhǎng)，求

2、直線的方程例2、 已知雙曲線方程為，求以定點(diǎn)A(2,1)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程解圓錐曲線與直線相交所得的中點(diǎn)弦問題，一般不求直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，而是利用根與系數(shù)的關(guān)系或“平方差法”求解此時(shí)，若已知點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部，則中點(diǎn)弦一定存在，所求出的直線可不檢驗(yàn)，若已知點(diǎn)在雙曲線的外部，中點(diǎn)弦可能存在，也可能不存在，因而對(duì)所求直線必須進(jìn)行檢驗(yàn)，以免增解，若用待定系數(shù)法時(shí)，只需求出k值對(duì)判別式0進(jìn)行驗(yàn)證即可例3、 雙曲線方程為.問：以定點(diǎn)B(1,1)為中點(diǎn)的弦存在嗎？若存在，求出其所在直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由7、已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)在軸上，離心率為的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（）求雙曲線的方程；（）動(dòng)直

3、線經(jīng)過的重心，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，問是否存在直線使平分線段。試證明你的結(jié)論。 題型三： 9、設(shè)雙曲線與直線相交于不同的點(diǎn)A、B.求雙曲線的離心率的取值范圍；設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，且，求的值。解：(1)將yx1代入雙曲線y21中得(1a2)x22a2x2a20 由題設(shè)條件知，解得0a且a1， 又雙曲線的離心率e，0a且e.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1) ， (x1，y11)(x2，y21)x1x2，x1、x2是方程的兩根，且1a20， x2，x，消去x2得， a0，a.10. 已知雙曲線的焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，若 (其中為原點(diǎn)），求雙曲線方程。11

4、. 雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，兩條漸近線分別為，經(jīng)過右焦點(diǎn)垂直于的直線分別交于兩點(diǎn)已知成等差數(shù)列，且與同向（）求雙曲線的離心率；（）設(shè)被雙曲線所截得的線段的長(zhǎng)為4，求雙曲線的方程解：（）設(shè)， 由勾股定理可得：得：，由倍角公式，解得,則離心率（）過直線方程為,與雙曲線方程聯(lián)立，將，代入，化簡(jiǎn)有 將數(shù)值代入，有, 解得 故所求的雙曲線方程為。12、已知雙曲線1(ba0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e2，點(diǎn)M(，)在雙曲線上(1) 求雙曲線的方程；(2) 若直線l與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且.求的值解： (1)e2，c2a，b2c2a23a2，雙曲線方程為1，即3x2y23a2.點(diǎn)M(，)在雙曲線上，

5、1533a2.a24.所求雙曲線的方程為1.(2)設(shè)直線OP的方程為ykx(k0)，聯(lián)立1，得|OP|2x2y2. 則OQ的方程為yx，同理有|OQ|2， .13(2012上海)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C1：2x2y21.(1)過C1的左頂點(diǎn)引C1的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；(2)設(shè)斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點(diǎn)若l與圓x2y21相切，求證：OPOQ；(3)設(shè)橢圓C2：4x2y21.若M、N分別是C1、C2上的動(dòng)點(diǎn)，且OMON，求證：O到直線MN的距離是定值解：(1)雙曲線C1：，左頂點(diǎn)A，漸近線方程為：yx.過點(diǎn)A與漸近線yx平行的直

6、線方程為，即yx1.解方程組，得. 所求三角形的面積為S|OA|y|.(2)證明：設(shè)直線PQ的方程是yxb，直線PQ與已知圓相切，1，即b22.由得x22bxb210. 設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則又y1y2(x1b)(x2b)，x1x2y1y22x1x2b(x1x2)b22(1b2)2b2b2b220. 故OPOQ.(3)證明：當(dāng)直線ON垂直于x軸時(shí)，|ON|1，|OM|，則O到直線MN的距離為.當(dāng)直線ON不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線ON的方程為ykx(顯然)，則直線OM的方程為yx. 由得|ON|2.同理|OM|2. 設(shè)O到直線MN的距離為d.(|OM|2|ON|2)d2|OM|2|

7、ON|2， 3，即d.綜上，O到直線MN的距離是定值五、能力提升1若不論k為何值，直線y=k(x-2)+b與雙曲線總有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是（ ） (A) (B) (C) (D) 2過雙曲線的右焦點(diǎn)F作直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=4，則這樣的直線有（ ） (A)1條 (B)2條 (C)3條 (D)4條3過點(diǎn)的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且這個(gè)公共點(diǎn)恰是雙曲線的左頂點(diǎn)，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)等于（ ） (A)2 (B)4 (C) 1或2 (D) 2或44. 已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是（ ） (A) (1，2 (B)（1，2) (C) 2，+) (D) (2，+)6直線與雙曲線的右支交于不同兩點(diǎn)，則k的取值范圍是 7. 已知傾斜角為的直線被雙曲線截得的弦長(zhǎng)，