光量子學(xué)習(xí)題答案

1、.光量子學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題答案光量子學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題答案（沈建其提供，2009年6月）說明：習(xí)題難度非常低，大多習(xí)題均可以在ppt中直接找到答案。第一次習(xí)題：1 計算（1）：de Broglie波長均為5埃（）的電子、中子與光子的動量與能量各為多少？ 答：這三種粒子的動量都是Kgm/s (或 Kgm/s)。電子的動能 JeV （或6eV）（1電子伏特焦耳）中子的動能 JeV 以上使用牛頓力學(xué)的動能公式（6.03eV遠比電子的靜止能量約0.5MeV小，0.0033eV遠比中子的靜止能量約990MeV小，說明沒有必要使用相對論來計算）但光子是相對論性粒子，必須用相對論來計算：光子動能（總能）J4.00J=2.5

2、0eV。說明：雖然以上問題中，牛頓力學(xué)的動能公式是非常良好的近似，但使用相對論亦可。有的學(xué)生計算了動能部分，有的學(xué)生計算了總能量，答案是開明的，都屬對，但要知道與動能之間如下關(guān)系：粒子總能量，動質(zhì)量?？梢杂锰├照归_：，其中為靜止能量（rest energy）, 為牛頓動能（它只是的一部分）。只有當?shù)退俚臅r候，才重要，其中更重要。當高速的時候，不再重要。此時應(yīng)該用等來計算。因此，本習(xí)題求中子與電子的動能時，可以用如下兩法：使用，求出速度，代入，求出總能量E, 再減去靜止能量，即是動能。 利用動量p的數(shù)值，使用，求出總能量E, 再減去靜止能量，即是動能。以上兩法是等價的。以上兩法對于光電系學(xué)生不作

3、要求，但還是有不少學(xué)生就使用了以上兩法，說明他們對于普通物理掌握得不錯。值得贊賞！計算（2）：當電子與中子的速度都為1000m/s時，它們的物質(zhì)波（de Broglie波）波長各為多少？當它們通過一個寬度為10nm的細縫時，誰的衍射效應(yīng)強？哪者需要使用量子論研究，哪者可以近似用牛頓力學(xué)處理？普朗克常數(shù)Js, 約化（reduced）普朗克常數(shù)Js, 電子質(zhì)量Kg, 質(zhì)子與中子質(zhì)量接近，可以取Kg。答： 電子的物質(zhì)波波長m730nm，中子的物質(zhì)波波長m0.4nm，根據(jù)衍射理論，屏幕上衍射暗條紋之間的距離為 （為細縫與屏幕之間的垂直距離，為縫寬）。波長越短，粒子性越強；波長越長，波動性越明顯，衍射效

4、應(yīng)越強。電子的衍射效應(yīng)強，電子需要使用量子論研究，本例中子可以近似用牛頓力學(xué)處理。2 根據(jù)“1-量子力學(xué)的提出.ppt”中的內(nèi)容，把Compton（康普頓）散射理論獨立推導(dǎo)一遍，體會光子的確具有客觀實在性，同時鍛煉自學(xué)能力。答：略3 根據(jù)“1-量子力學(xué)的提出.ppt”中的內(nèi)容，把Bohr（波爾）的氫原子結(jié)構(gòu)理論的數(shù)學(xué)獨立推導(dǎo)一遍，體會Bohr創(chuàng)建原子模型的心路歷程，同時鍛煉自學(xué)能力。答：略第二次習(xí)題：1下面各個狀態(tài)中，哪個與描寫同一個狀態(tài)？理由是？答：描述同一個狀態(tài)（差別僅在于無關(guān)緊要的常數(shù)系數(shù)，它們可以通過歸一化手續(xù)去掉）。2有兩個波函數(shù)與是否等價？理由是？對中，的兩個波函數(shù)，是否等價？理由

5、是？答：可以看出：當是偶數(shù)的時候， ，與等價。當是奇數(shù)的時候，與等價。說明：我們也可以使用如下更為方便且嚴密的做法：即把用表示出來。其中第三等號后使用了關(guān)系。以上看出，與可以互相表示，它們只相差一個常數(shù)系數(shù)（常數(shù)系數(shù)之間的差別可以通過歸一化手續(xù)去掉，所以與等價）。 （說明：這里，）對中，的兩個波函數(shù)，它們等價。3 由薛定諤方程證明：，并與粒子數(shù)守恒公式（連續(xù)性方程）比較：如果粒子數(shù)密度定義為，那么流密度的表達式是什么？答：見PPT講義或曾謹言的量子力學(xué)教程（2003年出版）（有掃描電子版）p.17.4 一維諧振子處于狀態(tài)。求：歸一化系數(shù)（請用表示）。答：假設(shè)歸一化系數(shù)為實數(shù)。由歸一化條件，可得

6、由數(shù)學(xué)用表可以查得：那么，所以。說明：如果沒有數(shù)學(xué)用表，我們也可以自己計算（是某一年的數(shù)學(xué)考研填空題），方法如下：設(shè)，那么，。那么，所以。注意：以上把看作直角坐標，是直角坐標與二維極坐標面積微元之間的轉(zhuǎn)換。第三次習(xí)題：1 一維無限深勢阱，其勢能分布是：求勢阱中的粒子波函數(shù)（包括歸一化系數(shù)）與對應(yīng)的能量本征值。答：答案見曾謹言的量子力學(xué)教程（2003年出版）（有掃描電子版）p.32-33.2大學(xué)生應(yīng)該有相當高的自學(xué)能力。根據(jù) “4-力學(xué)量的算符表示與氫原子.ppt”角動量算符（自學(xué)部分），獨立推導(dǎo)出如下的角動量算符三個分量公式以及角動量算符平方公式（需要比較高的忍耐力。也有助于理解直角坐標系與球

7、坐標系之間的關(guān)系，此訓(xùn)練具普適性）：答：球坐標與直角坐標之間的換算關(guān)系式是：。利用多元函數(shù)求偏微分法則，直角坐標偏導(dǎo)數(shù)可以用球坐標偏導(dǎo)數(shù)表示：在中，我們有， ，所以，x分量角動量在中，我們有， ，所以，y分量角動量在中，我們有，顯然，z分量角動量。下面計算角動量算符平方：為了方便，引入一波函數(shù)，讓角動量算符作用在上:于是，可以得到。在中，用、與標記的項可以抵消掉，剩余的項為：，再加，得到：由于為任意波函數(shù)，所以角動量算符平方的表達式是 命題得證。3由于氫原子內(nèi)電子是沒有確定的軌道的，電子位置測不準度就是氫原子半徑（大約為0.5埃）。根據(jù)動量位置測不準關(guān)系，試計算動量不確定度。再計算 （為電子質(zhì)

8、量），看看與氫原子基態(tài)能量eV是否處于同一數(shù)量級？如果處于同一數(shù)量級，說明什么？根據(jù)動量位置測不準關(guān)系，計算一個宏觀小球的動量不確定度（假設(shè)小球的質(zhì)量為10克，位置不確定度是0.01米，小球的速度是5m/s）。將動量不確定度與小球動量比較，比較結(jié)果說明了什么？答：動量不確定度Kgm/s。J3.78eV (用了1ev=J)由于3.78eV與eV處于同一量級水平，說明：氫原子內(nèi)電子是沒有確定的軌道的，軌道概念沒有意義，電子波動性占主導(dǎo)地位，電子的位置是不確定的，跟蹤一個電子的運動是無意義，我們只能預(yù)言電子出現(xiàn)在該點的幾率。電子與質(zhì)子（氫原子核）雖然具有強大的庫侖吸引力，但是因為電子的波動性，電子要

9、離域于大約0.5埃尺度的空間區(qū)域，這就是電子不會掉進原子核中去的原因，等等。 宏觀小球的動量不確定度 Kgm/s。這比起宏觀小球的動量來，實在太小了。說明：宏觀小球的動量是確定的，可以跟蹤，粒子性明顯。4 證明角動量對易關(guān)系答：此有多種證明方法（包括簡潔證明方法，但知識要求較高）。下面使用最原始最笨拙也最容易理解的方法：， 。為了方便，引入一波函數(shù)，讓角動量算符作用在上：花括號內(nèi)的項：于是，花括號內(nèi)的項之和為，那么。由于任意，所以成立。命題得證。說明：在經(jīng)典世界中，但在量子世界中，。5 選擇題：電子顯微鏡與掃描隧道顯微鏡獲得了1986年Nobel物理學(xué)獎，它們各自使用了什么量子特性：電子顯微鏡

10、原理（A）；掃描隧道顯微鏡原理（B）A. 電子的波動性 B. 隧道（勢壘）貫穿效應(yīng) C. 電子具有自旋自由度D. 電子能量（能級）量子化（可以使用網(wǎng)絡(luò)資源，去了解電子顯微鏡與掃描隧道顯微鏡的基本原理）第四次習(xí)題：1電子自旋算符為：試證明：它們也滿足與角動量對易關(guān)系類似的式子：。依次類推，我們還可以得到，。試證明以上三式可以合并寫為：。（注意：如果是經(jīng)典物理量，必然為零，但現(xiàn)在是算符，不為零）答： 由于的三個分量公式是：而，也可以寫為上述三式，所以該三式可以合并寫為：。命題得證。2 SternGerlach 實驗對于預(yù)言電子自旋概念具有重要的啟發(fā)性意義。敘述SternGerlach 實驗現(xiàn)象，并

11、對現(xiàn)象進行解釋。答：已知具有磁矩（磁偶極矩）的粒子在磁感應(yīng)強度的磁場中具有勢能。如果非均勻（是空間的函數(shù)），那么粒子受到一個力。利用這個理論機制，來設(shè)計SternGerlach 實驗：用兩塊磁鐵制備非均勻磁場（沿著z方向）。假設(shè)有一束銀原子（處于基態(tài)，軌道量子數(shù)L=0）沿著y方向運動，射入磁場。實驗表明：入射銀原子束分裂為兩小束，在屏幕上觀察到兩條由銀原子堆積的亮線。由于銀原子基態(tài)軌道量子數(shù)L=0，說明沒有軌道磁矩。那么導(dǎo)致銀原子分束的磁矩來自什么呢？可以來自電子的自旋（與自旋磁矩）。由于入射銀原子束分裂為兩小束，說明電子自旋磁矩只可以取兩個數(shù)值（不連續(xù)），那么自旋也只有兩個數(shù)值（不連續(xù)），電

12、子自旋為。3. 求Pauli矩陣與空間單位矢量的乘積的本征態(tài)與本征值，其中，。（答案是： 有兩個本征態(tài)與本征值： ，； ，）答：先求的本征值：具有非零本征態(tài)的條件是矩陣行列式為零：，所以所以，本征值有兩個。 下面求兩個本征值對應(yīng)的本征態(tài)：對于， 對于， 所以，有兩個本征態(tài)與本征值： ，； ，。 說明：這兩個本征態(tài)都是歸一化了的，且它們之間是正交的，即第一個態(tài)矢量的厄密共軛（轉(zhuǎn)置取復(fù)共軛）與第二個態(tài)矢量的內(nèi)積為零：。4. 電子x,y分量的自旋算符為。當電子自旋波函數(shù)為本征態(tài)時，計算，。提示：，答案都為。答：電子x分量自旋的平均值是 電子x分量自旋平方的平均值是。所以電子y分量自旋的平均值是 電子

13、y分量自旋平方的平均值是。所以說明：對于本征態(tài)，的本征值是，因為， 我們也可以計算出，在其自己的本征態(tài)中，是完全確定的。但，不等于零，說明電子x，y分量自旋值是不確定的，這是因為，都與不對易之故。（如果對易關(guān)系，那么當能確定的時候，必然不確定；或當能確定的時候，必然不確定。，不具有共同的本征態(tài)）第五次習(xí)題：（由童利民老師提供）趣味閱讀與思考：由于普朗克常數(shù)實在太小，所以量子特性在宏觀世界并不明顯或者觀察不到。我們假設(shè)，普朗克常數(shù)是1000 Js, 張三的體重是50Kg, 速度是2m/s, 計算一下張三的物質(zhì)波波長。拿此物質(zhì)波波長與張三的身體尺度（米量級）比較，問：確定張三的位置（坐標）還有意義

14、嗎？答：物質(zhì)波波長m10m。由于張三的物質(zhì)波波長為10米，而張三的身體尺度為一米量級，物質(zhì)波波長遠大于身體尺寸，所以確定張三的位置（坐標）已經(jīng)毫無意義。幸好實際的普朗克常數(shù)非常微小，這使得一個人的位置坐標具有物理意義（這使得兩個人之間的約會變得容易，只要告訴時間地點即可，否則若波動性太強，兩人只有擦肩而過的份）。當普朗克常數(shù)是1000 Js時，試舉出可能會發(fā)生在現(xiàn)實世界的三個奇特例子。答：（1）繞著操場跑步的學(xué)生的速率是量子化的。如：設(shè)操場（圓周）半徑是20m，學(xué)生體重是50Kg。物質(zhì)波波長。操場圓周長為，設(shè)等于整數(shù)個物質(zhì)波波長： 米/秒。速率為，是1.60的整數(shù)倍, 學(xué)生只能選擇1.60米/秒， 3.20米/秒, 4.80米/秒, 6.40米/秒， 其他不滿足的速率是不可能存在的。說明： 但實際的 Js很小, 繞著操場跑步的學(xué)生的速率是米/秒。因?qū)嵲谖⑿?，速率是準連續(xù)的，也就是說，相鄰速率與非常接近，看不出變化。因此從這個意義上說，在宏觀世界中，速率是可以“連續(xù)取值”的。宏觀世界中，量子效應(yīng)之所以不明顯，是因為相鄰能級之間的能量差實在非常小，看不出改變，但世界本