第6講函數(shù)的奇偶性和周期性

1、 .wd.第9講 函數(shù)的奇偶性、周期性【考點(diǎn)解讀】1. 理解函數(shù)奇偶性的概念，掌握函數(shù)奇偶性的判定方法及圖象特征，并能運(yùn)用這些知識(shí)分析、解決問(wèn)題。2. 理解函數(shù)周期性與對(duì)稱性的概念，會(huì)用定義驗(yàn)證函數(shù)的周期性。3. 能綜合運(yùn)用函數(shù)的奇偶性、周期性及對(duì)稱性解題。【知識(shí)掃描】1. 奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì)，一般地,如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f-x=fx，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù). 一般地,如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f-x=-fx，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù). 定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件。2.判斷函數(shù)的奇偶性

2、 判斷函數(shù)的奇偶性,一般都按照定義嚴(yán)格進(jìn)展,一般步驟是: 1考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；2考察表達(dá)式是否等于或-： 假設(shè)=-，那么為奇函數(shù)； 假設(shè)=，那么為偶函數(shù)； 假設(shè)=且=,那么既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)； 假設(shè)-且，那么既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，即非奇非偶函數(shù). 為了便于判斷函數(shù)的奇偶性,有時(shí)需要先將函數(shù)進(jìn)展化簡(jiǎn),或應(yīng)用定義的等價(jià)形式:=±±=0=±1(0). 3.奇、偶函數(shù)的性質(zhì)1奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.2假設(shè)一個(gè)奇函數(shù)在處有定義，那么；如果一個(gè)函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶數(shù)，那么其值域?yàn)椤?奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性一樣, 偶函數(shù)

3、在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反。4在定義域的公共局部?jī)?nèi)，兩個(gè)奇偶函數(shù)之和、差為奇偶函數(shù)；兩奇偶函數(shù)之積商為偶函數(shù)；一奇一偶函數(shù)之積商為奇函數(shù)。注：取商時(shí)，應(yīng)使分母不為05復(fù)合函數(shù)的奇偶性 由兩個(gè)函數(shù)，復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，只要其中有一個(gè)是偶函數(shù)，其復(fù)合函數(shù)就是偶函數(shù)；當(dāng)兩個(gè)函數(shù)都是奇函數(shù)時(shí)，其復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。4. 周期函數(shù)的定義對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)常數(shù)非零，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都成立，那么是周期函數(shù)。是它的周期。注意：必須對(duì)定義域內(nèi)的任意自變量恒成立。5.判斷函數(shù)是周期函數(shù)的常見(jiàn)結(jié)論：假設(shè)函數(shù)滿足對(duì)定義域內(nèi)任一實(shí)數(shù)，以為周期。以為周期。以為周期。6.函數(shù)對(duì)稱性的性質(zhì)：1的圖象關(guān)

4、于直線對(duì)稱。2一般地，假設(shè)，那么函數(shù)的對(duì)稱軸方程是。3的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱。4函數(shù)關(guān)于及對(duì)稱，那么以為周期?！究加?jì)點(diǎn)撥】牛刀小試：1】函數(shù)是奇函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a=_。【答案】【命題意圖】此題主要考察奇函數(shù)的概念?！窘馕觥坑善婧瘮?shù)定義有得，故。2.假設(shè)是上周期為5的奇函數(shù)，且滿足，那么 A1B.1 C.2D.2【答案】A【解析】=+=3.(湖南省長(zhǎng)沙一中2012屆高三上學(xué)期月考)定義在R上的函數(shù)是減函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于1，0成中心對(duì)稱，假設(shè)滿足不等式，那么當(dāng)時(shí)，的取值范圍是4函數(shù)與是同一函數(shù)；高考資源*網(wǎng)假設(shè)函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，那么函數(shù)與的圖像也關(guān)于直線對(duì)稱；假設(shè)奇函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)任意x都

5、有，那么為周期函數(shù)。其中真命題是A. B. C. D.【答案】C【解析】考察一樣函數(shù)、函數(shù)對(duì)稱性的判斷、周期性知識(shí)?？紤]定義域不同，錯(cuò)誤；排除A、B，驗(yàn)證,又通過(guò)奇函數(shù)得，所以fx是周期為2的周期函數(shù)，選擇C。假設(shè)奇函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)任意都有,那么為周期函數(shù)其中真命題是ABCD【答案】C【解析】考慮定義域不同，錯(cuò)誤；排除A、B，驗(yàn)證,又通過(guò)奇函數(shù)得，所以fx是周期為2的周期函數(shù)，選擇C。5.是定義在上的以3為周期的奇函數(shù),且=0,那么方程在區(qū)間(0,6)內(nèi)解的個(gè)數(shù)是_個(gè).【答案】7【解析】因?yàn)?0,=0,=0,是定義在上的奇函數(shù),故,取得,故,故方程在區(qū)間(0,6)內(nèi)解的個(gè)數(shù)是7個(gè).考點(diǎn)一函數(shù)的奇

6、偶性及其應(yīng)用例1：判斷以下函數(shù)的奇偶性(1) (2)(3)4=解析：判斷函數(shù)的奇偶性，首先要求出函數(shù)的定義域，看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.然后利用定義判斷，尋找和的關(guān)系.由可得，所以函數(shù)的定義域是 定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，故該函數(shù)是非奇非偶函數(shù).，且，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，原函數(shù)可化簡(jiǎn)為， 由=所以函數(shù)為奇函數(shù).因?yàn)閒(x)= =f(x)，故f(x)為奇函數(shù)4對(duì)于三角形1+sinx+cosx，當(dāng)x=時(shí)，其值為2，當(dāng)x=-時(shí)，其值為零，由此1可知原函數(shù)=的定義域中包含x=，但是不包含x=-，所以定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是非奇偶的函數(shù)。規(guī)律總結(jié)：判斷函數(shù)奇偶性是時(shí)，學(xué)生往往忽略求函數(shù)的定義域，導(dǎo)致錯(cuò)誤

7、；再者，不會(huì)合理變形，導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤.變式訓(xùn)練1：判斷以下函數(shù)的奇偶性.1；23函數(shù)對(duì)任意都有.解析：具體函數(shù)先求函數(shù)定義域，分段函數(shù)分段討論奇偶性，抽象函數(shù)要合理取值，尋找和的關(guān)系.(1函數(shù)的定義域?yàn)榍?圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又關(guān)于y軸對(duì)稱，所以既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).(2)函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上，對(duì)任意，是奇函數(shù).(3)令,令,是奇函數(shù).規(guī)律總結(jié)：判斷函數(shù)的奇偶性首先求函數(shù)的定義域,這是固定的步驟.如果定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,利用定義,計(jì)算比擬和,有時(shí),需要對(duì)函數(shù)進(jìn)展化簡(jiǎn)后再判斷,較為簡(jiǎn)便.如果不好判斷,可以利用奇偶性定義等價(jià)形式進(jìn)展判斷.抽象函數(shù)的奇偶性判斷，采用賦值法，恰當(dāng)對(duì)變量進(jìn)展賦值

8、是關(guān)鍵。假設(shè)證明函數(shù)不具有奇偶性,舉組反例即可.例2：函數(shù)fx的定義域?yàn)镈=x|x0，且滿足對(duì)于任意x1、x2D，有fx1·x2=fx1+fx2.1求f1的值；2判斷fx的奇偶性并證明；3如果f4=1，f3x+1+f2x63，且fx在0，+上是增函數(shù)，求x的取值范圍.解析：1解：令x1=x2=1，有f1×1=f1+f1，解得f1=0.2證明：令x1=x2=1，有f1×1=f1+f1.解得f1=0.令x1=1，x2=x，有fx=f1+fx，fx=fx.fx為偶函數(shù).3解：f4×4=f4+f4=2，f16×4=f16+f4=3.f3x+1+f2x6

9、3即f3x+12x6f64.*fx在0，+上是增函數(shù)，*等價(jià)于不等式組或或或3x5或x或x3.x的取值范圍為x|x或x3或3x5.規(guī)律總結(jié)：解答此題易出現(xiàn)如下思維障礙：1無(wú)從下手，不知如何脫掉“f.解決方法:利用函數(shù)的單調(diào)性.2無(wú)法得到另一個(gè)不等式.解決方法：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上，奇函數(shù)的單調(diào)性一樣，偶函數(shù)的單調(diào)性相反.變式訓(xùn)練2：fx、gx都是奇函數(shù)，fx0的解集是a2，b，gx0的解集是,，那么fx·gx0的解集是( )A.，B.b，a2C.a2，a2D.，bb2，a2解析：fx·gx0或xa2，a2.【答案】C考點(diǎn)二函數(shù)周期性及其應(yīng)用例3設(shè)函數(shù)是定義在R上的以3為

10、周期的奇函數(shù)，假設(shè)，那么的取值范圍是 AB且 C或 D.解析：以3為周期，所以，又是R上的奇函數(shù)，那么，再由，可得，即 ，解之得，應(yīng)選D規(guī)律總結(jié)：不會(huì)恰當(dāng)?shù)刭x值和變量變換是此題做不出或用時(shí)較長(zhǎng)的主要原因.變式訓(xùn)練3：函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，假設(shè)，那么解析函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，即的周期為4，規(guī)律總結(jié)：對(duì)于抽象函數(shù)的求值問(wèn)題，待求的函數(shù)值要和的函數(shù)值產(chǎn)生聯(lián)系，要有聯(lián)系，要用函數(shù)的周期調(diào)整，奇偶性變換.抽象函數(shù)的周期沒(méi)有固定的模式，掌握常見(jiàn)的抽象函數(shù)的周期的一些規(guī)律，對(duì)解題大有裨益：型：周期為；型：周期為；型：周期為.且，那么的周期T=4a；考點(diǎn)三函數(shù)對(duì)稱性及其應(yīng)用例4：對(duì)函數(shù)y=f(x)定義

11、域中任一個(gè)x的值均有f(x+a)=f(ax),(1)求證y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱；(2)假設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都有f(x+2)=f(2x),且方程f(x)=0恰好有四個(gè)不同實(shí)根，求這些實(shí)根之和解析：設(shè)函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)A(x0,y0)，只要證明點(diǎn)A關(guān)于直線x=a對(duì)稱的點(diǎn)B也在函數(shù)圖象上即可.(1)證明 設(shè)(x0,y0)是函數(shù)y=f(x)圖象上任一點(diǎn)，那么y0=f(x0),=a,點(diǎn)(x0,y0)與(2ax0,y0)關(guān)于直線x=a對(duì)稱，又f(a+x)=f(ax),f(2ax0)=fa+(ax0)=fa(ax0)=f(x0)=y0,(2ax0,y0)也在函數(shù)的圖象上，故y=f(x)

12、的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱(2)解 由f(2+x)=f(2x)得y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，假設(shè)x0是f(x)=0的根，那么4x0也是f(x)=0的根，假設(shè)x1是f(x)=0的根，那么4x1也是f(x)=0的根，x0+(4x0)+ x1+(4x1)=8即f(x)=0的四根之和為8變式訓(xùn)練4：函數(shù)為偶函數(shù)，那么函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱.解析：設(shè)由可得函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱.規(guī)律總結(jié)：函數(shù)圖像對(duì)稱性是函數(shù)奇偶性圖像特征的進(jìn)一步拓展，要學(xué)會(huì)從函數(shù)變換角度去理解圖像對(duì)稱性，以及用函數(shù)代換特征去處理函數(shù)對(duì)稱性.函數(shù)的圖象的對(duì)稱本質(zhì)還是點(diǎn)的對(duì)稱，所以證明圖象對(duì)稱問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化到點(diǎn)的

13、對(duì)稱問(wèn)題.需要記住的一些結(jié)論：對(duì)于函數(shù)(),恒成立,那么函數(shù)的對(duì)稱軸是;兩個(gè)函數(shù)與 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.考點(diǎn)四 函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用例5定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),假設(shè)方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個(gè)不同的根,那么-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m>0) 解析：:因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)，滿足,所以,所以,由為奇函數(shù),所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱且,由知,所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù),又因?yàn)樵趨^(qū)間0,2上是增函數(shù),所以在區(qū)間-2,0上也是增函數(shù).如下圖,那么方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個(gè)不同的根,不妨設(shè)由對(duì)稱性知所以變式訓(xùn)練4：設(shè)偶函數(shù)對(duì)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，那么 解析：，,=規(guī)律總結(jié)：恰當(dāng)?shù)刭x值和變量變換得出函數(shù)的周期，結(jié)合周期性和奇偶性所求函數(shù)的值轉(zhuǎn)化到區(qū)間，從而求解。歸納小結(jié)1奇偶性是某些函數(shù)具有的一種重要性