數(shù)學(xué)建模投資收益和風(fēng)險(xiǎn)的模型1

1、安徽建筑大學(xué) 數(shù)學(xué)建模課程 設(shè)計(jì)報(bào)告書(shū)院 系 數(shù)理學(xué)院 專 業(yè) 信息與計(jì)算科學(xué) 班 級(jí) 三班 學(xué) 號(hào) 姓 名 題 目 投資的收益與風(fēng)險(xiǎn) 指導(dǎo)教師 歐劍 一、 設(shè)計(jì)目的過(guò)數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)了解數(shù)學(xué)建模的步驟、方法，學(xué)會(huì)撰寫科技論文，通提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)、興趣和能力。二、 設(shè)計(jì)時(shí)間20 -20 學(xué)年第二學(xué)期第 周三、 設(shè)計(jì)地點(diǎn) 理化樓數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)室四、 設(shè)計(jì)內(nèi)容針對(duì)某一生產(chǎn)、生活實(shí)際問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，通過(guò)數(shù)學(xué)模型的求解，解決這一問(wèn)題。按數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽論文格式撰寫一篇完整的解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模論文。五、 設(shè)計(jì)要求1靈活應(yīng)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)解決各種實(shí)際問(wèn)題。2了解問(wèn)題，明確目的。在建模前，要對(duì)實(shí)際問(wèn)題的背

2、景有深刻的了解，進(jìn)行全面的、深入細(xì)致的觀察。3對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化和假設(shè)。在明確目的、掌握資料的基礎(chǔ)上抓住主要矛盾，舍去一些次要因素，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)睾?jiǎn)化和合理的假設(shè)。4在所作簡(jiǎn)化和假設(shè)的基礎(chǔ)上，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來(lái)刻劃、描述各種量之間的關(guān)系，用表格、圖形、公式等來(lái)確定數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。5要對(duì)模型進(jìn)行分析，即用解方程、圖解、計(jì)算機(jī)模擬、定理證明、穩(wěn)定性討論等數(shù)學(xué)的運(yùn)算和證明，得到數(shù)量結(jié)果，將此結(jié)果與實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行比較，以驗(yàn)證模型的合理性，必要時(shí)進(jìn)行修改，調(diào)整參數(shù)，或者改換數(shù)學(xué)方法。6用已建立的模型分析、解釋已有的現(xiàn)象，并預(yù)測(cè)未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)，以便給人們的決策提供參考。投資收益和風(fēng)險(xiǎn)的模型一 問(wèn)題的描述某公司有數(shù)

3、額為M（較大）的資金，可用作一個(gè)時(shí)期的投資，市場(chǎng)上現(xiàn)有5種資產(chǎn)（）(如債券、股票等)可以作為被選的投資項(xiàng)目，投資者對(duì)這五種資產(chǎn)進(jìn)行評(píng)估，估算出在這一段時(shí)期內(nèi)購(gòu)買的期望收益率（）、交易費(fèi)率()、風(fēng)險(xiǎn)損失率()以及同期銀行存款利率（=3%）在投資的這一時(shí)期內(nèi)為定值如表1，不受意外因素影響,而凈收益和總體風(fēng)險(xiǎn)只受,影響，不受其他因素干擾 ?，F(xiàn)要設(shè)計(jì)出一種投資組合方案, 使凈收益盡可能大, 風(fēng)險(xiǎn)盡可能小.表1投資項(xiàng)目期望收益率風(fēng)險(xiǎn)損失率交易費(fèi)率存銀行300272.41221.62255.24.5232.26.5211.52其中二 問(wèn)題假設(shè)及符號(hào)說(shuō)明2.1 問(wèn)題假設(shè)(1)總體風(fēng)險(xiǎn)可用投資的這五種中最大的

4、一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來(lái)度量；(2)在投資中,不考慮通貨膨脹因素, 因此所給的的期望收益率為實(shí)際的平均收益率；(3)不考慮系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn), 即整個(gè)資本市場(chǎng)整體性風(fēng)險(xiǎn), 它依賴于整個(gè)經(jīng)濟(jì)的運(yùn)行情況, 投資者無(wú)法分散這種風(fēng)險(xiǎn), 而只考慮非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn), 即投資者通過(guò)投資種類的選擇使風(fēng)險(xiǎn)有所分散；(4)不考慮投資者對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)的心理承受能力。2.2 符號(hào)說(shuō)明：購(gòu)買第種資產(chǎn)的資金數(shù)額占資金總額的百分比； ：購(gòu)買第種資產(chǎn)的資金數(shù)額； ：存銀行的金額； ：交易費(fèi)用； ：凈收益； ：總體風(fēng)險(xiǎn)； ：第種投資的凈收益率。 三 模型的分析與建立令交易費(fèi)用 則凈收益為總體風(fēng)險(xiǎn)為 約束條件為可以簡(jiǎn)化約束條件為同時(shí)將代入，得略去M,原問(wèn)題化為雙目

5、標(biāo)決策問(wèn)題: （3.1） 以下設(shè)，否則不對(duì)該資產(chǎn)投資。四 模型的求解4.1 固定使最小的模型固定使最小，將模型（3.1）化為， （4.1）此模型又可改寫為令，表示第種投資的凈收益率，則必大于,否則, 若, 則不對(duì)投資, 因?yàn)閷?duì)該項(xiàng)目投資純收益率不如存銀行, 而風(fēng)險(xiǎn)損失率又大于存銀行。將從小到大排序,設(shè)最大, 則易見(jiàn)對(duì)模型（4.1）的可行解必有.當(dāng)時(shí), 所有資金都存銀行,; 當(dāng)時(shí), 所有資金用于購(gòu)買 , ；當(dāng)時(shí),有如下結(jié)論7。結(jié)論：若0.03<R<，是模型（3.2.2）的最優(yōu)解, 則7。而對(duì)于固定收益使風(fēng)險(xiǎn)最小的模型來(lái)說(shuō)，這結(jié)論也可換句話說(shuō)：在前5項(xiàng)投資總額一定的前提下，各項(xiàng)投資的風(fēng)

6、險(xiǎn)損失相等即時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)最小8。證：設(shè)是滿足的一組解，即。顯然此時(shí)為總體風(fēng)險(xiǎn)。由于前5項(xiàng)投資總額M是一定的，只要改變其中一項(xiàng)的值，便會(huì)導(dǎo)致總體風(fēng)險(xiǎn)增加。（比如說(shuō)將的值增加為會(huì)使得，總體風(fēng)險(xiǎn)顯然增加；反之，若減小的值，必然會(huì)導(dǎo)致另外一項(xiàng)或幾項(xiàng)的值，總體風(fēng)險(xiǎn)自然增加。）因此,當(dāng)時(shí)，可按以下步驟求出最優(yōu)解：1）將（1）式和（2）式消去；2）將代入解出Q；3）由，求出最優(yōu)解。所以，我們算得如下結(jié)果:（1）時(shí)，；（2）時(shí)，；（3）時(shí)， ， ，。事實(shí)上應(yīng)用Lingo軟件可算得如下結(jié)果:表1收益最小風(fēng)險(xiǎn)度投資的資金百分比 （）0.03000.0000 1.0000 0.00000.00000.00000.0

7、0000.00000.04000.00020.9397 0.0104 0.0156 0.0048 0.0113 0.0166 0.05000.0005 0.8793 0.02070.0311 0.0096 0.0226 0.0332 0.06000.0007 0.81900.03110.04670.01440.03390.04980.07000.0010 0.7587 0.0415 0.0622 0.0191 0.0453 0.0664 0.08000.00120.6984 0.0519 0.0778 0.0239 0.0566 0.0830 0.09000.0015 0.6380 0.062

8、2 0.0933 0.0287 0.0679 0.0996 0.10000.00170.5777 0.0726 0.1089 0.0335 0.0792 0.1162 0.11000.0020 0.5174 0.0830 0.1245 0.0383 0.0905 0.1328 0.12000.00220.4571 0.0933 0.1400 0.0431 0.1018 0.1494 0.13000.0025 0.3967 0.1037 0.1556 0.0479 0.1131 0.1660 0.14000.00270.3364 0.1141 0.1711 0.0527 0.1245 0.182

9、5 0.15000.0030 0.2761 0.1245 0.1867 0.0574 0.1358 0.1991 0.16000.00320.2158 0.1348 0.2023 0.0622 0.1471 0.2157 0.17000.0035 0.1554 0.1452 0.2178 0.0670 0.1584 0.2323 0.18000.00370.0951 0.1556 0.2334 0.0718 0.1697 0.2489 0.19000.0040 0.0348 0.1660 0.2489 0.0766 0.1810 0.2655 0.20000.00460.0000 0.1897

10、 0.2846 0.0876 0.1097 0.3036 0.21000.0062 0.00000.2589 0.3884 0.1195 0.00000.2132 0.22000.00930.0000 0.3858 0.4160 0.1781 0.00000.00000.23000.0131 0.00000.5471 0.1800 0.2525 0.00000.00000.24000.01700.00000.7084 0.00000.2722 0.00000.00000.25000.0209 0.0000 0.8701 0.00000.1160 0.00000.00000.26/1.010.0

11、238 0.00000.99010.00000.00000.00000.00004.2 固定Q使R最大的模型固定Q使R最大，將模型（3.2.1）化為， （3.2.3）對(duì)于每一個(gè)Q，用模型（3.2.3） 都能求出R , 由凈收益率, 直觀上想到越大,應(yīng)盡量大,這種想法是正確的,可將其寫為如下結(jié)論。結(jié)論7：設(shè)是模型（3.2.3）的最優(yōu)解, 若 , ，則。證明：反證法。假設(shè)，而。選取充分小的正數(shù)，使得，。令，當(dāng)時(shí)，令，則，且，。則才是最優(yōu)解，因此不是模型（3.2.3）的最優(yōu)解。此處矛盾，則結(jié)論成立，證畢。由此結(jié)論, 我們可將從大到小排序, 使最大的k 應(yīng)盡量滿足, 若還有多余資金, 再投資次大的,

12、。對(duì)于不同的Q ,會(huì)有不同的投資方案, 我們可以算出Q的臨界值, 從而確定各項(xiàng)目的投資值。因此，設(shè) , 則可用下面的方法算出各臨界值，。只有一種投資時(shí), 。當(dāng)有兩種投資時(shí), 將，代入，得。同理可得：，于是得最優(yōu)解：當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，。當(dāng)然，我們也可以換個(gè)角度來(lái)考慮上面這個(gè)模型。為了能夠給不同風(fēng)險(xiǎn)承受能力的投資者提供某種風(fēng)險(xiǎn)水平下的最優(yōu)投資組合的決策方案，我們必須確定最優(yōu)收益值和最小風(fēng)險(xiǎn)度的值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。因此，我們將模型（3.2.3）改寫成如下形式： ，為此編寫MATLAB程序（見(jiàn)附錄），從風(fēng)險(xiǎn)度開(kāi)始，以每次增加0.001的風(fēng)險(xiǎn)度進(jìn)行搜索5。根據(jù)附錄中程序

13、一，最優(yōu)收益值和最小風(fēng)險(xiǎn)度以及投資額分配之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系計(jì)算結(jié)果列表如下：風(fēng)險(xiǎn)度最優(yōu)收益投資的資金百分比 （）00.03001.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00100.07020.75770.04170.06250.01920.04550.06670.00200.11030.51530.08330.12500.03850.09090.13330.00300.15050.27300.12500.18750.05770.13640.20000.00400.19070.03060.16670.25000.07690.18180.26670.00500.204

14、40.00000.20830.31250.09620.02850.33330.00600.20920.00000.25000.37500.11540.00000.23960.00700.21300.00000.29170.43750.13460.00000.11620.00800.21670.00000.33330.49270.15380.00000.00000.00900.21930.00000.37500.43170.17310.00000.00000.01000.22190.00000.41670.37080.19230.00000.00000.01100.22450.00000.458

15、30.52660.00000.00000.00000.01200.22710.00000.50000.24890.23080.00000.00000.01300.22970.00000.54170.18790.25000.00000.00000.01400.23220.00000.58330.12690.26920.00000.00000.01500.23480.00000.62500.06600.28850.00000.00000.01600.23740.00000.66670.00510.30770.00000.00000.01700.24000.00000.70830.00000.272

16、30.00000.00000.01800.24260.00000.75000.00000.23210.00000.00000.01900.24510.00000.79170.00000.19180.00000.00000.02000.24770.00000.83330.00000.15150.00000.00000.02100.25030.00000.87500.00000.11120.00000.00000.02200.25290.00000.91670.00000.07100.00000.00000.02300.25550.00000.95830.00000.03070.00000.000

17、00.02400.25740.00000.99010.00000.00000.00000.00000.02500.25740.00000.99010.00000.00000.00000.00000.09900.25740.00000.99010.00000.00000.00000.0000從上表可以看出，風(fēng)險(xiǎn)越大，收益也越大，冒險(xiǎn)的投資者可能會(huì)集中投資，而保守的投資著者則會(huì)盡量分散投資。但是，在風(fēng)險(xiǎn)度從增長(zhǎng)到過(guò)程中，風(fēng)險(xiǎn)增加很少時(shí)，收益增加也很快，而風(fēng)險(xiǎn)度在之后，風(fēng)險(xiǎn)增加很大時(shí)而收益卻增加的很緩慢。由于在風(fēng)險(xiǎn)度從之后，最優(yōu)收益已經(jīng)達(dá)到最大，不再增加，所以對(duì)于一般投資者來(lái)說(shuō)，選擇時(shí)的安排才為最優(yōu)

18、投資組合方案。4.3.3 使R/Q最大或Q/R最小的模型按照收益風(fēng)險(xiǎn)最大原則, 可取模型， 由于，因而取時(shí)，=+。當(dāng)然，也可取模型，同上，由于，因而取時(shí)，=0，從而可知, 全部錢存銀行是最優(yōu)解。對(duì)于此問(wèn)題, 其他投資的收益與風(fēng)險(xiǎn)損失率都不影響該最優(yōu)解, 故這種模型不夠好。4.3.4 偏好系數(shù)模型由偏好系數(shù)法, 我們選取偏好系數(shù),建立模型， 具體數(shù)據(jù)可應(yīng)用參數(shù)規(guī)劃法進(jìn)行計(jì)算。權(quán)重r最小風(fēng)險(xiǎn)度投資的資金百分比 （）0,0.72000.02380.00000.99010.00000.00000.00000.00000.7210,0.79200.00790.00000.33090.49630.1527

19、0.00000.00000.7930,0.90700.00520.00000.21490.32230.09920.00000.34380.9090,0.97500.00410.00000.17190.25790.07940.18760.27510.9760,10.00001.00000.00000.00000.00000.00000.0000附錄一模型一Lingo 語(yǔ)句min=y;0.03*x0+(0.27-0.01)*x1+(0.22-0.02)*x2+(0.25-0.045)*x3+(0.23-0.065)*x4+(0.21-0.02)*x5=0.03;x0+1.01*x1+1.02*x2

20、+1.045*x3+1.065*x4+1.02*x5=1;0.024*x1<=y;0.016*x2<=y;0.052*x3<=y;0.022*x4<=y;0.015*x5<=y;模型一Matlab 程序>> R=0.03>> while R<0.26/1.01;C= 0 0 0 0 0 0 1;A= 0 0.024 0 0 0 0 -1;0 0 0.016 0 0 0 -1;0 0 0 0.052 0 0 -1;0 0 0 0 0.022 0 -1;0 0 0 0 0 0.015 -1;B= 0;0;0;0;0;Aeq= 0.03 0

21、.26 0.2 0.205 0.165 0.19 0;1 1.01 1.02 1.045 1.065 1.02 0;Beq= R;1;Vlb= 0;0;0;0;0;0;0;% or Vlb= zeros(7,1);Vub= ;x,fval= linprog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub);RQ=fval x=x'plot(R, Q, 'm.')axis(0 0.3 0 0.03)xlabel('收益R') ylabel('最小風(fēng)險(xiǎn)度Q') title('最小風(fēng)險(xiǎn)度Q隨收益R的變化趨勢(shì)圖')hold onR=R

22、+0.01;grid onendR=0.26/1.01;C= 0 0 0 0 0 0 1;A= 0 0.024 0 0 0 0 -1;0 0 0.016 0 0 0 -1;0 0 0 0.052 0 0 -1;0 0 0 0 0.022 0 -1;0 0 0 0 0 0.015 -1;B= 0;0;0;0;0;Aeq= 0.03 0.26 0.2 0.205 0.165 0.19 0;1 1.01 1.02 1.045 1.065 1.02 0;Beq= R;1;Vlb= 0;0;0;0;0;0;0;% or Vlb= zeros(7,1);Vub= ;x,fval= linprog(C,A,

23、B,Aeq,Beq,Vlb,Vub)程序二模型二Matlab 程序>> Q=0>> while (1.1-Q)>1 % or Q<0.1;C= -0.03 -0.26 -0.20 -0.205 -0.165 -0.19;A= 0 0.024 0 0 0 0;0 0 0.016 0 0 0;0 0 0 0.052 0 0;0 0 0 0 0.022 0;0 0 0 0 0 0.015;B= Q;Q;Q;Q;Q;Aeq= 1 1.01 1.02 1.045 1.065 1.02;Beq= 1;Vlb= 0;0;0;0;0;0;% or Vlb= zeros(5,

24、1);Vub= ;x,fval= linprog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub);QR=-fval x=x'plot(Q,R,'m.')axis(0 0.1 0 0.5)xlabel('風(fēng)險(xiǎn)度Q') ylabel('最優(yōu)收益R') title('最優(yōu)收益R隨風(fēng)險(xiǎn)度Q的變化趨勢(shì)圖')hold onQ=Q+0.001;grid onenda=0;while(1.1-a)>1c=-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185;Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065;beq=1;

25、A=0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026;b=a;a;a;a;vlb=0,0,0,0,0;vub=;x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=x'Q=-valplot(a,Q,'.')axis(0 0.1 0 0.5)hold ona=a+0.001;end xlabel('a'),ylabel('Q')模型三Lingo 語(yǔ)句， max=(1-0.2)* (0.03*x0+(0.27-0.01)*x1+(0.22-0.02)*x2+(0.25-0.045)*x3+(0.23-0.065)*x4+(0.21-0.02)*x5)-0.8*y);x0+1.01*x1+1.02*x2+1.045*x3+1.065*x4+1.02*x5=1;0.024*x1<=y;0.016*x2<=y;0.052*x3<=y;0.022*x4<=y;0.015*x5<=y;程序三模型三Matlab 程序r=0>> while r<1;C= -0.03*(1-r