四邊形證明題及綜合題

1、四邊形證明題及綜合題1、：如圖，在正方形 ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上，/ BAE = / DAF . 1求證：BE = DF ；2聯(lián)結(jié)AC交EF于點(diǎn)0,延長(zhǎng)0C至點(diǎn)M，使0M = 0A,聯(lián)結(jié)EM、FM.2、如圖8,梯形A膽門(mén)中，初/ ,求證：四邊形AEMF是菱形.卜：、和分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)押在1求證：四邊形是平行四邊形;2聯(lián)結(jié)加'，假設(shè)'平分/皿°, 求證：四邊形拠右是矩形.c3、如圖，在等腰梯形 ABCDL/ C=60 ° , AD/ BC 且 AD=AB=DC E、F 分別在 AD DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且 DE=CF AF BE交于 點(diǎn)P。1求

2、證：AF=BE2請(qǐng)猜測(cè)/ BPF的度數(shù)，并證明你的結(jié)論。4、如圖，在矩形 ABCDK BMILAC DNLAC M N是垂足. 1求證：AN=CM2如果AN=MN2，求矩形 ABC啲面積.（即）5.如圖.在平行四邊形加C。中，。為對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，點(diǎn)CE = -£C蟲(chóng)為線(xiàn)段肚延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，且2.過(guò)點(diǎn)恵作曲/5，交O于點(diǎn)亦,聯(lián)結(jié) 1求證：爐/處；2如果梯形”必r是等腰梯形，判斷四邊形"膠刃的形狀，并給出證明.6、如圖，在正方形 ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊 AB AD的中點(diǎn)，DE與CF相交于G, DE CB的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)H,點(diǎn)M是CG的中點(diǎn).求證：1BM/GH2BML CF.

3、7:如圖，AE / BF, AC平分/ BAD交BF于點(diǎn)C BD平分/ ABC交AE于點(diǎn)D,聯(lián)結(jié)CD求證：四邊形 ABCD1菱形.&如圖，在正方形中，點(diǎn)血、卄 分別是邊加、*"的中點(diǎn),上城與相 交于“，緲、人的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)丄, 點(diǎn)M是苗的中點(diǎn).求證.i（2）丄 CF9. :女口圖，在梯形 ABCD 中，AD/BC, AB=CD,點(diǎn) E、F 在邊 BC 上, BE=CF, EF=AD .求證：四邊形AEFD是矩形.11.第11題國(guó)】:如圖，在梯形 ABCD 中，AD/BC, BC=2AD ACL AB,C10.如圖，在 口ABCD中，E、F分別為邊 ABCD勺中點(diǎn)，BD是對(duì)角

4、線(xiàn)，過(guò) A點(diǎn)作AG DB交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) G1求證：DE / BF;2假設(shè)/ G=Q,求證：四邊形 DEBF1菱形.點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，DE的延長(zhǎng)線(xiàn)與邊 BC相交于點(diǎn)F.求證：四邊形AFCD1菱形.12. 此題共2小題，每題6分，總分值12分:如圖，在梯形 ABCD中, AD/ BC 點(diǎn) E、F在邊 BC上, DE/ AB AF / CD 且四 邊形AEFD是平行四邊形.1試判斷線(xiàn)段 AD與 BC的長(zhǎng)度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；2現(xiàn)有三個(gè)論斷： AD = AB/ B +/CMn=90°/ B = 2 / C.請(qǐng)從上述三個(gè)論斷中選擇一個(gè)論斷作為條件，證明 四邊形AEFD是菱

5、形.13. :如圖，矩形紙片 ABCD的邊AD =3, CD=2，點(diǎn)P是邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)不與點(diǎn) C 重合，把這張矩形紙片折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)P的位置上，折痕交邊 AD與點(diǎn)M折痕交邊BC于點(diǎn)N .1寫(xiě)出圖中的全等三角形設(shè)CF=H , AM=y，寫(xiě)出F與工的函數(shù)關(guān)系式；2試判斷/ BMP是否可能等于90° .如果可能，請(qǐng)求出此時(shí)CP的長(zhǎng)；如果不可能，請(qǐng)說(shuō) 明理由14、邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，P是對(duì)角線(xiàn)AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn) A、C不重合， 過(guò)點(diǎn)P作PE丄PB , PE交射線(xiàn)DC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF丄AC垂足為點(diǎn)F.1當(dāng)點(diǎn)E落在線(xiàn)段CD上時(shí)如圖10， 求證：PB=PE ; 在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)

6、程中，PF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？假設(shè)不變，試求出這個(gè)不變的值,假設(shè)變化，試說(shuō)明理由；2當(dāng)點(diǎn)E落在線(xiàn)段DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，在備用圖上畫(huà)出符合要求的大致圖形，并判斷上述1中的結(jié)論是否仍然成立只需寫(xiě)出結(jié)論，不需要證明；3在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，"PEC能否為等腰三角形？如果能，試求出AP的長(zhǎng)，如果不能，試說(shuō)明理由.15、如圖，直線(xiàn)與必軸相交于點(diǎn)丿，與直線(xiàn)”一相交于點(diǎn)戸.(1) 求點(diǎn)廠的坐標(biāo)(2) 請(qǐng)判斷("X的形狀并說(shuō)明理由動(dòng)點(diǎn)蟲(chóng)從原點(diǎn)柑出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著"'尸 山的路線(xiàn)向點(diǎn)X勻速運(yùn) 動(dòng)蟲(chóng)不與點(diǎn)°、丄重合，過(guò)點(diǎn)蟲(chóng)分別作費(fèi)丄用軸于穴嚴(yán)1尸軸于.設(shè)運(yùn)

7、動(dòng)'秒時(shí)，矩形曲"與 “陽(yáng)重疊局部的面積為S .求"與*之間的函數(shù)關(guān)系式.d®=丿/J = 4 .近是直 聯(lián)結(jié)母F .1所示1假設(shè)點(diǎn)世是線(xiàn)段丿訂上一點(diǎn)與點(diǎn)"、和不重合，如圖 求證：A貞并寫(xiě)出此函數(shù)的定義域. 設(shè)和忙一1，興出的面積為$ ,求$關(guān)于x的函數(shù)解析式，2直線(xiàn)丿打上是否存在一點(diǎn) 戸，使厶 是厶 面積的3倍，假設(shè)存在，直接寫(xiě)出門(mén)用 的長(zhǎng)，假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.17. : O為正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，點(diǎn) E在邊CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，聯(lián)結(jié) EQ OF丄OE交BA 延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)EF如圖4。(1) 求證：E(=FQ(2) 假設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為

8、2, OE=2OA求BE的長(zhǎng)；18. 此題總分值10分，第1小題3分，第2小題4分，第3小題3分如圖，在正方形 ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且 EA丄CF,垂足為HAE與CD相交于點(diǎn)G1求證：A(=CF;2當(dāng)點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)時(shí)如圖 1，求證：FC=FE3如果正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為2,當(dāng)EF=EC時(shí)如圖2，求DG的長(zhǎng).答案1.證明：1：正方形 ABCD , AB=AD/ B= / D=90°2 分/ BAE = Z DAF ABEA ADF1 分 BE = DF2 分2t正方形 ABCD ,/ BAC= Z DAC1 分Z BAE =Z DAF/ EAO Z FA

9、O1 分/ ABEA ADF AE = AF EO=FO AO 丄 EF OM = OA 四邊形AEMF是平行四邊形/ AO丄EF 四邊形 AEMF是菱形2. 1證明：聯(lián)結(jié)EG梯形*斥如中，少J，且也、&分別是肋、的中點(diǎn),1分2分1分1分 EG/BC,且閃2分RF = -(ADBC)又. EGBF.1分四邊形拠町是平行四邊形.2分2證明：設(shè)AF與EG交于點(diǎn)Q/ EG/ AD / DAGZ AGE平分DAGZ GAO Z GAOZAGE AO=GO .2分.四邊形頤？是平行四邊形， AF=EG四邊形個(gè)暫是矩形2分3.證明：1：梯形 ABCD!等腰梯形，AD/ BC / BAE= Z AD

10、F1分/ A= DC AE=DF1分/ BA=AD BAEA ADF , BE=AF .2 丨猜測(cè)Z BPF= 120° 由1知厶 BAE ADF , / ABE= Z DAF . Z BPF= Z ABE+ Z BAP= Z BAE. 而 AD / BC, Z C= Z ABC=60° =120°1分1分1分1分1分 Z BPF = Z BAE = 120° 1 分4、證：1t四邊形ABCD是矩形， AD/ BC AD=BC Z DACZ BCA又 DNL AC BML AC, Z DNAZ BMC " DAN" BCM-3分AN=

11、CM 1 分2聯(lián)結(jié)BD交AC于點(diǎn)O AN= NM=2, AC= BD =6,又四邊形 ABCD是矩形，:.AO=DO3,在"ODN中, OD3, ON=1,Z ON° ,. dn=J血-鎖訪,矩形ABCD勺面積 "mN 12 .乜.21分分（第T題怪1）5.解：1方法1 :延長(zhǎng)的1交于C 如圖1. 1分在平行四邊形"脫叩J中，川叔：，"丿J 井C./ d ,陶 / d ,四邊形MEG是平行四邊形.又.CE = -SC2?AD=SC?KG二CE? SC 二 ' AD 二GD 1 分. AD H BCZfiCF.在丄和 S7F中，陽(yáng) ZAD

12、C=ZEOF CE = DG. , , ,. CEP aas 二囚F 四邊形"必7是平行四邊形,OA = OD AG=CE 1分耳""I-方法2:將線(xiàn)段的中點(diǎn)記為&，聯(lián)結(jié)OG 如圖2. 1分.四邊形ARCD是平行四邊形，.處/切.1分EF hCA.Z<K!G = ZFECGC = CE在二OGC和中,"曲一"皿，心：心Z«TC = ZreE?. OGC 工八 W7E asaOG = FC又兀/CF,四邊形曲，是平行四邊形.OE / <7（；其他方法，請(qǐng)參照上述標(biāo)準(zhǔn)酌情評(píng)分2如果梯形 加酹 是等腰梯形，那么四邊形 曲

13、切 是矩形.°F / CE ,貯/ O ,.四邊形況費(fèi)是平行四邊形.EFOC又梯形和恥川是等腰梯形，陽(yáng)二必'O8 = OC備注：使用方法 2的同學(xué)也可能由 皿托當(dāng)HCE找到解題方法；使用方法 1的同學(xué)也可能由四邊形鼻處石是平行四邊形找到解題方法 四邊形血CD是平行四邊形，.屁-友疋,恥-2加6證明：1t在正方形 ABCD中，AD/ BC / A=/ HBE / ADE/1 分1分/£_ 肋1分平行四邊形/朋血是矩形./ AE=BEADE BHE 1 分 BH=AD=BC 1 分/ CMGM 二 BM/ GH 1 分2：在正方形 ABCD 中，AB=AD=CD / A

14、=Z ADC90O,1 1又 DF=2 AD AE=AB - AE=DF. AEDA DFC 1 分/ ADE/ DCF 1 分/ ADE/ GDC90o, / DCF+/GDC90o./ DGC90o.1 分 / BMT GH / BMG/ DGC90o,即卩 BML CF 1 分7、證明：T AC平分/ BAD / BAC= / CAD又/ AE / BF,/ BCA= / CAD. / BAG / BCA. AB=BC.同理可證AB=AD AD=BC.又 AD / BC,四邊形ABCD1平行四邊形.-1分 又 AB=BC , ABCD菱形8. 證明：1.正方形"骯:門(mén)1'

15、;丿：是“疝的中點(diǎn)MZAED=ZBEHaAEDBEH1'zacF+ZGDisa0£CSH=9!F1'T “是f的中點(diǎn) 幾"”'BMf/WBM9. 證法一：在梯形 ABCD 中，AD/ BC,又：EF=AD四邊形AEFD是平行四邊形.1分 AD DF, / AEF=Z DFC 1 分 AB=CD / B=Z C. 1 分又 BE=CF,ABEA DCF 1 分/ AEB/ DFC 1 分/ AEB/AEF 1 分/ AEB/AEF=180o, / AEF=90o. 1 分四邊形AEFD是矩形.1分證法二：聯(lián)結(jié)AF、DE 1分在梯形 ABCD 中，AD/

16、 BC 又T EF=AD四邊形 AEFD是平行四邊形.1分 AB=CD / B=/ C. 1 分/ BE=CF BEfEF=CF+EF,即 BF=CE 1 分 ABi DCE 1 分 AF=DE 2 分四邊形AEFD是矩形.1分10、 證明：1ABCD , AB/ CD AB= CtD-1分1 1E、F分別為 AB CD的中點(diǎn)，二 DF= 2DC BE= 2ABDF/BE,DF=BE1分四邊形DEBF為平行四邊形DE/BF-1 分證明：T AG/ BD / G=/ DBC= 90°, DBC為直角三角形-1分又-F為邊 CD的中點(diǎn). BF= 2DC= DF-1分又四邊形 DEBF為平

17、行四邊形，四邊形DEBF1菱形-1 分11.證明：在梯形 ABCD中，AD/ BC /:DAE/ FAE /【ADE / CFE1分又 AE=EC ADEA CFE 1 分 AD=FC 1 分四邊形AFCD是平行四邊形.1分I/ BG2AC, FC=AD=Z BC 1 分1/ ACL AB AF=2 BC 1 分 AF=FC 1 分四邊形AFCD是菱形.1分12. 1解：線(xiàn)段AD與BC的長(zhǎng)度之間的數(shù)量為： 必. 1分證明： AD/ BC DE/ AB 四邊形 ABED是平行四邊形. AD= BE. 2 分同理可證，四邊形 AFCD1平行四邊形即得AD= FC1分又 四邊形AEFD是平行四邊形，

18、AD= EF. 1分 AD= BE= EF= FC恥. 1 分2解：選擇論斷作為條件. 1分證明： DE/ AB / B = / DEC1 分/ B +/C = 90° / DEC+Z C = 90°即得 Z EDC= 90° 2 分又 EF= FC DF= EF. 1 分四邊形AEFD是平行四邊形， 四邊形AEFD是菱形.1分13.同理1" MBN 6 MPN" MBN 6 MPN MB=MP ,他矩形 ABCD AD=CD (矩形的對(duì)邊相等 Z A= Z D=90 (矩形四個(gè)內(nèi)角都是直角)/ AD=3, CD=2, CP=x, AM=y D

19、P=2-x, MD=3-yRt zd ABM 中，MS應(yīng)宀冶44MP2 =AfD3+«J3 =(3-jf)3+(2-i)3 y2 +斗=(37尸斗(2_©債i3 -4n-9y-T3當(dāng)zaaff=90°當(dāng)CMP二9(尸時(shí),可證甩 AM=CP AB=DM .一丄丿一1當(dāng) CM=1 時(shí)， ZiMP=MT14. 1證：過(guò)P作MNLAB交AB于點(diǎn)M交CD于點(diǎn)N正方形 ABCD , PM=AM MN=AB從而MB=PN2分 PMB2A PNE 從而 PB=PE2分解：PF的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化,設(shè)0為AC中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PO正方形 ABCD , BOX AC1分從而/ PBO/ EPF

20、1分 P0B2A PEF, 從而 PF=BO 12分2圖略，上述1中的結(jié)論仍然成立； 3當(dāng)點(diǎn)E落在線(xiàn)段CD上時(shí)，/ PEC是鈍角，從而要使"PEC為等腰三角形，只能 EP=EC1分這時(shí)，PF=FC，丹“門(mén)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，與不符。當(dāng)點(diǎn)E落在線(xiàn)段DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，/ PCE是鈍角，從而要使"PEC為等腰三角形，只能 CP=CE 1分1分1分1分c CP=RH-PC=設(shè) AP=x 那么 ! T，,廠5又，解得 x=1.綜上，AF=1時(shí)，"PEC為等腰三角形y =吋靈暮肛何1分15.解：1解得:點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,1'2當(dāng)F 。時(shí)，亶點(diǎn)A的坐標(biāo)為4, 0QF二（2訂

21、（2間=4比二 J（2一帀省一酣二 4OA=OP=PA小“是等邊三角形3當(dāng) 0v w 4 時(shí),I 當(dāng) 4v F V 8 時(shí)，1S=-e4j3t-T16. 1證明：在皿上截取AG- AR，聯(lián)結(jié)敬7 . 山強(qiáng)=ZAEG.又/ A= 90°,/ A+Z AGE3-Z AEG= 180° / AGE= 45° . Z BGE= 135° . Q il BC . Z C+Z D= 180 ° .又 tZ C= 45° . Z D= 135° .Z BGE=Z D.AUAD, AG=AE 處"/Z BEF= 90°

22、.Z A+Z ABEZ AEB= 180° ,Z AEBZ BEF+Z DEF= 180 ° , ZA= 90° . Z ABE=Z DEF1*關(guān)于T的函數(shù)解析式為：此函數(shù)的定義域?yàn)椋?存在DE一2±25I當(dāng)點(diǎn)趙在線(xiàn)段HD上時(shí)，2±2.5 負(fù)值舍去. n當(dāng)點(diǎn)丈在線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，業(yè) 上丄"負(fù)值舍去 川當(dāng)點(diǎn)為在線(xiàn)段0"延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，1U丄2 DK的長(zhǎng)為2厲一 2、2亦+ 2或10±2517、 1證明：T ABCD是正方形，對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn) O, AO=BO , AC 丄 BD , 1 分 Z OAB= Z OBA , Z OA