圓錐曲線焦點(diǎn)三角形和焦點(diǎn)弦性質(zhì)

1、圓錐曲線焦點(diǎn)三角形和焦點(diǎn)弦性質(zhì)的探討數(shù)學(xué)系20021111班 朱家慶 指導(dǎo)教師 向長(zhǎng)福摘 要：圓錐曲線是現(xiàn)行高中解析幾何學(xué)的重要內(nèi)容之一，且圓錐曲線知識(shí)既是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，又是難點(diǎn)，因而成為高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容。而圓錐曲線的主要內(nèi)容之一是過圓錐曲線焦點(diǎn)的弦或直線的有關(guān)問題，學(xué)生在求解此類題目時(shí)，常常感到無從下手。為解除這種困惑，在全面研究了高中數(shù)學(xué)教材及要求的基礎(chǔ)上，通過分析、推導(dǎo)的方法，文章對(duì)橢圓焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)，雙曲線焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)及圓錐曲線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)進(jìn)行了研究和探討，得出圓錐曲線焦點(diǎn)三角形的五條基本性質(zhì)，以便使學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)有一個(gè)更全面、更系統(tǒng)、更深刻的了解，從而進(jìn)一步提高運(yùn)用這些性質(zhì)

2、去解決相關(guān)題目的數(shù)學(xué)能力和應(yīng)用能力。關(guān)鍵詞：圓錐曲線；焦點(diǎn)三角形；性質(zhì)；焦點(diǎn)On the Properties of Conic Focal Point Triangle and Focal Point StringAbstract: The cone curve, as an important part of content of analytical geometry in present high school, is rated not only as a key point but also a difficulty in mathematics teaching in senio

3、r high school, and so it becomes a key examination point in the college entrance examination. The most important content of cone curve is the problems concerning the string or straight line which passes through the conic focal point. Faced with this kind of questions, some students do not always kno

4、w what to begin with. To relieve their confusion, this paper, on the basis of a thorough study of the mathematical teaching material for high schools and by means of analysis and deduction, probes into the nature of ellipse focal point triangle, the nature of hyperbolic curve focal point triangle an

5、d the nature of conic focal point string, and points out five basic properties of the conic focal point triangle. These properties can help students further understand the conic knowledge systematically and improve their mathematics competence and application ability in solving mathematical problems

6、.Key words: cone curve; focal point triangle; properties; focal point1引言圓錐曲線是現(xiàn)行高中解析幾何學(xué)的重要內(nèi)容之一，且圓錐曲線知識(shí)既是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，又是難點(diǎn)而圓錐曲線的主要內(nèi)容之一是過圓錐曲線焦點(diǎn)的弦或直線的相關(guān)問題.在求解這類問題時(shí)，許多學(xué)生常常感到束手無策，部分學(xué)生由于計(jì)算量大的繁鎖，產(chǎn)生厭學(xué)數(shù)學(xué)的情緒為了解除這種困惑，培養(yǎng)或提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生掌握一定的解題方法或數(shù)學(xué)思想是很必要的在數(shù)學(xué)中，我們常常是利用性質(zhì)去討論問題，因此，文章首先探討圓錐曲線焦點(diǎn)三角形及焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，然后再討論這些性質(zhì)的應(yīng)用.圓錐曲線

7、焦點(diǎn)三角形及焦點(diǎn)弦具有不少性質(zhì)，許多教師或?qū)＜乙炎鲞^研究.文獻(xiàn)2主要是對(duì)橢圓焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)進(jìn)行研究，而文獻(xiàn)7主要是對(duì)雙曲線焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)進(jìn)行研究.文獻(xiàn)2、7都是孤立地進(jìn)行探討，缺乏系統(tǒng)性，顯得單一.文獻(xiàn)1、10主要圍繞焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓將橢圓焦點(diǎn)三角形與雙曲線焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)結(jié)合起來探討，彌補(bǔ)了文獻(xiàn)2、7的不足之處.文獻(xiàn)9主要是探討圓錐曲線焦點(diǎn)弦的幾何特征.作為一個(gè)有機(jī)整體的圓錐曲線焦點(diǎn)三角形，探求其所具有的共同特征的性質(zhì)應(yīng)該是一件非常有意義的事情.在對(duì)文獻(xiàn)進(jìn)行分析、研究的基礎(chǔ)上，文章主要是結(jié)合高中數(shù)學(xué)課程的要求，對(duì)橢圓焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)，雙曲線焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)及圓錐曲線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)作一定的

8、探討，將其系統(tǒng)地歸納集中或進(jìn)行了一定的擴(kuò)展，讓學(xué)生對(duì)其有一個(gè)更全面、更深刻的了解，從而進(jìn)一步提高學(xué)生運(yùn)用這些性質(zhì)去解決相關(guān)問題的數(shù)學(xué)素質(zhì)和應(yīng)用能力2圓錐曲線焦點(diǎn)三角形的定義及性質(zhì)圓錐曲線上一點(diǎn)與其兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形叫做圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形1.2.1 橢圓焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，及橢圓上任意一點(diǎn)（除長(zhǎng)軸上兩個(gè)端點(diǎn)外）為頂點(diǎn)的，叫做橢圓的焦點(diǎn)三角形2.設(shè)=，=，=，橢圓的離心率為，則有以下性質(zhì)：性質(zhì)1:.證明：在中，由余弦定理，有 整理，得 例1 如圖：、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，是面積為1的正三角形，求的值分析：此題按常規(guī)思路是從入手，即，求得所以點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，.由于點(diǎn)在

9、橢圓上，有 解此方程組就可得到的值但這涉及到解二元二次方程組，計(jì)算量很大，非常麻煩.若用性質(zhì)1求解可使運(yùn)算得以簡(jiǎn)化解：連接則， 有性質(zhì)2:證明：由性質(zhì)1得 例2 已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上任一點(diǎn)，且，求的面積分析：如果設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)在已知橢圓上且，利用這兩個(gè)條件，列出關(guān)于,的兩個(gè)方程，解出,再求的面積，這種方法，運(yùn)算量大且過程繁雜，須另尋捷徑知道，可以直接利用性質(zhì)2求解，使運(yùn)算量簡(jiǎn)化.解： 例3:已知點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，且.求證：.證明： 例4:點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，以點(diǎn)以及焦點(diǎn)、為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，求點(diǎn)的坐標(biāo)分析：要求點(diǎn)的坐標(biāo)，不妨設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由點(diǎn)在已知橢圓上和的面積等于1，可列兩

10、個(gè)方程，解方程可得點(diǎn)的坐標(biāo)此題也可在例3的基礎(chǔ)上進(jìn)行求解3解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,則有 把代入得性質(zhì)3 :.證明：由正弦定理，有 即 . 因?yàn)?，所?.當(dāng)點(diǎn)P在長(zhǎng)軸上的端點(diǎn)時(shí)，這時(shí)，不存在，因此，4.性質(zhì)4:離心率 證明：由正弦定理，有例5 （2004年福建高考題）已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若是正三角形，求這個(gè)橢圓的離心率5. 分析：由是正三角形可知，根據(jù)橢圓的第一定義可求得.再由可求得離心率e.若用性質(zhì)4解題，求解更簡(jiǎn)便解：根據(jù)已知條件有（如圖） 性質(zhì)5: .證明：由正弦定理，有 .例6:如圖，是橢圓上一點(diǎn)，、是焦點(diǎn)，已知求橢圓的離心率6分析：知道我們可以直接利

11、用性質(zhì)5解題解：由性質(zhì)5有 化簡(jiǎn)，得2.2 雙曲線焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)以雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)、及雙曲線上任意一點(diǎn)（除實(shí)軸上兩個(gè)端點(diǎn)外）為頂點(diǎn)的，叫做雙曲線的焦點(diǎn)三角形7.設(shè)=，=，=，雙曲線的離心率為，則有以下性質(zhì)：性質(zhì)1:證明：在中，由余弦定理，有 由得 例1:設(shè)和為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上且滿足，求的面積.解： .性質(zhì)2 :.證明：由性質(zhì)1得 .例2:已知點(diǎn)（）、（），動(dòng)點(diǎn)滿足.當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是時(shí)，若令，求的值解：由雙曲線的第一定義可知點(diǎn)P的軌跡方程為則.所以 例3:設(shè)點(diǎn)是雙曲線上任一點(diǎn)，且 求證：分析：此題根據(jù)已知條件列方程求解，計(jì)算量大且過程繁瑣，應(yīng)另外尋求解法，由于和的高相等，不妨從的面

12、積入手進(jìn)行求解.證明： 性質(zhì)3:離心率 （）.證明：由正弦定理，有 即 又 .例4:（2002年上海高考題） 如圖，已知、為雙曲線的焦點(diǎn)，過作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)，且.求雙曲線的漸近線方程分析：由于雙曲線的漸近線方程為，若能求出,的值，漸近線方程就可確定.在此題中，我們不易求出,的值，我們將作一下變形，若能求出e的值，則漸近線方程就求出知道，利用性質(zhì)4可求e.解： 性質(zhì)4 :（1）當(dāng)P點(diǎn)在雙曲線右支上時(shí) （2）當(dāng)P點(diǎn)在雙曲線左支上時(shí) 證明：（1）當(dāng)P點(diǎn)在雙曲線右支上時(shí) 由正弦定理，有 例5:（2005年福建高考題）已知、是雙曲線的兩焦點(diǎn)，以線段為邊作正三角形，若邊的中點(diǎn)在雙曲線上，求雙

13、曲線的離心率8.解：連接，則所以 3圓錐曲線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)性質(zhì)1:過橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)、，、為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，和交于點(diǎn)，和交于點(diǎn)，則.證明：如圖，設(shè)橢圓的方程為，則可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，則的方程為 的方程為 由得 由于點(diǎn)、共線，則有 化簡(jiǎn)，得 將式代入式，得所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為 同理，點(diǎn)的坐標(biāo)為9. 即 性質(zhì)2:過雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，、為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，和相交于點(diǎn)，和相交于點(diǎn)，則.證明與性質(zhì)1的證明類似，從略性質(zhì)3:過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)、，為拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線對(duì)稱軸的平行線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線對(duì)稱軸的平行線交于點(diǎn)，則.證明：設(shè)拋

14、物線方程為，則點(diǎn)、的坐標(biāo)可分別設(shè)為，.因?yàn)?、三點(diǎn)共線，所以化簡(jiǎn)，得 . 又的方程為 ， 的方程為 由得 即 點(diǎn)的坐標(biāo)為. 同理點(diǎn)的坐標(biāo)為10. 即 4總結(jié)文章主要是在對(duì)文獻(xiàn)進(jìn)行分析、研究的基礎(chǔ)上，結(jié)合高中數(shù)學(xué)課程的要求，將具有共同特征的橢圓焦點(diǎn)三角形與雙曲線焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)進(jìn)行系統(tǒng)地歸納集中，得出五條基本性質(zhì)，并采用初等方法進(jìn)行了證明，對(duì)圓錐曲線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)進(jìn)行有機(jī)統(tǒng)一，讓學(xué)生對(duì)其有一個(gè)更全面、更深刻的了解，從而進(jìn)一步提高學(xué)生運(yùn)用這些性質(zhì)去解決相關(guān)問題的數(shù)學(xué)素質(zhì)和應(yīng)用能力.參考文獻(xiàn)1唐永金.圓錐曲線焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)探微J.數(shù)學(xué)通報(bào),2000,(9):2425.2熊光漢.橢圓焦點(diǎn)三角形的若干性質(zhì)

15、J.數(shù)學(xué)通報(bào),2004,(5):2425.3人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室.全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（必修）數(shù)學(xué)第二冊(cè)（上）M，北京：人民教育出版社，2004.4李迪淼.關(guān)于橢圓的十個(gè)最值問題J.數(shù)學(xué)通報(bào),2002,(4):2425.5任志鴻.十年高考分類解析與應(yīng)試策略（數(shù)學(xué)）M.海南：南方出版社，2005.6薛金星.中學(xué)教材全解高二數(shù)學(xué)（上）M.陜西：陜西人民教育出版社,2003.7徐希揚(yáng).雙曲線焦點(diǎn)三角形的幾個(gè)性質(zhì)J.數(shù)學(xué)通報(bào),2002,(7):27.8潘際棟.黃岡新考典十年高考分類解析及命題趨勢(shì)M.吉林：延邊大學(xué)出版社，2005.9李康海.圓錐曲線焦點(diǎn)弦的一個(gè)有趣性質(zhì)J. 數(shù)學(xué)通報(bào),2001，（5）：23.10毛美生 范慧珍.圓錐曲線的一組相關(guān)性質(zhì)J.數(shù)學(xué)通報(bào),2002,(12):2728.指導(dǎo)教師評(píng)語：圓錐曲線是高中解析幾何的重要內(nèi)容，現(xiàn)行高中教材僅介紹了圓錐曲線的一些基本性質(zhì)，對(duì)解決較復(fù)雜的圓錐曲線問題就顯得無能為力了，而在其他一些的文獻(xiàn)中，雖對(duì)有關(guān)內(nèi)容也有探討，但只是停留在解題的層面上，不系統(tǒng)更未形成獨(dú)立的體系。文章通過大量的資料查閱、素材積累，在分析、歸納、探索的基礎(chǔ)上，給出了橢圓、雙曲線焦點(diǎn)三角形的七條性質(zhì)及圓錐曲線焦點(diǎn)弦的三條性質(zhì)。其中橢圓、雙曲線焦點(diǎn)三角形的七條性質(zhì)是在文獻(xiàn)2、7中幾個(gè)例題的基礎(chǔ)上經(jīng)過分析、綜合，升華而提出的，并給出了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)