概率論講義 第三章多維隨機(jī)變量及其分布

1、第三章 多維隨機(jī)變量及其分布在很多隨機(jī)現(xiàn)象中, 只用一個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述往往不夠, 而要涉及到多個(gè)隨機(jī)變量. 如炮彈命中點(diǎn)的位置要用一對(duì)隨機(jī)變量(橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo))來(lái)描述, 正弦交流電壓要用振幅、頻率和相位三個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述等等. 要研究這些隨機(jī)變量之間的聯(lián)系, 就應(yīng)當(dāng)同時(shí)考慮若干個(gè)隨機(jī)變量即多維隨機(jī)變量及其取值規(guī)律多維分布. 本章將介紹有關(guān)這方面的內(nèi)容, 為簡(jiǎn)明起見, 主要介紹二維情形, 有關(guān)內(nèi)容可以類推到多于二維的情形.第一節(jié) 二維隨機(jī)變量一、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù) 設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn), 它的樣本空間是S. 設(shè)X、Y是定義在S上的隨機(jī)變量, 則由它們構(gòu)成的一個(gè)向量(X, Y)稱為二維隨機(jī)向量或

2、二維隨機(jī)變量.一般地, (X, Y)的性質(zhì)不僅與X有關(guān), 與Y有關(guān), 而且還依賴于X、Y的相互關(guān)系, 因此必須把(X, Y)作為一個(gè)整體來(lái)研究. 首先引入(X, Y)的分布函數(shù)的概念.定義 設(shè)(X, Y)為二維隨機(jī)變量, 對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y, 二元函數(shù)F(x, y) = P(X £ x)(Y £ y)= PX £ x, Y £ y稱為二維隨機(jī)變量(X, Y)的分布函數(shù), 或稱為隨機(jī)變量X和y的聯(lián)合分布函數(shù).分布函數(shù)F(x, y)表示事件(X £ x)與事件(Y £ y)同時(shí)發(fā)生的概率. 如果把(X, Y)看成平面上具有隨機(jī)坐標(biāo)(X,

3、Y)的點(diǎn), 則分布函數(shù)F(x, y)在(x, y)處的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)(X, Y)落在平面上的以(x, y)為頂點(diǎn)而位于該點(diǎn)左下方的無(wú)限矩形內(nèi)的概率.由上面的幾何解釋, 容易得到隨機(jī)點(diǎn)(X, Y)落在矩形區(qū)域x1 < X £ x2, y1 < Y £ y2的概率為Px1 < X £ x2, y1 < Y £ y2 = F(x2, y2) - F(x2, y1) - F(x1, y2) + F(x1, y1)(1)與二元函數(shù)類似, 二元分布函數(shù)F(x, y)也具有如下一些性質(zhì):1° F(x, y)是變量x和y的單調(diào)不減函數(shù)

4、, 即當(dāng)x1 < x2時(shí), F(x1, y) £ F(x2, y); 當(dāng)y1 < y2時(shí), F(x, y1) £ F(x, y2).2° 0 £ F(x, y) £ 1, 且F(-¥, y) = 0, F(x, -¥) = 0, F(-¥,-¥) = 0, F(+¥,+¥) = 1.3° F(x, y)關(guān)于x和y都是右連續(xù)的, 即F(x + 0, y) = F(x, y), F(x, y + 0) = F(x, y).4° 對(duì)任意的(x1, y1)、(x

5、2, y2), x1 < x2, y1 < y2, 有F(x2, y2) - F(x2, y1) - F(x1, y2) + F(x1, y1) ³ 0.注: 二元分布函數(shù)具有性質(zhì)1° 4°, 其逆也成立(2°中0 £ F(x, y) £ 1可去), 即若二元實(shí)值函數(shù)F(x, y)(x Î R, y Î R)滿足1° 4°, 則F(x, y)必是某二維隨機(jī)變量的(X, Y)的分布函數(shù). 其中4°是必不可少的, 即它不能由1° 3°推出(除去0 £

6、; F(x, y) £ 1).二、二維離散型隨機(jī)變量如果二維隨機(jī)變量(X, Y)的所有可能取的值是有限對(duì)或可列無(wú)限多對(duì), 則稱(X, Y)是二維離散型隨機(jī)變量.設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X, Y)所有可能取的值為(xi, yj) (i , j= 1, 2, 3, ).記PX = xi, Y = yj = pij (i , j= 1, 2, 3, )則由概率定義有 pij ³ 0; .我們稱PX = xi, Y = yj = pij (i , j= 1, 2, 3, )為二維離散型隨機(jī)變量(X, Y)的分布律(概率分布)或隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律, (X, Y)的分布律也可用表

7、格表示. 其分布函數(shù)為=這里表示對(duì)一切xi £ x, yj £ y的那些指標(biāo)i、j求和.例1 一個(gè)口袋中有三個(gè)球, 依次標(biāo)有1、2、2, 從中任取一個(gè), 不放回袋中, 再任取一個(gè). 設(shè)每次取球時(shí), 各球被取到的可能性相等, 以X、Y分別記第一次和第二次取到的球上標(biāo)有的數(shù)字, 求X、Y的聯(lián)合分布律與分布函數(shù).解: (X, Y)的可能取值為(1, 2)、(2, 1)、(2, 2). PX = 1, Y = 2= PX = 1PY = 2 / X = 1=.同理, 有 PX = 2, Y = 1= , PX = 2, Y = 2=.即(X, Y)的分布律如右表所示. 當(dāng)x <

8、; 1, 或y < 1時(shí), Fx, y = 0;當(dāng)1 £ x < 2, 1 £ y <2時(shí), Fx, y = 0;當(dāng)1 £ x < 2, y ³ 2時(shí), Fx, y = ;當(dāng)x ³ 2, 1 £ y <2時(shí), Fx, y =;當(dāng)x ³ 2, y ³ 2時(shí), Fx, y = 1.所以, (X, Y)的分布函數(shù)為三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)的分布函數(shù)為Fx, y, 若存在非負(fù)函數(shù)f (x, y), 使對(duì)任意的x、y有，則稱(X, Y)為連續(xù)型的二維隨機(jī)變量, f (x,

9、 y)稱為二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度, 或稱隨機(jī)變量X、Y的聯(lián)合概率密度.概率密度f(wàn) (x, y)具有以下性質(zhì):1° f (x, y) ³ 0;2° 3° 若f (x, y)在點(diǎn)(x, y)處連續(xù), 則有4° 設(shè)G是xOy平面上的一個(gè)區(qū)域, 則點(diǎn)(X, Y)落在G內(nèi)的概率為 (2)例2 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度為求: (1) 系數(shù)A; (2) 分布函數(shù)F(x, y); (3) 概率P(X, Y)ÎD, 其中D: x ³ 0, y ³ 0, x + y £ 1.解: (1)

10、由, 得.(2) =(3) .例3 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度為 , 求PY ³ X.解: PY ³ X=.以上關(guān)于二維隨機(jī)變量的討論, 不難推廣到n(n > 2)維隨機(jī)變量的情形. 一般地, 設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn), 它的樣本空間為S, 設(shè)X1、X2、Xn是定義在S上的隨機(jī)變量, 則由它們構(gòu)成的一個(gè)n維向量(X1, X2, , Xn)稱為n維隨機(jī)向量或n維隨機(jī)變量.對(duì)任意n個(gè)實(shí)數(shù)x1、x2、xn, n元函數(shù)F(x1, x2, , xn) = PX1 £ x1, X2 £ x2, , Xn £ xn稱為n維隨機(jī)變量(X1, X

11、2, , Xn)的分布函數(shù)或隨機(jī)變量(X1, X2, , Xn)的聯(lián)合分布函數(shù), 它具有與二元分布函數(shù)類似的性質(zhì).第二節(jié) 邊 緣 分 布設(shè)(X, Y)是二維隨機(jī)變量, 其分布函數(shù)為F(x, y), 事件X £ x即為 X £ x, Y < +¥, 從而由(X, Y)的分布函數(shù)可定出X的分布函數(shù), 記為FX (x).FX (x) = PX £ x = P X £ x, Y < +¥ = F(x, +¥)=.我們稱FX (x)為關(guān)于X的邊緣分布函數(shù). 類似的可定義關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)為FY (y) = PY 

12、3; y = PX < +¥, Y £ y= F(+¥, y) = .一、離散型設(shè)(X, Y)為二維離散型隨機(jī)變量, 其分布律為PX = xi, Y = yj = pij (i , j= 1, 2, 3, ), 則, .從而X與Y的分布律分別為, i = 1, 2, ; , j = 1, 2, ;記, i = 1, 2, ;, j = 1, 2, .分別稱pi ×和p× j為(X, Y)關(guān)于X與Y的邊緣分布律.注: 1° 邊緣分布律具有一維分布律的一般性質(zhì).2° 聯(lián)合分布律唯一決定邊緣分布律, 反之不然.例1 一袋中裝

13、有3只黑球和2只白球, 分別采用有放回與不放回摸球兩種方式. 若設(shè)求(X, Y)的聯(lián)合分布律及關(guān)于X與Y的邊緣分布律.解: 有放回不放回邊緣分布律經(jīng)常寫在聯(lián)合分布律的邊緣, 這就是為什么稱為邊緣分布律的緣由.二、連續(xù)型設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度為f (x, y), 由;.知X與Y都是連續(xù)型隨機(jī)變量. 它們的概率密度分別為;.稱fX (x)與fY (y)分別為(X, Y)關(guān)于X與Y的邊緣概率密度.例2 設(shè)D是平面上的有界區(qū)域, 其面積為A, 若二維隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度為則稱(X, Y)在D上服從均勻分布.現(xiàn)(X, Y)在以原點(diǎn)為中心、1為半徑的圓域上服從均勻分布, 求邊

14、緣概率密度.解: 由, 得A = p.當(dāng)|x| < 1時(shí), ; 當(dāng)|x| ³ 1時(shí), fX (x) = 0, 即同理可得, 例3 設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度為 .其中m1、m2、s1、s2、r 都是常數(shù), 且s1 > 0, s2 > 0, -1 < r < 1. 我們稱(X, Y)為服從參數(shù)為m1、m2、s1、s2、r的二維正態(tài)分布, 試求二維正態(tài)隨機(jī)變量的邊緣概率密度. 解: 令m = .所以, =.令, 則, 從而,.所以, (). 同理可得, ().表明, , . 此例說(shuō)明, 二維正態(tài)隨機(jī)變量(X, Y)中的X、Y都服從正態(tài)分布, 并且與

15、參數(shù)r 無(wú)關(guān). 所以對(duì)于確定的m1、m2、s1、s2而取不同的r, 對(duì)應(yīng)了不同的二維正態(tài)分布, 但是其中每個(gè)隨機(jī)變量都分別服從相同的正態(tài)分布. 因此, 僅由關(guān)于X和Y的邊緣概率密度(分布), 一般不能確定X和Y的聯(lián)合概率密度(分布).第四節(jié) 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量我們知道, 兩事件A、B相互獨(dú)立的充要條件是P(AB) = P(A)P(B)由此我們引進(jìn)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義. 定義 設(shè)F(x, y)及FX (x)、FY (y)分別是二維隨機(jī)變量(X, Y)的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù), 若對(duì)于所有的x、y, 有 PX £ x, Y £ y = PX £ x PY £

16、; y, 即F(x, y) = FX (x)FY (y)(1)則稱隨機(jī)變量X和Y是相互獨(dú)立的. 可見, 在隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立的情況下, 由關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)就唯一地確定(X, Y)的聯(lián)合分布函數(shù), 而且還可推得= FY (y) = PY £ y.這就是說(shuō)在X和Y相互獨(dú)立的情況下條件分布與邊緣分布相同, 即條件分布化成了無(wú)條件分布.一、離散型 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合分布律為PX = xi, Y = yj = pij (i , j= 1, 2, 3, ),(X, Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律分別為, i = 1, 2, ;, j = 1, 2, .則X和Y相互

17、獨(dú)立的充要條件是PX = xi, Y = yj = PX = xi PY = yj, 即pij = (2) 例1 設(shè)(X, Y)的聯(lián)合分布律為證明: X和Y相互獨(dú)立. 例2 設(shè)X和Y相互獨(dú)立, 且分別具有分布律X-2-10Y13pkpk試寫出(X, Y)的聯(lián)合分布律.二、連續(xù)型 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合概率密度為f (x, y), 關(guān)于X和Y的邊緣概率密度為fX (x)和fY (y), 則X和Y相互獨(dú)立的充要條件是等式f (x, y) = fX (x) fY (y)(3)幾乎處處成立. 例3 設(shè)(X, Y)服從二維正態(tài)分布, 即其聯(lián)合概率密度為 .證明: X和Y相互獨(dú)立的充要條件

18、是r = 0. 例4 若(X, Y)的聯(lián)合概率密度為則X和Y相互獨(dú)立. 證: 顯然 故有f (x, y) = fX (x) fY (y). 從而X和Y相互獨(dú)立. 例5 設(shè)X與Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, X在0, 0.2上服從均勻分布, Y的概率密度為試求: (1) X與Y的聯(lián)合概率密度;(2) PY £ X. 解: (1) 由已知條件, 得 從而得X與Y的聯(lián)合概率密度為 (2) PY £ X= PY - X, 積分區(qū)域如圖, 化成二次積分后得.以上關(guān)于二維隨機(jī)變量的一些概念, 很容易推廣到n維隨機(jī)變量的情形.設(shè)n維隨機(jī)變量(X1, X2, , Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x1, x2, , xn)