線性規(guī)劃求最值問題

1、線性規(guī)劃求最值問題一、與直線的截距有關(guān)的最值問題例1已知點(diǎn)在不等式組表示的平面區(qū)域上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是（）（A）2，1（B）2，1（C）1，2 （D）1，2解析：由線性約束條件畫出可行域如圖1，考慮，把它變形為，這是斜率為1且隨z變化的一族平行直線是直線在y軸上的截距當(dāng)直線滿足約束條件且經(jīng)過點(diǎn)（2，0）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值為2；直線經(jīng)過點(diǎn)（0，1）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值為1故選（C）注：本題用“交點(diǎn)法”求出三個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，1），（2，1），（2，0），然后再一一代入目標(biāo)函數(shù)求出z=x-y的取值范圍為1，2更為簡單這需要有最值在邊界點(diǎn)取得的特殊值意識(shí)二、與直線的斜率有關(guān)的最值問題例2

2、設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是_解析：畫出不等式組所確定的三角形區(qū)域ABC（如圖2），表示兩點(diǎn)確定的直線的斜率，要求z的最大值，即求可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的最大值由圖2可以看出直線OP的斜率最大，故P為與的交點(diǎn)，即A點(diǎn)故答案為注：解決本題的關(guān)鍵是理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，當(dāng)然本題也可設(shè)，則，即為求的斜率的最大值由圖2可知，過點(diǎn)A時(shí)，t最大代入，求出，即得到的最大值是三、與距離有關(guān)的最值問題例3已知，求的最小值解析：作出可行域如圖3，并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)A（1，3）、B（3，1）、C（7，9）而表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)（x，y）到定點(diǎn)M（0，5）的距離的平方，過M作直線AC的垂線，易知垂足在線段上，故z的最

3、小值是注：充分理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，如兩點(diǎn)間的距離（或平方）、點(diǎn)到直線的距離等四、與實(shí)際應(yīng)用有關(guān)的最值問題例4預(yù)算用2000元購買單件為50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的總數(shù)盡可能的多，但椅子不少于桌子數(shù)，且不多于桌子數(shù)的15倍，問桌、椅各買多少才行？分析：先設(shè)出桌、椅的變數(shù)后，目標(biāo)函數(shù)即為這兩個(gè)變數(shù)之和，再由此在可行域內(nèi)求出最優(yōu)解解題中應(yīng)當(dāng)注意到問題中的桌、椅數(shù)都應(yīng)是自然數(shù)這個(gè)隱含條件，若從圖形直觀上得出的最優(yōu)解不滿足題設(shè)條件時(shí)，應(yīng)作出調(diào)整，直至滿足題設(shè)解：設(shè)應(yīng)買x張桌子，y把椅子，把所給的條件表示成不等式組，即約束條件為由解得 A點(diǎn)的坐標(biāo)為，由解得 B點(diǎn)的坐標(biāo)為所以滿足約束條件的可行域是以為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域（如