平面幾何的定值與最值問題

1、第二十三講平面幾何的定值與最值問題【趣題引路】傳說從前有一個(gè)虔誠的信徒，他是集市上的一個(gè)小販.?？每天他都要從家所在的點(diǎn)A出發(fā),到集市點(diǎn)B,但是,到集市之前他必須先拐彎到圓形古堡朝拜阿波羅神像.古堡是座圣城阿波羅像供奉在古堡的圓心點(diǎn)O,?而周圍上的點(diǎn)都是供信徒朝拜的頂禮地點(diǎn)如圖1.這個(gè)信徒想，我怎樣選擇朝拜點(diǎn)，才能使從家到朝拜點(diǎn)，？然后再到集市的路程最短呢？解析在圓周上選一點(diǎn)P,過P作。O的切線MN使得/APK=ZBPK,即a=3.那么朝圣者?gA-PB的路線去走,距離最短.證明如圖2,在圓周上除P點(diǎn)外再任選一點(diǎn)P'.連結(jié)BP?與切線MN衣于R,AR+BR>AP+BP.RP+AP

2、'>AR.AP'+BP'=AP+RP+RB>AR+BP>AP+BP.不過，用尺規(guī)作圖法求點(diǎn)P的位置至今沒有解決.?“古堡朝圣問題”屬于數(shù)學(xué)上“最短路線問題”，解決它的方法是采用“等角原理”.【知識(shí)延伸】平面幾何中的定值問題，是指變動(dòng)的圖形中某些幾何元素的幾何量保持不變，或幾何元素間的某些幾何性質(zhì)或位置關(guān)系不變的一類問題.?所謂幾何定值問題就是要求出這個(gè)定值.在解決這類問題的過程中，可以直接通過計(jì)算來求出定值；也可以先考慮某一個(gè)特殊情形下的該相關(guān)值，然后證明當(dāng)相應(yīng)幾何元素變化時(shí)，此值保持不變.例1如果ABC的外接圓半徑R一定，求證：abc是定值.（S表示

3、ABC的面積）S解析由三角形面積s=-absinC和正弦定理=2R,2sinCc=2RsinC.abc2c4RsinC曰古-=4R是te值.SsinCsinC點(diǎn)評(píng)通過正弦定理和三角形面積公式經(jīng)過變形，計(jì)算出結(jié)果是4R,即為定值.平面幾何中不僅有等量關(guān)系，還有不等關(guān)系，例如在變動(dòng)一些幾何元素時(shí)，？某一相關(guān)的值保持不大于（或不小于）某個(gè)定值，如果這個(gè)定值在某個(gè)情形下可以取得，？這就是一個(gè)幾何極值.確定幾何極值的問題稱為幾何極值問題，解決這些問題總要證明相關(guān)的幾何不等式，并指明不等式成為等式的情形（或者至少證明不等式可以成為等式）.例2如圖，已知。O的半徑R=3j3,A為。O上一點(diǎn)，過A作一半徑為r

4、=3的。O'問OO何時(shí)最長？最長值是多少？OO何時(shí)最短？最短值是多少？3的。A上.解析當(dāng)O'落在OA的連線段上（即。A與線段OA的交點(diǎn)B時(shí)）OO'最短，且最短長度為3J3-3;當(dāng)O'落在OA的延長線上（即。與OA的延長線交點(diǎn)C時(shí)）00'最長，且最長的長度為373+3.點(diǎn)評(píng)。0'是一個(gè)動(dòng)圓，滿足條件的。O有無數(shù)個(gè)，但由于。0'過A點(diǎn)，所以。的圓心O在以A為圓心半徑為【好題妙解】佳題新題品味例1如圖，已知P為定角0的角平分線上的定點(diǎn)，過。P？兩點(diǎn)任作一圓與角白兩邊分別交于A、B兩點(diǎn).求證:OA+OB是定值.證明連結(jié)AP、BP,由于它們?yōu)橛邢嗤?/p>

5、圓周角的弦,AP=PB,不妨記為r.？另記Xi=0A,x2=0B.對(duì)PO*用余弦定理，得xi2+op2-20Pcos/AOP-X1=r2.1故X1為萬程x2-20P-cos-ZAOB-x+(0P2-r2)=0的根，同理x2亦為其根.2因此X1,X2為此方程的兩根，由韋達(dá)定理，得X1+X2=2OP（；/AOB謔定值.點(diǎn)評(píng)當(dāng)X1=X2時(shí),X1+X2為此定值，事實(shí)上此時(shí)0屋定是直徑例2如圖，在矩形ABCM,AB=8,BC=9,。0與外切，且。與ABBC體目切.00與ADCD相切，設(shè)。0的半徑為x,。0與。0'的面積的和為S,求S?的最大值和最小值.解析設(shè)。0'的半徑為y,過0與0&#

6、39;分另1J作CD與BC的垂線OHQ'F,?垂足分別為H,F,OH、OF交于點(diǎn)E,則有:O'E=8-(x+y),OE=9-(x+y)由勾股定理可得(x+y)2=8-(x+y)2+9-(x+y)2整理，得(x+y-29)(x+y-5)=0,由題意知1wxw4,x+y=5,y=-x+5,S=x+y=(2x-10x+25),=2(x-5)2+25,24故當(dāng)x=3時(shí)，Smin=2；當(dāng)x=4時(shí),S=17.22點(diǎn)評(píng)先由已知求出。O'的半彳5也。O的半徑x之間的關(guān)系，然后再根據(jù)面積公式寫出S與x之間的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系就是一個(gè)函數(shù)關(guān)系，再通過函數(shù)的性質(zhì)得解.中考真題欣賞例(南京市中考題

7、)如圖，。01與OO2內(nèi)切于點(diǎn)P,又OO1切。2?的直徑BE于點(diǎn)C,連ZPC并延長交。O2于點(diǎn)A,設(shè)。1,。2的半徑分別為r、R,且R>2r.?求證:PCAC是定值.解析若放大。Oi,使。O1切。O2的直徑于點(diǎn)O2(如圖)，顯然此時(shí)有PC-AC=POAO2=2rR(定值).再證明如圖的情況：連結(jié)COi,PO2,?貝UPO2?必過點(diǎn)Oi,?且OCBE,得CO2=O1O2201c2=.R22Rr,從而BC=R+R22Rr,EC=R-R22Rr.所以PC-AC=EGBC=2Rr,故PC-AC是定值.點(diǎn)評(píng)解答幾何定值問題時(shí)，可先在符合題目條件的前提下用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，從特殊位置入手，找出相應(yīng)定值，然

8、后可借助特殊位置為橋梁，完成一般情況的證明.競(jìng)賽樣題展示例1(第十五屆江蘇省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)如圖，正方形ABCD勺邊長為1,?點(diǎn)P為邊BC上任意一點(diǎn)(可與嵐B或點(diǎn)C重合)，分別過點(diǎn)BC、D作射線AP的垂線，？垂足分別為點(diǎn)B'、C'、D'.求BB'+CC+DD的最大值和最小值解析'SaDPC=Saapc=APCC2得S四邊形BCDA=SaABP+SaADP+SaDPC1.=AP(BB+DD+CC),2，一2于ZEBB'+CC+DD=.AP又1WAPK故展wBB，+CC+DD?&2,BB+CC+DD的最小值為J2,最大值為2.點(diǎn)評(píng)本題涉及垂線

9、可考慮用面積法來求.例2(2000年“新世紀(jì)杯”廣西競(jìng)賽題)已知ABC內(nèi)接于。O,D是BC減其延長線上一點(diǎn),AE是ABC外接圓的一條弦，若/BAECAD.求證:AD.AE為定值.證明如圖（1）,當(dāng)點(diǎn)D是BC上任意一點(diǎn)且/BAE1CAD,連結(jié)BE,則/E=ZC,/BAE4CAD,.AB&ADC.ABAE口,-，即AD-AE=AB-AC為定值.ADAC如圖(2),當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí)，/BAE4CADM時(shí)，/ACDWAEB.AzcABAEAEBACD,.1.ADAC即AD-AE=AB-AC為定值.綜上所述，當(dāng)點(diǎn)D在BC邊上或其延長線上時(shí)，只要/CAD=/BAE,總有AD-AE為定值.點(diǎn)

10、評(píng)先探求定值，當(dāng)AD£BC,AE為圓的直徑時(shí)，滿足/BAEWCAR一條件,?不難發(fā)現(xiàn)ACD“AEB,所以AD-AE=AB-AC,因?yàn)橐阎狝B,AC均為定值.？再就一般情況分點(diǎn)D?在BC上，點(diǎn)D在BC的延長線上兩種情況分別證明.全能訓(xùn)練A級(jí)1 .已知MN|>OO的切線,AB是。O的直徑.求證：點(diǎn)AB與MN的距離的和為定值2 .已知：。與。外切于C,P是。上任一點(diǎn)，PT與。相切于點(diǎn)T.求證:PC:PT是定值.3 .與。Q相交于P、Q兩點(diǎn)，過P作任一直線交。于點(diǎn)E,交。Q于點(diǎn)F.求證：/EQF為定值.4 .以O(shè)為圓心，1為半徑的圓內(nèi)有一定點(diǎn)A,過A引互相垂直的弦PQ,RS.求PQ+R

11、S勺最大值和最小值.5 .如圖,已知ABC的周長為2p,在ABAC上分另1J取點(diǎn)M和N,使MN?/BC,?且MN與ABC的內(nèi)切圓相切.求:MN的最值.1.如圖1,已知正方形ABC曲邊長為3,點(diǎn)E在BC上，且BE=2,點(diǎn)P在BD上，則PE+PC勺最小值為()A.2,3B.13C.14D.15(1)(2)(3),?則在所構(gòu)成的梯形中，中位2.用四條線段a=14,b=13,c=9,d=7.作為四條邊構(gòu)成一個(gè)梯形線長的最大值是3 .如圖2,。的半徑為J2,A、B兩點(diǎn)在。上，切線AQ和BQ相交于Q,P是AB誕長線上任一點(diǎn)，QS，OP于S,則OP-OS=.4 .已知，如圖3,線段AB上有任一點(diǎn)M,分別以A

12、M,BMK/邊長作正方形AMFE?MBCD正方形AMFEMBCD勺外接圓。Q。O'交于MN兩點(diǎn)，則直線MN勺情況是(?)A.定直線B.經(jīng)過定點(diǎn)C.一定不過定點(diǎn)D.以上都有可能5 .如圖，已知。的半徑為R,以。O上一點(diǎn)A為圓心，以r為半徑作。A,?又PQ與OA相切,切點(diǎn)為D,且交。于P、Q.求證:APAQ為定值.6 .如圖，OOi與。2相交于AB兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)B?的一直線和兩圓分別相交于點(diǎn)C和D,設(shè)此兩圓的半徑為Ri,R2.求證:AC:AD=Ri:R2.B*4級(jí)（答案）1.定長為圓的直徑2 .利用特殊位置探求定值（當(dāng)PC構(gòu)成直徑時(shí)）定值為_XR_（R,r是兩圓的半徑）.3 .因/E,/F為

13、定角（大小固定）易得/EQF為定值.4 .如圖,設(shè)OA=a（定值），過。作OBLPQ,OCLRS,B、C為垂足,設(shè)OB=x,OC=y,0wxwa,（0WyWa）,且x2+y2=a2.所以PQ=2PB=2J-x2,RS=2（1-X2+1-y2）.所以PQ+RS=2Q1x2-.1y2).(PQ+RS)2=4(2-a2+21a2x2y2)24而x2y2=x2(a2-x2)=-(x2-)2+.2424當(dāng)x2=a-時(shí)，(x2y2)最大值=a-.24此時(shí)PQ+RS=4(2a22a2);當(dāng)x2=0或x2=a2時(shí),(x2y2)最小值=0,此時(shí)(PQ+RS最小值=2(1+Ma)5.設(shè)BC=a,BC邊上的高為h,

14、內(nèi)切圓半徑為r.MNh2r2r、門AM*ABC,-,MN=a(1-),?由SAABC=rp,-r='ABCa,P2p'2aa(1-).MN=a(1-亙尸p(1-)<ppp-=E,ppp24當(dāng)且僅當(dāng)亙=1-旦，即a=p時(shí)，取等號(hào)，MN的最大值為衛(wèi).8級(jí)（答案）1.B.A、C關(guān)于BD對(duì)稱，連結(jié)AE交BDTP,此時(shí)PE+PC=AE1短.2.11.5(1)當(dāng)上底為7,下底分別為14,13,9時(shí)，中位線長分別為10.5,10,8；(2)當(dāng)上底為9和13時(shí)，均構(gòu)不成梯形.3 .連結(jié)0成AB于M,則OQLAB.連結(jié)OA,則OA!AQ./QMP=QSP=90,S,P,?Q,M四點(diǎn)共圓，故OSOP=OMOQ.又OM-OQ=O2=2,/.OS-OP=2.4 .B.由圖可知直線MN可看彳。和。的割線，當(dāng)M在點(diǎn)A時(shí)，直線MN變?yōu)镺O?'的切線，當(dāng)M在點(diǎn)B時(shí)，直線MN變?yōu)镺O的切線.這