emuch net郝海龍：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

1、：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全配套光盤1995 年數(shù)學(xué)試題參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn)1995 年全國研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn)數(shù) 學(xué)（試卷一） 一、填空題：(本題共 5 小題，每小題 3 分，滿分 15 分)2lim (1 + 3x) sin xe6(1)=.x - 0ddx0x0224cos t dt - 2x cos x.x cost 2 dt(2)=22x設(shè) ( a b ) c = 2 , 則 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) =4.(3) nx 2n-1的收斂半徑 R =3(4)冪級數(shù).+ (-3)nn=1 2n 302001/300 ，則 B = 0設(shè)三階方陣

2、A 、B 滿足式 A-1BA = 6A + BA ，且 A = (5).0 1/4 000 1/7 00 1二、選擇題：(本題共 5 小題，每小題 3 分，滿分 15 分) x + 3y + 2z + 1 = 0及平面p ：4x - 2 y + z - 2 = 0 ，則直線L(1)有直線L(C)：2x - y - 10z + 3 = 0(A) 平行于p .(B) 在p 上(C) 垂直于p .(D) 與p 斜交設(shè)在0，1 上 f (x) 0 ，則 f (0) 、f (1) 、f (1) - f (0) 和 f (0) - f (1) 的大小順序是 (B)(2)(A) f (1) f (0) f

3、(1) - f (0) .(C) f (1) - f (0) f (1) f (0) .設(shè) f (x) 可導(dǎo)，F(xiàn)(x) = f (x)(1+ sin x ) ，則(B) f (1) (D) f (1) f (1) - f (0) f (0) .f (0) - f (1) f (0) .f (0) =0 是 F (x) 在 x = 0 處可導(dǎo)的充分條件但非必要條件既非充分條件又非必要條件(3)(A)(A)(C)(B)(D)充分必要條件必要條件但非充分條件1n設(shè)u = (-1)n ln(1 +(4) ，則級數(shù)(C)n(A) un=1n un=1n n2n2與u與u 都發(fā)散都收斂.(B)n=1n=1

4、(C) un=1 un=122收斂而u 發(fā)散.發(fā)散而u 收斂.(D)nnnnn=1n=11995 年 第 1 頁：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全配套光盤1995 年數(shù)學(xué)試題參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn) a11a12a13 a2111a2212a2313 0100010100 ，B= ，P= 1=0(5) 設(shè) A=，P，aaaaaaaa0023 122122 a a 0111+ aa + aa + a則必有33 13 (C)31113212333132(A)A P 1 P 2= B(B)A P 2 P 1 = B(C)P 1 P 2 A = B(D)P 2 P 1 A = B.三、(本題共 2 小題，每小題 5 分，滿

5、分 10 分)(1) 設(shè)u = f (x, y, z) ,j(x2,ey, z) = 0, y = sin x ,其中 f ,j 都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 j 0，zdu求.dxfz dyf dzdu解：=+,2 分dxxy dxz dxdy = cos x, dz = -1j + e cos x j ) ,y(2x4 分dxj 12dx3+ z cos x - fduf故=1j + ecos x j ) .sin x(2x5 分dxxyz j 123(2) 設(shè) f (x) 在區(qū)間0, 1上連續(xù)，并設(shè)f (x)dx = A ，求 dxf (x) f ( y)dy .1110x0解：更換積分次序

6、，可得111y1xdxf (x) f ( y)dy =dyf (x) f ( y)dx =dxf (x) f ( y)dy ,2 分0x0000111x11于是2dxf (x) f ( y)dy =dxf (x) f ( y)dy +dxf (x) f ( y)dy0x000x11=dxf (x) f ( y)dy = A24 分00111所以 dxf (x) f ( y)dy =A .25 分20x四、(本題共 2 小題，每小題 6 分，滿分 12 分)(1) 計算曲面積分 S zdS ，其中S 為錐面 z =x + y 在柱體 x + y 2x 內(nèi)的部分.22221+ ( z )2 + (

7、 z )2 ds =2ds .解： 在 xoy 平面上的投影區(qū)域為D：x2 + y2 2x ，dS =xy于是zdS = x2 + y2 2ds3 分SDpp163292cosq00dqr2dr =2 2 cos3 q dq =22 .26 分p23- 2)周期為 4 的余弦級數(shù).(2) 將函數(shù) f (1995 年 第 2 頁：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全配套光盤1995 年數(shù)學(xué)試題參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn)22解： a =(x -1)dx = 0,1 分02= 202np x(x -1) cosdx =2np x2np x(x -1)d sin= -sindx22np 0np 0an222204=(-1)n -

8、1084 分n2p 2n = 2kn = 2k -1= (k = 1, 2,L) .-(2k -1)2p 2(2k -1)p x81f (x) = -, x 0, 2 .cos6 分p(2k -1)222k =14(-1)n -1np xn=1注：展開式也可寫作 f (x) =cos, x 0, 2.p2n22五、(本題滿分 7 分)設(shè)曲線 L 位于 xoy 平面的第一象限內(nèi)，L 上任一點 M 處的切線與 y 軸總相交，交點記3 3為 A.已知 MAOA ，且 L 過點( , ) ，求 L 的方程.=2 2解：設(shè)點M 的坐標(biāo)為(x, y) ，則切線 MA 的方程為Y - y = y( X -

9、x) .令 X = 0 ，則Y = y - xy ，故點A 的坐標(biāo)為(0, y - xy ) .2 分即2 yy - 1 y2 = -x .xMA = OA ，有y - xy =(x - 0)2 + ( y - y + xy )2 .由4 分y 2 ，得 dz - z = -x .令 z =dxx1xz = edx + c) = x(-x + c) ，即 y2 = -x2 + cx6 分由于所求曲線在第一象限內(nèi),故 y =cx - x2 .再以條件 y( 3) = 3 代入得c = 3 ，于是 L 的方程為 y =3 22注：不寫(0 x 3) 不扣分.六、(本題滿分 8 分) 3)7 分設(shè)函

10、數(shù)Q(x, y) 在 xoy 平面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分L 2xydx + Q(x, y)dy 與路徑無關(guān)，并且對任意t 恒有(0,0) 2xydx + Q(x, y)dy = (0,0) 2xydx + Q(x, y)dy ，求Q(x, y) .(t ,1)(1,t )Q(2xy)解：由曲線積分與路徑無關(guān)的條件知= 2x .2 分xy1995 年 第 3 頁：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全配套光盤1995 年數(shù)學(xué)試題參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn)于是， Q(x, y) = x2 + c(y)，其中c( y) 為待定函數(shù).3 分(t ,1)11又2xydx + Q(x, y)dy =t + c( y)dy =

11、t +c( y)dy,22(0,0)(1,t )00tt2xydx + Q(x, y)dy =1 + c( y)dy = t +c( y)dy .26 分(0,0)001t故由題t +c( y)dy = t +c( y)dy .兩邊對t 求導(dǎo)得2t = 1+ c(t), c(t) = 2t -1200從而c( y) = 2 y -1 ，所以Q(x, y) = x2 + 2y -1 .七、(本題滿分 8 分)8 分導(dǎo)數(shù)，并且 g(x) 0 ，假設(shè)函數(shù) f (x) 和 g(x) 在a, b 上f (a) =f (b) = g(a) = g(b) = 0 ，試證：(1) 在開區(qū)間(a, b) 內(nèi) g

12、 (x) 0 ；一點x ，使 f (x ) = f (x ) .(2) 在開區(qū)間(a, b) 內(nèi)至少g(x )g(x )證：(1) 用反證法. 若點c (a, b) ，使 g (c) = 0 ，則對 g(x) a, c 和c, b 上分別定理，知x1 (a, c) 和x2 (c, b) ，使 g(x1) = g(x2 ) = 0.2 分應(yīng)用再對 g (x) 在在x1 ,x2 上應(yīng)用定理，知x3 (x1,x2 ),使g (x3 ) = 0 ，這與題設(shè) g (x) 0，故在(a, b) 內(nèi) g (x) 0 .4 分6 分定理，知x (a, b) ，使j (x ) = 0 .(2) 令j(x) =

13、f (x)g (x) - f (x)g(x) ，易見j(a) = j(b) = 0 ，對j (x) 在a, b 上應(yīng)用即 f (x )g (x ) - f (x )g(x ) = 0 .因 g(x ) 0, g (x ) 0 ，故得 f (x ) = f (x ) .8 分g(x )g(x )八、(本題滿分 7 分)設(shè)三階實對稱陣 A 的特征值為l1 = -1, l2 = l 3 =1，對應(yīng)于l1 的特征向量為x 1 = (0,1,1) ，求 A .T解：對應(yīng)于l2 = l3 = 1 有兩個線性無關(guān)的特征向量x2 ,x3 ，它們都與x1 正交，故可取x = (1,0,0)T ,x = (0,1

14、, -1)T ，.3 分2300100令 P = 1/221/2 ，5 分1/2 -1/則 P-1 = PT ，于是1995 年 第 4 頁：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全配套光盤1995 年數(shù)學(xué)試題參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn) -10 0010001/ 201/ 21/ 2 100 0= 00-1 .7 分A = PAP= 1/-121/ 2 010 11/2 01 02 00 -10-1/-1/20九、(本題滿分 6 分)設(shè) A 是n 階矩陣，滿足 AA = I （ I 是n 階陣， A是 A 的轉(zhuǎn)置矩陣）， 0 ，故| I + A |= 0 .2 分4 分6 分十、(本題共 2 小題，每小題 3 分，滿分 6

15、分)，則 X 2 的(1) 設(shè)X 表示 10 次重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，每次射中目標(biāo)的概率為 0.4 E(X 2 ) 數(shù)學(xué)期望 18 . 4.量，且 PX 0,Y 0 = 3 ， PX 0 = PY 0 = 4 ，則(2) 設(shè)X 和Y 為兩個隨77Pmax( X , Y ) 0 =5/7.十一、(本題滿分 6 分)e- xx 0x 0= e 的概率密度 fY ( y) .X設(shè)X 的概率密度為 f X ( x) = ，求Y 0解： F (y) = PY y = PeX y1 分Yy 1，y 1= 0,PX ln y,3 分1y2ln ye-xdx ，( y) = PX ln y =故 y 1時，

16、 F) =5 分Y0y x2 時，有 f (x1) f (x2 ) ，則(3)（D）對任意 x ， f (x) 0 .對任意 x ， f (-x) 0的大小順序是(A) f (1) f (0) f (0)=0 ，則 f (1) 、 f (0) 、 f (1) - f (0)和 f (0) - f (1)(B)(4)( B ) f (1) ( D ) f (1) f (1) - f (0) f (0)f (0) - f (1) f (0) .f (1) - f (0) .(C) f (1) - f (0) f (1) f (0) .設(shè) f (x) 可導(dǎo)，F(xiàn)(x) = f (x)(1+ sin x

17、 ) ，若 F (x) 在 x = 0 處可導(dǎo)，則必有(5)(A)(A) f (0) = 0 .(B) f (0) = 0.(C) f (0) + f (0) = 0.(D) f (0) - f (0) = 0.1995 年 第 8 頁：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全配套光盤1995 年數(shù)學(xué)試題參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn)三、(本題共 6 小題，每小題 5 分，滿分 30 分)1 -cos(x)求 lim(1).x(1 - cos x )x0+1- cos x解：原式= lim1 分x0+)1 x2= lim24 分x0+)2= 1 .25 分d 2 ydx2設(shè)函數(shù) y = y(x) 方程 xef ( y ) = e

18、y導(dǎo)數(shù)，且 f 1, 求確定，其中 f 具有(2).解：方程兩邊取對數(shù)，得ln x + f ( y) = y . 對 x 求導(dǎo)，得 1 + f ( y) y = y x1從而 y =2 分x (1- f ( y)1- f ( y) - xf ( y) y (1-)故 y = -= -5 分.x2 (1- f ( y)2x21- f ( y)3x2設(shè) f (x -1) = ln，且 f j (x) = ln x ， 求 j (x)dxx2 - 22(3)(x2 -1) +1x +1解：因為 f (x -1) = ln，所以 f (x) = ln.(x2 -1) -1x -121 分+1.j又 f

19、 (3 分-1(+1x 于是 j(x)dx =+ c(或= ln(x -1)2 + x + c)d5 分x -1xarctg,1x 0x = 0設(shè) f (x) =，試討論 f ( x) 在 x = 0 處的連續(xù)性.x2(4)0,xarctg 1 px2解：因為 f (0) = lim=，2 分x2x012x2plim f (x) = lim(arctg-) =,4 分1+ x42x2x0x01995 年 第 9 頁：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全配套光盤1995 年數(shù)學(xué)試題參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn)所以 f ( x) 在 x = 0 處是連續(xù)的.5 分(5) 求擺線x = 1 - cost 一拱（0 t 2p ）的

20、弧長. y = t - sin tdxdy解：= sin t,= 1-cos t,1 分dtdt所以ds =sin2 t + (1- cos t)2 dt =2(1- cos t)dt = 2sin t dt(0 t 2p ) .3 分2t2p從而 s = 0 2sin 2 dt = 8 .5 分= v0 .已知阻力與速度成正比（比例常v t =0(6) 設(shè)質(zhì)點在水平面內(nèi)作直線，初速度數(shù)為 1），問 t 為多少時此質(zhì)點的速度為 v0 ？并求到此時刻該質(zhì)點所經(jīng)過的路程.3v(t) + v(t) = 0解：設(shè)質(zhì)點的速度為v (t ) .由題設(shè),有.2 分v = vt =00解此方程,得v(t) =

21、 v e-t .3 分0v由 0= v e-t ，t = ln 34 分03ln32到此時刻該質(zhì)點所經(jīng)過的路程 s =v e-tdt =v .5 分0030四、(本題滿分 8 分)x2求函數(shù) f (x) = 0 (2 - t)e dt 的最大值和最小值.-t解：因為 f (x)是偶函數(shù),故只需求f (x)在0,+)內(nèi)的最大值與最小值.2 分22 )e-x= 0 ，故在區(qū)間(0, +) 內(nèi)有唯一駐點 x =令 f (2 .而當(dāng)0 x 0 ；當(dāng) x 所以 x =2 是極大值點，即最大值點.2 時， f (x) 0. 又 MT、MP 分別為該曲線在點 M（x0,y0）3(1 + ( y )2 ) 2

22、處的切線和法線.已知線段 MP 的長度為 0 ，（其中，y0y0 = y(x0 ), y0 = y(x0 ) ），試推導(dǎo)出點 P(x , h) 的坐標(biāo)表(1+ y2 )3.解：由題設(shè)得(x - x )2 + ( y -h)2 =0(1)00y20 =- x0 - x MT ，所以 y又 PM(2)4 分0y -h0(1+ y 2 )2(y -h )2 =0.由(1),(2)0y 201+ y 2由于y 0,曲線L是凹的,故y -h 0 , 證明 f (x) x .xx0證：因為 f (x) 連續(xù)且具有一階導(dǎo)數(shù)，所以由lim f (x) = 1，知 f (0) = 0 .xx0f (x) - f

23、 (0)f (x)從而有 f (0) = lim= lim= 1.3 分x - 0xx0x0令 F (x) = f (x) - x ，則 F (0) = 0 . 由于 F (x) = f (x) -1 ，所以 F (0) = 0 .又由 F (x) = f (x) 05 分知F (0)是F (x)的極小值和F (x)單調(diào).故F (x)只有一個駐點， 從而F (0)是 F (x) 的最小值.因此 F (x) F (0) = 0,即f (x) x .8 分1995 年 第 12 頁：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全配套光盤1995 年數(shù)學(xué)試題參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn)數(shù) 學(xué)（試卷四） 一、填空題：(本題共 5 小題，每小

24、題 3 分，滿分 15 分)1- x(-1)n 2 n!(1) 設(shè) f (x) =，則 f(x) =1+ x(n ) .(1+ x)n+1(2) 設(shè) z = xyf ( y ) ， f (u) 可導(dǎo)，則 xz + yz =2z.xy x(3) 設(shè) f (ln x) = 1 + x ，則 f (x) =x + ex + c .101/1002401/ 51/ 50020 ，A*是 A 的伴隨矩陣，則( A* ) -1 = 1/ 5(4) A =353/101/ 2n 是來自正態(tài)總體 N (m ,s ) 的簡單隨機樣本，其中參數(shù) m 和s 未知，22n(5) 設(shè)= 1nX Qn， Q2 = ( X

25、 - X )i2 ，則假設(shè) H : m = 0 的 t 檢驗應(yīng)使用統(tǒng)計量i記 XX0i=1i=1t =n(n -1).二、選擇題：(本題共 5 小題，每小題 3 分，滿分 15 分)f (1) - f (1- x) = -1，則曲線 y =(1) 設(shè) f (x) 為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足條件處的切線斜率為f (x) 在點(1, f (1)(D)lim2xx01 .2(A) 2（B）-1（C）(D)-2(2)下列廣義積分發(fā)散的是(A)(A) 1 dx.1 1dx+12- x(C)edx(B)(D)-1 sin x-11- x202(3)設(shè)矩陣Amn 的秩為R(A) = m n ，Im 為m 階(A)

26、A 的任意 m 個列向量必線性無關(guān)(B) A 的任意一個 m 階子式不等于零(C) 若矩陣B 滿足 BA=0，則B=0(D) A 通過初等行變換，必可以化為（Im 0）的形式(C)矩陣，下述結(jié)論中正確的是(4)設(shè)隨量X 和Y(A) 不同分布，記U = X - Y, V = X + Y ，則隨量U 與V 必然(D) 相(D)數(shù)為零(B)(C) 相數(shù)不為零1995 年 第 13 頁：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全配套光盤1995 年數(shù)學(xué)試題參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn)(5) 設(shè)隨量X 服從正態(tài)分布（N m , s 2 ）,則隨著s 的增大，概率P s X - m( C) (A) 單調(diào)增大(B)單調(diào)減小(C) 保持不變(D

27、) 增減不定三、(本題滿分 6 分)1,x 0設(shè) f (x) = ，試討論 f (x) 在 x = 0 處的連續(xù)性和可導(dǎo)性. 1x2x0= 1,解：(1) 由 lim1 分xcos x21xlimcos t dt = lim2= 1 ,2 分x1x0+0x0+可知lim f (x) = 1 =f (0) ，于是，函數(shù) f (x) 在 x = 0 處連續(xù)3 分x0(2) 分別求 f (x) 在 x = 0 處的左右導(dǎo)數(shù)，1 2(1- cos2f- (0) = lim3- 2-sin x2sin= lim= lim= 0 ，4 分30-xcos t 2dt - xf (0) = lim 1 1x2

28、02+2cos= lim= 0 .5 分2x2x0+x0+由于左、右導(dǎo)數(shù)都等于 0,可見 f (x) 在 x = 0 處可導(dǎo).且 f(0) = 0 .6 分注：若只說明 f (x) 在 x = 0 處可導(dǎo)，并說明可導(dǎo)一定連續(xù)，仍給滿分.四、(本題滿分 6 分)t3xf (x) =f ( )dt + e2 x已知連續(xù)函數(shù) f (x) 滿足條件,求 f (x) .30解：兩端同時對 x 求導(dǎo)數(shù)，得一階線性微分方程 f (x) -3 f (x) = 2e2x1 分= (2e2= (2 e- 2e2x.解此方程,有 f (x)4 分由于 f (0) = 1, 可得c = 3.于是 f (x) = 3e

29、3x - 2e2x .5 分6 分1995 年 第 14 頁：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全配套光盤1995 年數(shù)學(xué)試題參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn)五、(本題滿分 6 分)將函數(shù) y = ln(1- x - 2x2 ) )解： ln(1-ln(1+ x) = x -x 的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間.)(1+n)1 分+L,其收斂區(qū)間為(-1,1;3 分23(-2n)n11ln(1- 2x) = (-2x) -+L, 其收斂區(qū)間為- , ).5 分2 223nx)nn于是有, ln(1-n(-1)n+1 - 2nn=1= n=1xn , 其收斂區(qū)間為- 1 , 1 ).2 26 分n六、(本題滿分 5 分)+ +-( x

30、 + y )22計算min x, y edxdy .- -+yx22xedx +edxye- y dy22解： I =edy- y- x- x2 分-1212+= -edy -2 y2edx = -edx.-2 x2-2 x23 分-tdt作換元,令 x =, dx =，有2e 2 dt = -22p- t2- t2121+ e 2 dtI = -4 分2p2-= - 2p2p , 2= -5 分- t21+其中用到泊松積分e 2 dt = 1.2p七、(本題滿分 6 分)-設(shè)某的需求函數(shù)為Q = Q(P) ,函數(shù)為 R = PQ ,其中 P 為價格, Q 為需求量dR |= a 0 ,收（的

31、產(chǎn)量）， Q(P) 是單調(diào)減函數(shù)，如果當(dāng)價格為 P 時，邊際0dQQ=Q0dR益對價格的邊際效應(yīng)dP= c 1，求 P 和Q .P=P00p01995 年 第 15 頁：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全配套光盤1995 年數(shù)學(xué)試題參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn)dP dRdQdPdQ1= P + - P (-P) = P(1-) ，解：由R = PQ 對Q 求導(dǎo)，有= P + QdQ E pQdRdQ1ab= P0 (1- b) = a . 即 P0 = b -1.于是3 分Q=Q 0dQ又由R = PQ 對Q 求導(dǎo)，有 dR = Q + P dQ = Q -(-Q) = Q(1- E ) ，QdPPpdPdPdRdP=

32、Q(1- E) = c.故5 分P=P0p0c因此Q0 = 1- b .6 分八、(本題滿分 6 分)設(shè) f (x) 、 g(x) 在區(qū)間 -a, a ( a 0 ) 上連續(xù)， g(x) 為偶函數(shù)，且 f (x) 滿足條件f (x) + f (-x) = A( A 為常數(shù))aaf (x)g(x)dx = Ag(x)dx ；p(1) 證明:-a0sin x arctgex dx.(2) 利用(1)的結(jié)論計算定積分2p2=a0af (x)g(x)dx =f (x)g(x)dx +f (x)g(x)dx證：(1)-a-a0= -x t00a-f (-t)g(-t)dt =f (-x)g(x)dx .而f (x)g(x)dx2 分-aa0aaaf (x)g(x)dx =f (-x)g(x)dx +f (x)g(x)dx于是-a00aa= f (x) + f (-x)g(x)dx = Ag(x)dx .3 分00(2) 取 f (x) = arctgex , g(x) = sin x , a = p ，則 f (x), g(x) 在- p , 上連續(xù)，且p22 2g (x) 為偶函數(shù). 由于(arctgex +arctge-x )=0 ，故arctgex +arctge-x =A ，4 分令 x = 0 ，得2arctg1 = A ，故 A = p .從而 f (x) + f (-x