動態(tài)幾何變化問題

1、 -動態(tài)幾何變化問題()以運動的觀點探究幾何圖形部分變化規(guī)律的問題，稱之為動態(tài)幾何問題.動態(tài)幾何問題充分體現(xiàn)了數(shù)學中的“變”與“不變”的和諧統(tǒng)一，其特點是圖形中的某些元素（點、線段、角等）或某部分幾何圖形按一定的規(guī)律運動變化，從而又引起了其它一些元素的數(shù)量、位置關系、圖形重疊部分的面積或某部分圖形的形狀等發(fā)生變化，但是圖形的一些元素數(shù)量和關系在運動變化的過程中卻互相依存，具有一定的規(guī)律可尋.1.了解動態(tài)幾何問題涉及的常見情況；2.掌握講義中涉及的動態(tài)幾何變換的思考策略與解題方法；3.數(shù)形結合、空間想象能力和綜合分析能力的訓練。本部分建議時長5分鐘“知識結構”這一部分的教學，老師在教學時刻根據(jù)每

2、種情況進行簡單例舉，也可讓學生進行回顧例舉考點一、建立動點問題的函數(shù)解析式動點問題反映的是一種函數(shù)思想,由于某一個點或某圖形的有條件地運動變化,引起未知量與已知量間的一種變化關系,這種變化關系就是動點問題中的函數(shù)關系.下面結合中考試題舉例分析.一、應用勾股定理建立函數(shù)解析式。二、應用比例式建立函數(shù)解析式。三、應用求圖形面積的方法建立函數(shù)關系式。考點二、動態(tài)幾何型壓軸題動態(tài)幾何特點-問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關系；分析過程中，特別要關注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置。）動點問題一直是中考熱點，近幾年考查探究運動中的特殊性：等腰三角形、直

3、角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。下面就此問題的常見題型作簡單介紹，解題方法、關鍵給以點撥。一、 以動態(tài)幾何為主線的壓軸題。（一）點動問題。 （二）線動問題。 （三）面動問題。二、解決動態(tài)幾何問題的常見方法有:1、特殊探路，一般推證。2、動手實踐，操作確認。3、建立聯(lián)系，計算說明。三、專題二總結，本大類習題的共性：1代數(shù)、幾何的高度綜合（數(shù)形結合）；著力于數(shù)學本質(zhì)及核心內(nèi)容的考查;四大數(shù)學思想：數(shù)學結合、分類討論、方程、函數(shù)2以形為載體，研究數(shù)量關系；通過設、表、列獲得函數(shù)關系式；研究特殊情況下的函數(shù)值?？键c三、雙動點問題點動、線動、形動構成的問題稱

4、之為動態(tài)幾何問題. 它主要以幾何圖形為載體，運動變化為主線，集多個知識點為一體，集多種解題思想于一題. 1 以雙動點為載體，探求函數(shù)圖象問題。2 以雙動點為載體，探求結論開放性問題。3 以雙動點為載體，探求存在性問題。4 以雙動點為載體，探求函數(shù)最值問題。這類試題信息量大,解題時需要用運動和變化的眼光去觀察和研究問題,挖掘運動、變化的全過程,并特別關注運動與變化中的不變量、不變關系或特殊關系,動中取靜,靜中求動?？键c四、函數(shù)中因動點產(chǎn)生的相似三角形問題 考點五、以圓為載體的動點問題動點問題是初中數(shù)學的一個難點，中考經(jīng)?？疾欤幸活悇狱c問題，題中未說到圓，卻與圓有關，只要巧妙地構造圓，以圓為載體

5、，利用圓的有關性質(zhì)，問題便會迎刃而解；此類問題方法巧妙，耐人尋味。本部分建議時長25分鐘1、建立函數(shù)型、1.（）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，動點P從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿AB向B點運動，同時動點Q從B點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿BCCD方向運動，當P運動到B點時，P、Q兩點同時停止運動設P點運動的時間為t，APQ的面積為S，則S與t的函數(shù)關系的圖象是（ ） A B CD【分析】動點Q從B點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿BCCD方向運動， 點Q運動到點C的時間為4÷2=2秒。 由題意得，當0t2時，即點P在AB上，點Q在BC上，AP=t，BQ=2t，為開口

6、向上的拋物線的一部分。當2t4時，即點P在AB上，點Q在DC上，AP=t，AP上的高為4，為直線（一次函數(shù)）的一部分。觀察所給圖象，符合條件的為選項D。故選D。答案：D2.（）如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，動點P、Q同時從點A出發(fā)，以1cm/s的速度分別沿ABC和ADC的路徑向點C運動，設運動時間為x（單位：s），四邊形PBDQ的面積為y（單位：cm2），則y與x（0x8）之間函數(shù)關系可以用圖象表示為（ ）ABCD【分析】0x4時，y=SABDSAPQ=×4×4xx=x2+8，4x8時，y=SBCDSCPQ=×4×4（8x）（8x）=（8x）2+8

7、，y與x之間的函數(shù)關系可以用兩段開口向下的二次函數(shù)圖象表示，縱觀各選項，只有B選項圖象符合。故選B。答案：B 3. （）直線與坐標軸分別交于兩點，動點同時從點出發(fā)，同時到達點，運動停止點沿線段運動，速度為每秒1個單位長度，點沿路線運動（1）直接寫出兩點的坐標；（2）設點的運動時間為秒，的面積為，求出與之間的函數(shù)關系式；xAOQPBy（3）當時，求出點的坐標，并直接寫出以點為頂點的平行四邊形的第四個頂點的坐標解：（1）A（8，0）B（0，6）（2）點由到的時間是（秒）點的速度是（單位/秒）當在線段上運動（或0）時， 當在線段上運動（或）時，,如圖，作于點，由，得，（3） 1、 解決這類問題，要善

8、于探索圖形的運動特點和規(guī)律，抓住變化中圖形的性質(zhì)與特征，化動為靜，以靜制動。2、 解決運動型試題需要用運動與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握圖形運動與變化的全過程，抓住其中的等量關系和變量關系，并特別關注一些不變量和不變關系或特殊關系.3、動中求靜，即在運動變化中探索問題中的不變性；動靜互化，抓住“靜”的瞬間，使一般情形轉(zhuǎn)化為特殊問題，從而找到“動與靜”的關系1. （）如圖為反比例函數(shù)在第一象限的圖象，點A為此圖象上的一動點，過點A分別作ABx軸和ACy軸，垂足分別為B，C則四邊形OBAC周長的最小值為（ ）A 4 B 3 C 2 D 12.（）如圖，在梯形ABCD中，ADBC，A=60

9、76;，動點P從A點出發(fā)，以1cm/s的速度沿著ABCD的方向不停移動，直到點P到達點D后才停止.已知PAD的面積s（單位：）與點P移動的時間t（單位：s）的函數(shù)關系式如圖所示，則點P從開始移動到停止移動一共用了 秒（結果保留根號）.3. （）如圖（1）所示，E為矩形ABCD的邊AD上一點，動點P、Q同時從點B出發(fā)，點P沿折線BEEDDC運動到點C時停止，點Q沿BC運動到點C時停止，它們運動的速度都是1cm/秒設P、Q同發(fā)t秒時，BPQ的面積為ycm2已知y與t的函數(shù)關系圖象如圖（2）（曲線OM為拋物線的一部分），則下列結論：AD=BE=5；cosABE=；當0t5時，；當秒時，ABEQBP；

10、其中正確的結論是 （填序號）4. （）在RtABC中，C=90°，AC = 3，AB = 5點P從點C出發(fā)沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AC返回；點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交折線QB-BC-CP于點E點P、Q同時出發(fā)，當點Q到達點B時停止運動，點P也隨之停止設點P、Q運動的時間是t秒（t0）（1）當t = 2時，AP = ，點Q到AC的距離是 ；（2）在點P從C向A運動的過程中，求APQ的面積S與t的函數(shù)關系式；（不必寫出t的取值范圍）（3）在點E從B向C

11、運動的過程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值若不能，請說明理由；ACBPQED圖16（4）當DE經(jīng)過點C 時，請直接寫出t的值 答案：1.A 2. 4 3.ACBPQED圖44.解：（1）1，； （2）作QFAC于點F，如圖3， AQ = CP= t，由AQFABC， 得 ACBPQED圖5AC(E)BPQD圖6GAC(E)BPQD圖7G，即（3）能 當DEQB時，如圖4 DEPQ，PQQB，四邊形QBED是直角梯形 此時AQP=90°由APQ ABC，得，即 解得 如圖5，當PQBC時，DEBC，四邊形QBED是直角梯形此時APQ =90

12、6;由AQP ABC，得 ，即 解得（4）或點P由C向A運動，DE經(jīng)過點C連接QC，作QGBC于點G，如圖6，由，得，解得點P由A向C運動，DE經(jīng)過點C，如圖7，2、以圓為載體型、1. （）如圖所示，已知A點從點（，）出發(fā)，以每秒個單位長的速度沿著x軸的正方向運動，經(jīng)過t秒后，以O、A為頂點作菱形OABC，使B、C點都在第一象限內(nèi)，且AOC=600，又以P（，）為圓心，PC為半徑的圓恰好與OA所在直線相切，則t= .答案：2.（）如圖，C為O直徑AB上一動點，過點C的直線交O于D，E兩點，且ACD=45°，DFAB于點F，EGAB于點G，當點C在AB上運動時，設AF=x，D

13、E=y，下列中圖象中，能表示y與x的函數(shù)關系式的圖象大致是（ ） ABCD答案： A3. （）如圖，邊長為6的正方形ABCD內(nèi)部有一點P,BP=4，PBC=60°，點Q為正方形邊上一動點，且PBQ是等腰三角形，則符合條件的Q點有 個.【分析】如圖，符合條件的Q點有5個。 當BP=BQ時，在AB，BC邊上各有1點； 當BP=QP時，可由銳角三角函數(shù)求得點P到AB的距離為2，到CD的距離為4，到BC的距離為，到AD的距離為，故在BC，CD，DA邊上各有1點； 當BQ=PQ時，BP的中垂線與AB，BC各交于1點，故在AB，BC邊上各有1點。 又當Q在BC邊上時，由于BPQ是等邊三角形，故3

14、點重合。 因此，符合條件的Q點有5個。答案：54. （）在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點，直線經(jīng)過拋物線的頂點且與軸垂直，垂足為.(1) 求該二次函數(shù)的表達式；(2) 設拋物線上有一動點從點處出發(fā)沿拋物線向上運動,其縱坐標隨時間)的變化規(guī)律為.現(xiàn)以線段為直徑作.當點在起始位置點處時，試判斷直線與的位置關系，并說明理由；在點運動的過程中，直線與是否始終保持這種位置關系? 請說明你的理由；若在點開始運動的同時，直線也向上平行移動，且垂足的縱坐標隨時間的變化規(guī)律為，則當在什么范圍內(nèi)變化時，直線與相交? 此時，若直線被所截得的弦長為,試求的最大值.答案：解：（1）將點和點的坐標代入,得

15、，解得。二次函數(shù)的表達式為。（2）當點在點處時，直線與相切。理由如下：點，圓心的坐標為，的半徑為。又拋物線的頂點坐標為（0，1），即直線上所有點的巫坐標均為1，從而圓心到直線的距離為。直線與相切。 在點運動的過程中，直線與始終保持相切的位置關系。理由如下：設點，則圓心的坐標為，圓心到直線的距離為。又，。則的半徑為。直線與始終相切。由知的半徑為，又圓心的縱坐標為，直線上的點的縱坐標為，()當,即時，圓心到直線的距離為。則由，得，解得, 此時。()當,即時, 圓心到直線的距離為。則由,得，解得。此時。綜上所述，當時,直線與相交。當時，圓心到直線的距離為，又半徑為，。當時, 取得最大值為。1. 關于

16、圓的動點問題要考慮圓的對稱性；2. 建立函數(shù)模型解決動點問題是很好的突破口；3. 空間想象能力的培養(yǎng)注重平時的積累。本部分建議時長10分鐘1. （）如圖，O1和O2內(nèi)切于A，O1的半徑為3，O2的半徑為2，點P為O1上的任一點（與點A不重合），直線PA交O2于點C，PB切O2于點B，則的值為（ ）（A） （B） （C） （D）2.（）如圖，菱形ABCD中，AB=2，A=120°，點P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為（ ）A1 B C 2 D1OABlxy3. （）如圖，已知直線l經(jīng)過點A(1，0)，與雙曲線y(x0)交于點B(2，1)過點P(p，

17、p1)(p1)作x軸的平行線分別交雙曲線y(x0)和y(x0)于點M、N(1)求m的值和直線l的解析式；(2)若點P在直線y2上，求證：PMBPNA；(3)是否存在實數(shù)p，使得SAMN4SAMP？若存在，請求出所有滿足條件的p的值；若不存在，請說明理由4. （）已知拋物線經(jīng)過及原點（1）求拋物線的解析式（由一般式得拋物線的解析式為）（2）過點作平行于軸的直線交軸于點，在拋物線對稱軸右側且位于直線下方的拋物線上，任取一點，過點作直線平行于軸交軸于點，交直線于點，直線與直線及兩坐標軸圍成矩形是否存在點，使得與相似？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由（3）如果符合（2）中的點在軸的上方，連結，

18、矩形內(nèi)的四個三角形之間存在怎樣的關系？為什么？答案：1.B 2.B3.解：(1)由點B(2，1)在y上，有2，即m2。 設直線l的解析式為，由點A(1，0)，點B(2，1)在上，得 ， ，解之，得 所求 直線l的解析式為 。 (2)點P(p，p1)在直線y2上，P在直線l上，是直線y2和l的交點，見圖（1）。 根據(jù)條件得各點坐標為N（1，2），M（1，2），P（3，2）。 NP3（1）4，MP312，AP， BP 在PMB和PNA中，MPBNPA，。 PMBPNA。 (3)SAMN。下面分情況討論： 當1p3時，延長MP交X軸于Q，見圖（2）。設直線MP為則有 解得 則直線MP為 當y0時，x，即點Q的坐標為（，0）。 則， 由24有，解之，p3（不合，舍去），p。 當p3時，見圖（1）SAMPSAMN。不合題意。 當p>3時，延長PM交X軸于Q，見圖（3）。 此時，SA