《曲率半徑》ppt課件

1、上節(jié)課內(nèi)容回想上節(jié)課內(nèi)容回想 第四講第四講 橢球面上幾種曲橢球面上幾種曲率半徑率半徑橢球面根本幾何元素及其相互關(guān)系橢球面根本幾何元素及其相互關(guān)系21 eba21 eab21 eac21 eca21eee21eee222 e輔助函數(shù)輔助函數(shù)BeW22sin121 eWV21 eVWBeV22cos121 e 小值大值21 e 大值小值O參考橢球參考橢球abNSWE),(eecba 上節(jié)課內(nèi)容回想上節(jié)課內(nèi)容回想 第四講第四講 橢球面上幾種曲橢球面上幾種曲率半徑率半徑重要結(jié)論重要結(jié)論WaNPK )1(2eNPQ BNeOQBNeOKNeQKcossin222構(gòu)成直角三角形構(gòu)成直角三角形OBKPP P

2、點(diǎn)的法線點(diǎn)的法線QNSWE橢球面上一點(diǎn)的法線，界于橢球面和短軸間的長(zhǎng)度等于橢球面上一點(diǎn)的法線，界于橢球面和短軸間的長(zhǎng)度等于N，在赤道面，在赤道面上側(cè)的長(zhǎng)度等于上側(cè)的長(zhǎng)度等于N1-e2，在赤道面下側(cè)的長(zhǎng)度等于，在赤道面下側(cè)的長(zhǎng)度等于Ne2。2NeQK 本節(jié)課主要內(nèi)容本節(jié)課主要內(nèi)容 第四講第四講 橢球面上幾種曲橢球面上幾種曲率半徑率半徑 恣意方向法截線曲率半徑。恣意方向法截線曲率半徑。 子午圈和卯酉圈曲率半徑。子午圈和卯酉圈曲率半徑。 曲率半徑變化規(guī)律。曲率半徑變化規(guī)律。 平均曲率半徑。平均曲率半徑。一一.恣意方向法截線曲率半徑恣意方向法截線曲率半徑Normal transversal curva

3、ture radius at random directions)1 1、法截面、法截線的概念、法截面、法截線的概念法截面：包含橢球面某點(diǎn)法線的平面如平面法截面：包含橢球面某點(diǎn)法線的平面如平面P1PP2P1PP2。法截線：法截面與橢球面的交線，如曲線法截線：法截面與橢球面的交線，如曲線P1PP2 P1PP2 ，是一平面曲線。是一平面曲線。 第四講第四講 橢球面上幾種曲橢球面上幾種曲率半徑率半徑3 3、根本思緒、根本思緒 2 2、法截線的作用、法截線的作用 YZXP2POP1BK橢球面方程橢球面方程1222222 bZaYaX一一.恣意方向法截線曲率半徑恣意方向法截線曲率半徑(Normal tr

4、ansversal curvature radius at random directions)4 4、新坐標(biāo)系、新坐標(biāo)系P-xyzP-xyz的定義的定義 第四講第四講 橢球面上幾種曲橢球面上幾種曲率半徑率半徑坐標(biāo)原點(diǎn)：與坐標(biāo)原點(diǎn)：與P P點(diǎn)重合；點(diǎn)重合；z z軸：與軸：與P P點(diǎn)法線點(diǎn)法線PKPK重合；重合；x x軸：為法截線軸：為法截線P1PP2P1PP2在在P P 點(diǎn)處的切線方向；點(diǎn)處的切線方向；y y軸：與軸：與P P點(diǎn)的法截面垂直，點(diǎn)的法截面垂直， 使坐標(biāo)系使坐標(biāo)系P-xyzP-xyz成右手成右手系系OZYBP1XP2KPxyzP-xyz中法截面方程中法截面方程0 y一一.恣意方向法

5、截線曲率半徑恣意方向法截線曲率半徑(Normal transversal curvature radius at random directions)v5 5、求恣意方向法截線曲率半徑根本步驟、求恣意方向法截線曲率半徑根本步驟 第四講第四講 橢球面上幾種曲橢球面上幾種曲率半徑率半徑求P-xyz中的橢球面方程求恣意方向法截線方程求恣意方向法截線曲率半徑OZYBP1XP2KPxyz一一.恣意方向法截線曲率半徑恣意方向法截線曲率半徑(Normal transversal curvature radius at random directions)6 6、公式推導(dǎo)、公式推導(dǎo) 第四講第四講 橢球面上幾種

6、曲橢球面上幾種曲率半徑率半徑(1) P-xyz(1) P-xyz中的橢球面方程中的橢球面方程ZXYOXPZPBKPP1P1P2P2P P點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)P點(diǎn)在O-XYZ中的坐標(biāo)兩坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置關(guān)系： BeNPPZYBNPPXPPPsin)1(0cos212一一.恣意方向法截線曲率半徑恣意方向法截線曲率半徑(Normal transversal curvature radius at random directions)6 6、公式推導(dǎo)、公式推導(dǎo) 第四講第四講 橢球面上幾種曲橢球面上幾種曲率半徑率半徑(1) P-xyz(1) P-xyz中的橢球面方程中的橢球面方程移軸：將原點(diǎn)O移至P點(diǎn)得坐標(biāo)系P-

7、XYZZXYOBKP移軸移軸BeNBNZYXZYXZYXZYXPPPsin)1 (0cos2YZX一一.恣意方向法截線曲率半徑恣意方向法截線曲率半徑(Normal transversal curvature radius at random directions)6 6、公式推導(dǎo)、公式推導(dǎo) 第四講第四講 橢球面上幾種曲橢球面上幾種曲率半徑率半徑(1) P-xyz(1) P-xyz中的橢球面方程中的橢球面方程v轉(zhuǎn)軸：使兩坐標(biāo)系各軸重合v 兩次轉(zhuǎn)軸)第一次轉(zhuǎn)軸：第一次轉(zhuǎn)軸： P-X P-XY YZ Z繞繞Y Y順時(shí)針旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(90(90+B)+B)，使，使Z Z軸與軸與P P 點(diǎn)的橢球面法線

8、重合，得坐點(diǎn)的橢球面法線重合，得坐標(biāo)系標(biāo)系P-XP-XY YZ ZKZXOXZYYP PBO第一次轉(zhuǎn)軸第一次轉(zhuǎn)軸90+B一一.恣意方向法截線曲率半徑恣意方向法截線曲率半徑(Normal transversal curvature radius at random directions)6 6、公式推導(dǎo)、公式推導(dǎo) 第四講第四講 橢球面上幾種曲橢球面上幾種曲率半徑率半徑(1) P-xyz(1) P-xyz中的橢球面方程中的橢球面方程KZXOXZYYP PBO第一次轉(zhuǎn)軸第一次轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)換關(guān)系為 ZYXBRZYXY)90( ZYXBBBBZYX)90cos(0)90sin(010)90sin(0)90co

9、s(一一.恣意方向法截線曲率半徑恣意方向法截線曲率半徑(Normal transversal curvature radius at random directions)6 6、公式推導(dǎo)、公式推導(dǎo) 第四講第四講 橢球面上幾種曲橢球面上幾種曲率半徑率半徑(1) P-xyz(1) P-xyz中的橢球面方程中的橢球面方程v轉(zhuǎn)軸：使兩坐標(biāo)系各軸重合兩次轉(zhuǎn)軸)第二次轉(zhuǎn)軸：第二次轉(zhuǎn)軸： P-X P-XY YZ Z繞繞Z Z軸，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角軸，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角A AA A為為P P點(diǎn)處法截線方位角，得坐標(biāo)點(diǎn)處法截線方位角，得坐標(biāo)系系P-xyzP-xyzO第二次轉(zhuǎn)軸第二次轉(zhuǎn)軸XKZYP PBOzxy yA一一.恣

10、意方向法截線曲率半徑恣意方向法截線曲率半徑(Normal transversal curvature radius at random directions)6 6、公式推導(dǎo)、公式推導(dǎo) 第四講第四講 橢球面上幾種曲橢球面上幾種曲率半徑率半徑(1) P-xyz(1) P-xyz中的橢球面方程中的橢球面方程O(píng)第二次轉(zhuǎn)軸第二次轉(zhuǎn)軸XKZYP PBOzxy yA轉(zhuǎn)換關(guān)系為 zyxAAAAzyxARZYXZ1000cossin0sincos)(v第二次轉(zhuǎn)軸一一.恣意方向法截線曲率半徑恣意方向法截線曲率半徑(Normal transversal curvature radius at random dir

11、ections)6 6、公式推導(dǎo)、公式推導(dǎo) 第四講第四講 橢球面上幾種曲橢球面上幾種曲率半徑率半徑(1) P-xyz(1) P-xyz中的橢球面方程中的橢球面方程O(píng)第二次轉(zhuǎn)軸第二次轉(zhuǎn)軸XKZYP PBOzxy yA綜合一次移軸和兩次轉(zhuǎn)軸得 兩坐標(biāo)系的關(guān)系 PPPZYZYXzyxARBRZYX)()90(BeNBzBAyAxZAyAxYBNBzBAyAxXsin)1 (sincos)sincos(cossincoscossin)sincos(2一一.恣意方向法截線曲率半徑恣意方向法截線曲率半徑(Normal transversal curvature radius at random direc

12、tions)6 6、公式推導(dǎo)、公式推導(dǎo) 第四講第四講 橢球面上幾種曲橢球面上幾種曲率半徑率半徑(1) P-xyz(1) P-xyz中的橢球面方程中的橢球面方程將P-xyz與O-XYZ的關(guān)系代入得 1222222bZaYaX 0sincossincos222222 BzBAyAxeNzzyx(2) (2) 恣意方向法截線方程恣意方向法截線方程將法截面方程 y=0 代入上式得 0sincoscos22222BzBAxeNzzx一一.恣意方向法截線曲率半徑恣意方向法截線曲率半徑(Normal transversal curvature radius at random directions)6 6、

13、公式推導(dǎo)、公式推導(dǎo) 第四講第四講 橢球面上幾種曲橢球面上幾種曲率半徑率半徑(3) (3) 恣意方向法截線曲率半徑恣意方向法截線曲率半徑平面曲線曲率半徑公式平面曲線曲率半徑公式根據(jù)高等數(shù)學(xué)，平面曲線z=f(x) 上某點(diǎn)P處的曲率半徑為Pzx)(xfzPPdxzddxdzR 222321PAPPPdxzdRzxdxdz 22100一一.恣意方向法截線曲率半徑恣意方向法截線曲率半徑(Normal transversal curvature radius at random directions) 第四講第四講 橢球面上幾種曲橢球面上幾種曲率半徑率半徑對(duì)法截線方程求二階導(dǎo)數(shù)代入曲率半徑公式可得BAeN

14、RA222coscos1 公式闡明 RA與L無(wú)關(guān) RA與所在的緯度B、法截線方位角A有關(guān) N為P點(diǎn)沿法線方向至橢球短軸的間隔PK A為法截線方位角；e為第二偏心率6 6、公式推導(dǎo)、公式推導(dǎo)(3) (3) 恣意方向法截線曲率半徑恣意方向法截線曲率半徑一一.恣意方向法截線曲率半徑恣意方向法截線曲率半徑(Normal transversal curvature radius at random directions) 第四講第四講 橢球面上幾種曲橢球面上幾種曲率半徑率半徑K恣意方向恣意方向法截線法截線卯酉圈卯酉圈A子午圈子午圈卯酉圈曲率半徑PB子午圈曲率半徑v兩個(gè)特殊方向的曲率半徑兩個(gè)特殊方向的曲率

15、半徑恣意方向法截線 曲率半徑二二.子午圈曲率半徑子午圈曲率半徑 Curvature radius of meridian 第四講第四講 橢球面上幾種曲橢球面上幾種曲率半徑率半徑(1) 構(gòu)成(2) 公式BAeNRA222coscos1 BeNRM220cos1 當(dāng)A=0或180時(shí)，子午圈曲率半徑，用M表示將A=0代入恣意方向法截線曲率半徑公式得二二.子午圈曲率半徑子午圈曲率半徑 Curvature radius of meridian 第四講第四講 橢球面上幾種曲橢球面上幾種曲率半徑率半徑化簡(jiǎn)詳細(xì)表達(dá)式BeNRM220cos1 2211eVWecaWaN BeVBeW2222cos1sin123

16、2223222)cos1()sin1()1(BecBeeaM332)1(VcWeaM二二.子午圈曲率半徑子午圈曲率半徑 Curvature radius of meridian 第四講第四講 橢球面上幾種曲橢球面上幾種曲率半徑率半徑(3)分析M的變化規(guī)律M是B的增函數(shù)BW、VM闡明在赤道上，M小于赤道半徑。逐漸減小M隨緯度的升高而增大，其值介于a(1-e2)和c之間在極點(diǎn)處，M為極曲率半徑c。0 B900 B90 B 211eVW 112VeW 2322)1()1(eceaMcMea )1 (2 ceaM21332)1(VcWeaM BeVBeW2222cos1sin1三三.卯酉圈曲率半徑卯酉

17、圈曲率半徑 Curvature radius of vertical circle 第四講第四講 橢球面上幾種曲橢球面上幾種曲率半徑率半徑(1)構(gòu)成(2)公式 BAeNRA222coscos1 NR 90當(dāng)A=90或270時(shí)，卯酉圈曲率半徑，用N表示將A=90代入恣意方向法截線曲率半徑公式得三三.卯酉圈曲率半徑卯酉圈曲率半徑 Curvature radius of vertical circle 第四講第四講 橢球面上幾種曲橢球面上幾種曲率半徑率半徑化簡(jiǎn)詳細(xì)表達(dá)式 2211eVWecaWaN BeVBeW2222cos1sin1BecBeaN2222cos1sin1VcWaNNR 90三三.卯

18、酉圈曲率半徑卯酉圈曲率半徑 Curvature radius of vertical circle 第四講第四講 橢球面上幾種曲橢球面上幾種曲率半徑率半徑(3)分析N的變化規(guī)律N是B的增函數(shù)BW、VN闡明在赤道上，卯酉圈是赤道，此時(shí)N為赤道半徑逐漸減小N隨緯度的升高而增大，其值介于a和c之間在極點(diǎn)處卯酉圈是子午圈曲率半徑N為極曲率半徑cVcWaN0 B900 B90 B 211eVW 112VeW 21ecaNcNa ceaN21 BeVBeW2222cos1sin1四四.M.M、N N與與RARA的關(guān)系的關(guān)系Relations of MRelations of M、N and RAN and

19、 RA 第四講第四講 橢球面上幾種曲橢球面上幾種曲率半徑率半徑(1) RA的最大值與最小值BAeNRA222coscos1 (2) RA隨A的變化當(dāng)當(dāng)A=0A=0或或A=180A=180時(shí)，時(shí)，RA=MRA=M，最小值；，最小值；當(dāng)當(dāng)A=90A=90或或A=270A=270時(shí)，時(shí)，RA=NRA=N，最大值，最大值當(dāng)當(dāng)A A由由0 0趨于趨于9090時(shí)，時(shí)，RARA逐漸增大由逐漸增大由M M趨于趨于N N變化變化當(dāng)當(dāng)A A由由9090趨于趨于180180時(shí)，時(shí)，RARA逐漸減小由逐漸減小由N N趨于趨于M M變化變化RARA隨隨A A的變化是以的變化是以180180為周期的，且對(duì)稱(chēng)于為周期的，且對(duì)稱(chēng)于M M、N N而變化而變化A180-A180+A360-A子午圈子午圈卯酉圈卯酉圈1432四四.M.M、N N與與RARA的關(guān)系的關(guān)系Relations of MRelations of M、N and RAN and RA 第四講第四講 橢球面上幾種曲橢球面上幾種曲率半徑率半徑(3) M、N與RA的數(shù)學(xué)關(guān)系BAeNRA222coscos1 歐拉定理NMVBeMABeMAMMNBAeAANRA222222222222)cos1 (cos)cos1 (sincoscoscossinAMANMNRA22sin