再談函數(shù)最小值的求法

1、再談函數(shù)最小值的求法312353上虞市春暉中學(xué)金雅芳題目：已知，求的最小值。 這是2003浙江省數(shù)學(xué)夏令營的一道測試試題，當(dāng)時(shí)參賽的同學(xué)中幾乎絕大部分同學(xué)都沒有解出來。從測試的反饋來看，對這道題大部分同學(xué)均覺得很容易下手，有一種似曾相識(shí)的感覺，疑是為不等式中的常規(guī)題，但是進(jìn)行了很多種嘗試以后均沒有收獲。當(dāng)然此題如直接通分變形十分復(fù)雜，顯然不行。那么如何求解呢？下面筆者就此題的解法及其變形作一些探索與推廣。1、 幾種不同的解法解法一：解法二：）解法三：設(shè)可以求得：時(shí)取得最小值注：（一題多解）方法一配湊技巧較高，相比之下方法二更具有一般性，方法三最簡單，突出體現(xiàn)新教材的思想，同學(xué)們了解導(dǎo)數(shù)，但對其

2、在三角中的應(yīng)用幾乎沒有接觸，值得推薦應(yīng)用。從上面已經(jīng)了解的最小值現(xiàn)已會(huì)求，若改變題設(shè)條件，你會(huì)求嗎？（一題多變）推廣應(yīng)用1、改變系數(shù)例1、 已知，求的最小值。解：求解方法同前，先平方再乘以，化簡可得（，具體解略。例2、 設(shè)（數(shù)學(xué)通報(bào)2001年8月號(hào)問題1326號(hào)）。解：根據(jù)前面的解法二：推廣應(yīng)用2：升高次數(shù)例3、已知，求的最小值。解：（）=（）例4、已知分析：利用前面的方法，由展開之后，再配湊可以求得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，注：由于解答的過程較繁，篇幅較大，這里就不再詳細(xì)的敘述了，有興趣的同行可以共同來商榷。推廣應(yīng)用3、敢于嘗試，大膽變形：例5、已知 的最小值。解：利用以上結(jié)論，把，然后進(jìn)行配湊，例6、

3、已知 的最小值。分析：大膽嘗試，印證猜想。配上，進(jìn)行化簡。解：=（）我們來考察：當(dāng)對于以上問題，還可以把的二元形式推廣到元形式，只要我們平時(shí)能大膽的猜測，必能得到更理想的狀況。著名的科學(xué)家牛頓說過：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)?！蓖ㄟ^一次一次的試驗(yàn)引發(fā)猜想，再把猜想的結(jié)果加以論證，這不僅是科學(xué)發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的一種重要方法，而且也是我們求解數(shù)學(xué)問題的一條有效的途徑；再者求解數(shù)學(xué)問題的有效措施之一-“類比”也會(huì)給我們數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和教學(xué)開拓新的局面，通過類比可發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)知識(shí)和新的解題方法；通過類比可進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力和創(chuàng)造思維能力；通過類比可深刻揭示知識(shí)的內(nèi)涵和外延。素質(zhì)教育的當(dāng)今，數(shù)學(xué)競賽更趨于一般化，考得就是學(xué)生平時(shí)的積累和心細(xì)膽大的類比和猜測處理，在學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維過程中，通過變形與挑戰(zhàn)給出一題多解，一題多變，一題多思，有利于擴(kuò)展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，開拓解題思路，是培養(yǎng)學(xué)生分析問題能力和訓(xùn)練理性思維的一種有效思維模式。所以同行們