20150102解答12高等代數(shù)1期末試卷

1、2012學(xué)年第一學(xué)期 高等代數(shù)(A卷) 一、選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）1、設(shè)為階方陣，下列運(yùn)算正確的是（ D）(A) (B) (C） (D) 若可逆，則分析：，矩陣乘法不滿足交換律，故兩者不一定相等；同理，；2、設(shè)是矩陣，其秩為5，則齊次線性方程組 （ C ）(A) 基礎(chǔ)解系恰有5個(gè)解向量 (B) 基礎(chǔ)解系恰有6個(gè)解向量 (C) 基礎(chǔ)解系恰有1個(gè)解向量 (D) 只有零解分析：基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)：n(未知數(shù)個(gè)數(shù))-r（A的秩）0=6-5=13、若矩陣的秩為，則下列結(jié)論正確的是（ D ）(A)的任何級(jí)數(shù)不超過(guò)的子式都不等于零 (B)的任何級(jí)數(shù)不超過(guò)的子式都等于零(C)的任何級(jí)

2、數(shù)大于的子式都不等于零 (D)的任何級(jí)數(shù)大于的子式都等于零分析：細(xì)讀課本134頁(yè)定理6.4、 設(shè)是n維列向量，則線性無(wú)關(guān)的充要條件是（ D ）(A) 向量組中任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān)(B) 存在一組不全為0的數(shù)，使得(C) 向量組中存在一個(gè)向量不能由其余向量線性表示(D) 向量組中任意一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示5、設(shè)都是階正定矩陣，則下列結(jié)論正確的是（ C ）(A) 是正定矩陣 (B) 是正定矩陣 (C) 是可逆矩陣 (D) 是實(shí)對(duì)稱矩陣分析：正定二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）1、設(shè)和是兩個(gè)多項(xiàng)式,若，則；證明 由于，所以存在多項(xiàng)式使得 于是 故 . 2、六階行列式中，這

3、一項(xiàng)該帶 正 號(hào)；分析：該項(xiàng)符號(hào)為3、設(shè)為三階方陣，為的伴隨矩陣，且有，則 ；分析：，故=4、設(shè)的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組是，則 ；分析：依題意線性相關(guān)，從而5、若二次型是正定的，則滿足條件：。三、判斷題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）（請(qǐng)?jiān)谀阏J(rèn)為對(duì)的小題對(duì)應(yīng)的括號(hào)內(nèi)打“”，否則打“´”）1均為階復(fù)對(duì)稱矩陣，則合同的充要條件是；（ ）2、含有個(gè)未知數(shù)的非齊次線性方程組有解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣的秩等于；（ ´ ）分析：3、均為矩陣，若，則或者；（´ ）分析：矩陣乘法不滿足交換律，消去律，即4、如果向量組線性相關(guān)，則每個(gè)都可以表示為其余向量的線性組合；（&#

4、180; ）分析：向量組線性相關(guān)，則至少有一個(gè)都可以表示為其余向量的線性組合；5、若多項(xiàng)式和的最大公因式唯一，則。（ ）四、簡(jiǎn)答題（本大題共4小題，每小題8分，共32分）1、設(shè)，又，求矩陣以及它的逆矩陣。解：因?yàn)椋杂校?（2分）而 （4分）， （6分）所以，注意：（1）利用為分塊對(duì)角矩陣（2） （3）設(shè)A為n階矩陣，涉及的題目充分利用以下公式：2、求階行列式的值。解 ：行列式特點(diǎn)：每一行的和相等為“1” , 每一列的和相等為“1” （4分） （8分）3、討論取何值時(shí)，線性方程組 (1) 有唯一解；（2）無(wú)解； （3）有無(wú)窮多個(gè)解，并求出此方程組的通解。解：方程組的系數(shù)行列式為 （1分）（1

5、） 當(dāng)且 時(shí)，方程組有唯一解; （2分）（2） 時(shí)，階梯型，此時(shí)，方程組無(wú)解; （4分）（3）時(shí)，最簡(jiǎn)型，此時(shí)方程組有無(wú)窮多解， （6分）由最簡(jiǎn)型的一般解為（為自由未知量），所以所求通解為為任意常數(shù)。 （8分）4、設(shè)有二次型（1） 寫(xiě)出二次型的矩陣；（2） 把二次型經(jīng)過(guò)非退化線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出所用的非退化線性替換。解： (1) 二次型的矩陣為 （2分） （6分）令 則非退化線性變換 （7分）把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形 。 （8分）說(shuō)明：A作行變換而E不變，接著”A和E”同時(shí)作和行變換相同的列變換，當(dāng)A化為對(duì)角元為“1，-1”的對(duì)角陣時(shí)，E化為“C”五、證明題（本大題共4小題，每小題7分，共28

6、分）1、證明：如果均是正定矩陣，則也是正定矩陣。證： 因?yàn)锳和B 都是正定矩陣，所以A和B 都是實(shí)對(duì)稱矩陣，又因此是實(shí)對(duì)稱矩陣。 （2分） 由A和B 都是正定矩陣知A和B都和E合同，即存在可逆陣 使得； （3分）構(gòu)造分塊陣，則C 可逆，且 （4分） （6分） 即與單位陣合同，結(jié)合知是正定矩陣。 （7分）2、設(shè)和是兩個(gè)同型矩陣，證明：秩秩+秩。證明方法1： 設(shè)矩陣的列向量組為，其極大無(wú)關(guān)組為 ， （1分）矩陣的列向量組為，其極大無(wú)關(guān)組為 ， （2分）則， （3分）， （4分）故，即的列向量組可由線性表示 （6分）則秩=秩+秩 （7分）注意：A組可由B組表示證明方法二：由課本166頁(yè)結(jié)論，秩秩+秩=秩+秩負(fù)號(hào)不會(huì)改變行列式是否為零的性質(zhì)，因此不會(huì)改變矩陣的秩，故 秩=秩3、用代表，代表，設(shè)，證明：證明：因?yàn)樗赃@表明是與的一個(gè)公因式；又 而，由課本習(xí)題一題13結(jié)論可知，即 式左右兩邊相乘知是是與的組合，故由課本習(xí)題一題8結(jié)論可知是與的最大公因式。 因此，。 4、向量組線性相關(guān)的充要條件是至少有一個(gè)向量可以被它前面的線性表示。證： “必要性” 因?yàn)橄蛄拷M線性相關(guān)，所以存在不全為零的數(shù)，使得 （1