萬學海文數(shù)學資料

1、 鐵軍 教授高 等 數(shù) 學 數(shù)學考試根據(jù)工學、經(jīng)濟學、管理學各學科和專業(yè)對碩士研究生入學所應具備的數(shù)學知識和能力的不同要求，將數(shù)學統(tǒng)考試卷分為數(shù)學一、數(shù)學二、數(shù)學三和數(shù)學四。第一章 函數(shù)及其特性函數(shù)是微積分的研究對象，極限是微積分的理論基礎，而連續(xù)性是可導性與可積性的重要條件。它們是每年必考的內(nèi)容之一?！究键c分析】按照考試大綱的要求，函數(shù)部分主要考查：函數(shù)的四個常見性態(tài)奇偶性、單調(diào)性、周期性、有界性與函數(shù)的兩種運算復合運算和反函數(shù)運算。在歷年的試題中，既有單純考查函數(shù)有關知識的題目，也有許多把函數(shù)有關知識融匯于其他內(nèi)容當中的綜合性題目。題型以填空題和選擇題為主。一、函數(shù)的奇偶性設函數(shù)的定義域為

2、，若對于任，都有，稱為偶函數(shù)；若對于任都有，稱為奇函數(shù)。偶函數(shù)的圖形關于軸對稱，奇函數(shù)的圖形關于坐標原點對稱?！究键c一】判別給定函數(shù)的奇偶性的主要方法是：不管的具體形式是什么，均計算的值。如果，則由定義知為偶函數(shù)；如果，則由定義知為奇函數(shù)?！纠?】判別下列函數(shù)的奇偶性：（1）（2），（3）【考點二】設二階可導，則有：（1） 若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且。簡單地說，可導的奇函數(shù)的導數(shù)為偶函數(shù)。（2） 若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且。簡單地說，可導的偶函數(shù)的導數(shù)為奇函數(shù)?！纠?（1997數(shù)學三、四）】若在內(nèi) 且，則在內(nèi)有( )（A）（B）（C）（D）二、函數(shù)的周期性對函數(shù)，若存在常數(shù)

3、，使得對于定義域的每一個，仍在定義域內(nèi)，且有，則稱函數(shù)為周期函數(shù)，T稱為的周期?！究键c三】判斷函數(shù)是否為周期函數(shù)，主要方法是根據(jù)周期函數(shù)的定義，要先找到一個非零常數(shù)，計算是否有等式成立。而對于抽象的周期函數(shù)，其周期一定與已知條件中所給的參數(shù)或常數(shù)有關，是其二倍、三倍?！纠?】設對任何存在常數(shù)。證明是周期函數(shù)?！纠?】設，則在內(nèi)，（ ）.(A) 是周期函數(shù)，周期為 (B) 是周期函數(shù)，周期為(C) 是周期函數(shù)，周期為 (D) 不是周期函數(shù)【例5】設在上有定義，且恒有關系式成立，其中為正實數(shù)，證明是周期函數(shù)?！究键c四】可導的周期函數(shù)的導函數(shù)是具有相同周期的周期函數(shù)。也就是說，如果函數(shù)f(x)二階可

4、導，且有，則，?！纠?】設函數(shù)具有二階導數(shù)，并滿足且若 則（ ）(A) (B) (C) (D) 三、函數(shù)的有界性設函數(shù)在數(shù)集X上有定義，若存在正數(shù)M，使得對于每一個，都有 成立，稱在X上有界，否則，即這樣的M不存在，稱在X上無界。 【考點五】（1）無界變量與無窮大量的區(qū)別：無窮大量一定是無界變量，但無界變量不一定是無窮大量。（2）非零的有界變量與無窮大量的乘積是無界變量，但不是無窮大量.【評注】(1) 無界變量與有界變量是函數(shù)有界性的正反兩個方面。（2）用無窮大量的定義和無界變量的定義來區(qū)別這兩個概念。是指，在x=x0處的充分小鄰域內(nèi)，對于所有的都可以任意大，而“無界”不要求“所有的”?！纠?

5、】設函數(shù)，則f (x)是（ ） 【例8】當時，變量是（ ）（A）無窮小。（B）無窮大。（C）有界的，但不是無窮小量。（D）無界的，但不是無窮大。【例9】設數(shù)列，則下列斷言正確的是（ ） （A）若發(fā)散，則必發(fā)散 （B）若無界，則必有界（C）若有界，則必為無窮小 （D）若為無窮小，則必為無窮小 四、函數(shù)的單調(diào)性設函數(shù)在區(qū)間上有定義，若對于上任意兩點與且時，均有 ，則稱函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）。如果其中的“”或“”改為“<”（或“>”），稱函數(shù)在上嚴格單調(diào)增加（或嚴格單調(diào)減少）。設函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，若對任一，有在a,b上單調(diào)增加（減少）。注意： 若

6、將上面的不等式的點（駐點）只有有限個，則結(jié)論仍成立?！究键c六】（1）判斷抽象的函數(shù)的單調(diào)性，在考試時采用舉反例排除法，而盡量不用單調(diào)性的定義進行證明；（2）導數(shù)大于零的函數(shù)一定單調(diào)遞增，但單調(diào)遞增的可導函數(shù)的導數(shù)不一定嚴格大于零，其導數(shù)也可能等于零?！纠?0】設， 分別為定義在內(nèi)的嚴格增函數(shù)與嚴格減函數(shù)，則（ ）. 【例11】設f(x)在內(nèi)可導，且對任意，當時，都有，則（ ） （A） 對任意 （B）對任意 （C）函數(shù)單調(diào)增加 （D）函數(shù)單調(diào)增加 .五、分段函數(shù)與復合函數(shù) 在用公式法表示的函數(shù)中，若自變量與因變量之間的函數(shù)關系要用兩個或多于兩個的數(shù)學式子來表達，即在函數(shù)定義域的不同部分用不同數(shù)學

7、式子表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù)。 分段函數(shù)的定義域是各個部分自變量取值范圍的總和或并集。設函數(shù)的定義域為，函數(shù)的值域為，若集合與的交集非空，稱函數(shù)為函數(shù)與復合而成的復合函數(shù)，為中間變量。對復合函數(shù)，重要的是會把它分解，即知道它是由哪些“簡單”函數(shù)復合的。 將兩個或兩個以上的函數(shù)特別是分段函數(shù)進行復合是考研中的基本題型?！究键c七】求分段函數(shù)的復合函數(shù)的主要方法是：分段代入法。其核心是先代入，后解不等式?！窘忸}程序】（1）代入：如果復合函數(shù)的外層函數(shù)是段分段函數(shù)，而內(nèi)層函數(shù)是段分段函數(shù)，則將內(nèi)層函數(shù)分段代入外層函數(shù)后，得到的復合函數(shù)為段的分段函數(shù)。（2）解不等式：分別解出個不等式構(gòu)成的不等式組，把無

8、解的不等式組去掉，即得所求的復合函數(shù)?！纠?2】設 ， ，求.【例13】設 則（ ）（A）（B）（C）（D）【例14】設( )（A）（B）（C）（D）六、反函數(shù) 設函數(shù)的值域為，定義域為，則對于每一個，必存在使。若把作為自變量，作為因變量，便得一個函數(shù)，且，稱為的反函數(shù)。但習慣上把反函數(shù)記作。 在同一直角坐標系下，函數(shù)與其反函數(shù)的圖形是同一條曲線；而函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關于直線對稱。【考點八】求反函數(shù)的程序：（1）由解出，得到關系式；（2）將與互換，即得所求函數(shù)的反函數(shù)?！纠?5】已知 ，求反函數(shù)及其定義域?！纠?6】設f(x)和g(x)互為反函數(shù)，則的反函數(shù)是（ ）。 （A） （B） （C）

9、 （D）.【例17】已知函數(shù)與的圖形對稱于直線，且 ，則第二章 數(shù)列的極限【考點分析】數(shù)列極限的考點主要包括：定義的理解，極限運算法則的理解，單調(diào)有界準則和夾逼準則求極限，利用定積分的定義求和式的極限等等。一、數(shù)列的極限1數(shù)列的極限無窮多個數(shù)按一定順序排成一列：稱為數(shù)列，記為數(shù)列稱為數(shù)列的一般項或通項。設有數(shù)列和常數(shù)A。若對任意給定的，總存在自然數(shù)，當n>N時，恒有 ，則稱常數(shù)A為數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于A，記為。沒有極限的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列。收斂數(shù)列必為有界數(shù)列，其極限存在且唯一。2極限存在準則（1）定理（夾逼定理）設在的某空心鄰域內(nèi)恒有，且有 ， 則極限 存在，且等于A .注 對其他

10、極限過程及數(shù)列極限，有類似結(jié)論. （2）定理：單調(diào)有界數(shù)列必有極限. 3重要結(jié)論：（1）若，則，其中為任意常數(shù)。 （2）。 （3） 。【考點九】(1) 單調(diào)有界數(shù)列必有極限.(2) 單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限，單調(diào)遞增且無上界的數(shù)列的極限為.（3）單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限，單調(diào)遞減且無下界的數(shù)列的極限為.【評注】（1）在應用【考點九】進行證明時，有些題目中關于單調(diào)性與有界性的證明有先后次序之分，需要及時進行調(diào)整證明次序。（2）判定數(shù)列的單調(diào)性主要有三種方法：I 計算 . 若，則單調(diào)遞增；若，則單調(diào)遞減。II 當時，計算 . 若，則單調(diào)遞增；若，則單調(diào)遞減。III 令，將n改為x，得到

11、函數(shù)。若可導，則當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減?！纠?】(1) (武漢大學，2003年)設，, 證明：收斂，并求其極限。(2) （中國科學院，2002年）設 （n>1），則 .【例2】設.證明數(shù)列的極限存在，并求此極限?！究键c十】（夾逼準則）設有正整數(shù)，當時，且，則.【評注】在使用夾逼準則時，需要對通項進行“縮小”和“放大”，要注意：“縮小”應該是盡可能地大，而“放大”應該是盡可能地小，在這種情況下，如果仍然“夾”不住，那么就說明夾逼準則不適用于這個題目，要改用其他方法?！纠?】求下列極限：【例4】設 （），求 .【例5】設，且，為常數(shù). 則數(shù)列和（ ） （A） 都收斂于 （B）都收斂，

12、但不一定收斂于 （C） 可能收斂，也可能發(fā)散 （D）都發(fā)散【例6】設，且，和均為數(shù)列. 則（ ） （A）存在且等于 （B）存在但不一定等于 （C）一定不存在 （D）不一定存在【考點十一】用定積分的定義計算和式的極限：由定積分的定義知，當連續(xù)時，有（1）， （2） .【例7】求下列極限：（1） （2）【例8】求下列極限：設函數(shù)，求極限.【考點十二】設，則。也就是說，將數(shù)列中的正整數(shù)改為連續(xù)變量，令，則數(shù)列的極限等于相應的函數(shù)的極限?！纠?】求下列極限：（1） （2）（其中）第三章 函數(shù)的極限【考點分析】函數(shù)極限的考點主要包括：用洛必達法則求未定式的極限，由已知極限求未知極限，極限中的參數(shù)問題，無

13、窮小量階的比較等等?！究键c十三】 也就是說，函數(shù)極限存在且等于A的充分必要條件是，左極限與右極限都存在，并且都等于A。【評注】在求極限時，如果函數(shù)中包含或項，則立即討論左右極限和，再根據(jù)【考點十三】判斷雙側(cè)極限是否存在?！纠?】當時，函數(shù)的極限（ ） （A）等于2. （B）等于0.（C）為（D）不存在但不為【例2】求極限【考點十四】使用洛必達（）法則求型未定式的極限之前，一定要將所求極限盡可能地化簡。化簡的主要方法： （1）首先用等價無窮小進行代換。注意：等價無窮小代換只能在極限的乘除運算中使用，而不能在極限的加減運算中使用，但在極限的加減運算中高階無窮小可以略去； （2）將極限值不為零的因子

14、先求極限； （3）利用變量代換（通常是作倒代換，令） （4）恒等變形：通過因式分解或根式有理化消去零因子，將分式函數(shù)拆項、合并或通分達到化簡的目的?！居洃浺c】常見的等價無窮小代換：（一）基本情形：當時，我們有：（1）sinxx (2)arcsinxx （3）tanxx (4)arctanxx (5) (6) (7) (8) (9) (10)() （11） （12）（二）差函數(shù)中常用的等價無窮小代換：當時，我們有： （1） （2） （3） （4）（5） （6）【例3】（2003數(shù)學二）若是等價無窮小，則【例4】.【例5】求【例6】若.【考點十五】求型未定式極限的方法： （1）分子、分母同時除以

15、最大的無窮大 （2）使用洛必達（）法則【例7】求極限.【考點十六】化和型未定式為型和型的方法是： （1）通分法 （2）提因子法 （3）變量代換法【例8】求下列極限： 【考點十七】（1）求冪指函數(shù)型不定式的極限，常用“換底法”或“用e抬起法”，化為型后再使用洛必達法則，即（2）計算型極限的最簡單方法是使用如下的型極限計算公式：。推導如下（為簡便，略去自變量）：【例9】已知，求常數(shù)【例10】設【例11】【考點十八】（1）已知 A，則有： 若g(x) ® 0，則f (x) ® 0； 若f (x) ® 0，且A ¹ 0，則g(x) ® 0.（2）已知，

16、若，則.【評注】在已知函數(shù)的極限求未知的參數(shù)問題時，【考點十八】是主要的分析問題與解決問題的方法?！纠?2】若，則a =，b =.【例13】設，則（ ）（A），（B），（C），（D），【考點十九】在已知條件或欲證結(jié)論中涉及到無窮小量階的比較的話，則“不管三七二十一”，先用 無窮小量階的比較的定義處理一下再說。【評注】無窮小量階的比較，是一個重要考點。其主要方法是將兩個無窮小量相除取極限，再由定義比較階的高低。設是同一過程下的兩個無窮小，即。若若則稱是比低階的無窮小；若若若則稱與是等價無窮小?！纠?4】當?shù)?（A）低階無窮小。（B）高階無窮小。（C）等價無窮小。（D）同階但非等價無窮小?！纠?5

17、】設當高階的無窮小，則 （A）。（B）。（C）。（D）?！纠?6】設當高階的無窮小，而高階的無窮小，則正整數(shù)等于 （A）1（B）2。（C）3。（D）4。第四章 函數(shù)的連續(xù)性【考點分析】主要考點包括：函數(shù)連續(xù)的充要條件，間斷點的類型及其判斷，閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理及其應用等。一、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點. 函數(shù)連續(xù)性概念定義1 設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，若，則稱函數(shù)在點處連續(xù)，并稱為連續(xù)點。定義2 若函數(shù)在點的某個左（右）鄰域內(nèi)有定義，并且 ，則稱函數(shù)在點處左（右）連續(xù)。顯然，函數(shù)在點處連續(xù)的充要條件是在點既左連續(xù)又右連續(xù)。定義3 函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，是指在內(nèi)每點都連續(xù)；在閉區(qū)間上連續(xù)，是指在開

18、區(qū)間內(nèi)連續(xù)，并且在左端點處右連續(xù)，在右端點處左連續(xù)。使函數(shù)連續(xù)的區(qū)間，稱為的連續(xù)區(qū)間。 . 函數(shù)的間斷點及其分類 定義 函數(shù)不連續(xù)的點稱為函數(shù)的間斷點，即在點處有下列三種情況之一出現(xiàn)：（1）在點附近函數(shù)有定義，但在點無定義；（2）不存在；（3）與都存在，但則稱在點處不連續(xù)，或稱為函數(shù)的間斷點。 間斷點的分類 設為函數(shù)的間斷點，間斷點的分類是以 點的左、右極限來劃分的。 第一類間斷點 若與都存在，則稱為第一類間斷點： （1）若，則稱為跳躍型間斷點，并稱為點的跳躍度； （2）若存在（即=），則稱為可去間斷點。此時，當在無定義時，可以補充定義，則在連續(xù)；當存在，但時，可以改變在的定義，定義極限值為該

19、點函數(shù)值，則在連續(xù)。 第二類間斷點 若與中至少有一個不存在，則稱為第二類間斷點，其中若與中至少有一個為無窮大，則稱為無窮型間斷點；否則稱為擺動型間斷點?！究键c二十】在由抽象函數(shù)構(gòu)造的連續(xù)性選擇題中，選擇的次序應從最簡單的函數(shù)開始，最簡單的往往就是正確選項?！纠?】設有定義，分別各有唯一的間斷點，則必有間斷點的函數(shù)是（ ）（A）fg(x) (B)f(x)g(x)(C)f(x)+g(x) (D)f(sinx)+g(sinx)【例2】設內(nèi)有定義，為連續(xù)函數(shù)，且有間斷點，則（A）必有間斷點。（B）必有間斷點。（C）必有間斷點。（D）必有間斷點。【考點二十一】判斷含有參變量的極限構(gòu)成的函數(shù)的連續(xù)性，其關

20、鍵是在求極限的過程中，正確區(qū)分哪一個是變量，哪一個是不變的量即參變量?！驹u注】在極限式中若含有參變量，因參變量取不同值時，其極限值不同，因此，要根據(jù)所給極限式，首先確定參變量應如何劃分區(qū)間。然后根據(jù)參變量的不同取值范圍，再求極限?！纠?】設函數(shù)，討論函數(shù)的間斷點，其結(jié)論為（ ）（A）不存在間斷點（B）存在間斷點（C）存在間斷點（D）存在間斷點【例4】設, 則的間斷點為 .【考點二十二】在連續(xù)性的各種題型中，無論是確定函數(shù)（特別是分段函數(shù)）的間斷點及其類型，還是利用連續(xù)性確定函數(shù)中的常數(shù)，解題方法的核心均為先求函數(shù)在一些特殊點（特別是無定義的點和分段函數(shù)的分段點）處的左右極限和，然后再根據(jù)間斷點

21、的定義與函數(shù)連續(xù)的充要條件求出相應結(jié)果?！纠?】設函數(shù)處連續(xù)，則.【例6】設在（）內(nèi)有定義，且， ， 則（ ）（A）必是的第一類間斷點（B）必是的第二類間斷點（C）必是的連續(xù)點（D）在點處的連續(xù)性與的取值有關。二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理定理 1.（有界性定理） 閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)必在a,b上有界。定理2. (最大值最小值定理) 閉區(qū)間a,b上的函數(shù)，必在a,b上有最大值和最小值，即在a,b上，至少存在兩點，使得對a,b上的一切x，恒有 .此處與就是在a,b上最小值與最大值。定理 3.(介值定理) 設函數(shù)在閉區(qū)間a,b連續(xù)，m與M分別為在a,b上的最小值與最大值，則對于任一實數(shù)c(m&

22、lt;c<M)，至少存在一點，使。定理4.（零點定理或根的存在定理） 若在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且，則至少存在一點，使?！究键c二十三】一般應用介值定理，其思路是：所要證的結(jié)論可寫成的形式，其中，常數(shù)介于在上的最大值與最小值之間. 由介值定理的內(nèi)容本身知，應用介值定理時，必用到最值定理?！驹u注】在考研試題中，介值定理主要與微分中值定理或積分中值定理相結(jié)合作為綜合題出現(xiàn)，單獨以此命題的較少?！纠?】設函數(shù)在內(nèi)具有一階連續(xù)導數(shù)，且，證明：（1） 至少存在一點，使.（2）至少存在一點，使，其中均為正數(shù)?！究键c二十四】證明方程有根，且已知函數(shù)在閉區(qū)間上的取值情況，一般用零點定理，其思路是：將待證的等

23、式或方程改寫成的形式，若方程中含有中值，則一律改寫為，同樣會得到的形式。由此構(gòu)造在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)作為輔助函數(shù)，然后利用零點定理證得待證的結(jié)論?！纠?】設是上非負連續(xù)函數(shù)，且證明：對任意實數(shù)（），必存在，使得，且.【例9】設f(x)是區(qū)間0，2上的連續(xù)函數(shù)，且，則在0，2上存在兩點，使?！究键c二十五】設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且對任，均有，則函數(shù)在區(qū)間上必恒正或恒負（即在區(qū)間上必恒大于零或恒小于零）.【證明】反證之。假設在區(qū)間上不恒正且不恒負，則必存在使.又因為函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，所以在區(qū)間或區(qū)間上連續(xù)，且區(qū)間端點的函數(shù)值異號，即，故由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點定理知，至少存在一點或，使，這與已知條件矛盾。因此，所作的假設是錯誤的，函數(shù)在區(qū)間上必恒正或恒負（即在區(qū)間上必恒大于零或恒小于零）.【例10】設函數(shù)內(nèi)連續(xù)，且ff(x)=x，證明在 內(nèi)至少有一個滿足f()=.【例11】設 .（1）證明：存在（2）證明：存在且為正整數(shù)）.第六章 羅爾定理中值定理是一元函數(shù)微分學的理論核心，它反映