上海 解析幾何綜合測試題附答案

1、1是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動，則的最大值是 2若直線mx+ny3=0與圓x2+y2=3沒有公共點(diǎn)，則m、n滿足的關(guān)系式為_；以（m，n）為點(diǎn)P的坐標(biāo)，過點(diǎn)P的一條直線與橢圓+=1的公共點(diǎn)有_個.3.P是拋物線y2=x上的動點(diǎn)，Q是圓(x-3)2+y2=1的動點(diǎn)，則PQ的最小值為 . 4若圓與拋物線有兩個公共點(diǎn)。則實數(shù)的范圍為 .5若曲線與直線+3有兩個不同的公共點(diǎn)，則實數(shù) k 的取值范圍是 .6圓心在直線2xy7=0上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A（0，4）、B（0，2），則圓C的方程為_.7經(jīng)過兩圓（x+3）2+y2=13和x+2（y+3）2=37的交點(diǎn)，且圓心在直線xy4=0上的圓的方程為

2、_8.雙曲線x2y21的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為左支下半支上任意一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），則直線PF的斜率的變化范圍是_.9已知A（0，7）、B（0，7）、C（12，2），以C為一個焦點(diǎn)作過A、B的橢圓，橢圓的另一個焦點(diǎn)F的軌跡方程是_.10設(shè)P1（，）、P2（，），M是雙曲線y=上位于第一象限的點(diǎn)，對于命題|MP2|MP1|=2；以線段MP1為直徑的圓與圓x2+y2=2相切；存在常數(shù)b，使得M到直線y=x+b的距離等于|MP1|.其中所有正確命題的序號是_.11到兩定點(diǎn)A（0，0），B（3，4）距離之和為5的點(diǎn)的軌跡是（ ）A.橢圓 B.AB所在直線C.線段AB D.無軌跡12若點(diǎn)（x，y）在橢圓4x2+

3、y2=4上，則的最小值為（ ）A.1 B.1C. D.以上都不對13已知F1（3，0）、F2（3，0）是橢圓+1的兩個焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，當(dāng)F1PF2時，F(xiàn)1PF2的面積最大，則有（ ）A.m=12，n=3 B.m=24，n=6C.m=6，n= D.m=12，n=614.P為雙曲線C上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是雙曲線C的兩個焦點(diǎn)，過雙曲線C的一個焦點(diǎn)F1作F1PF2的平分線的垂線，設(shè)垂足為Q，則Q點(diǎn)的軌跡是( ) 12.A.直線B.圓C.橢圓D.雙曲線三、解答題15（滿分10分）如下圖，過拋物線y2=2px（p0）上一定點(diǎn)P（x0，y0）（y00），作兩條直線分別交拋物線于A（x1，y1）、B（x2

4、，y2）.（1）求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離； （2）當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時，求的值，并證明直線AB的斜率是非零常數(shù).16（滿分10分）如下圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b（a>0，b0），且交拋物線y2=2px（p>0）于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點(diǎn).（1）證明：+=；（2）當(dāng)a=2p時，求MON的大小. （15題圖） （16題圖） 17（滿分10分） 已知橢圓C的方程為+=1（a>b>0），雙曲線=1的兩條漸近線為l1、l2，過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，使ll1，又l與l2交于P點(diǎn)，設(shè)l與橢圓C的兩個交點(diǎn)由

5、上至下依次為A、B.（如下圖）（1）當(dāng)l1與l2夾角為60°，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程；（2）當(dāng)=時，求的最大值. xyOAB（17題圖） （18題圖）18（滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩不同動點(diǎn)、滿足（如上圖）（）求得重心（即三角形三條中線的交點(diǎn)）的軌跡方程；（）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由 19（滿分12分）拋物線y2=4px（p>0）的準(zhǔn)線與x軸交于M點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn).（1）若線段AB的垂直平分線交x軸于N（x0，0），求證：x0>3p；（2）若直線l的斜率依次為p，

6、p2，p3，線段AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)依次為N1，N2，N3，當(dāng)0<p<1時，求+的值.20（滿分12分）設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn). （）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；（）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個圓上？并說明理由.解析幾何綜合題1是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動，則的最大值是 1答案：4簡解： 2若直線mx+ny3=0與圓x2+y2=3沒有公共點(diǎn)，則m、n滿足的關(guān)系式為_；以（m，n）為點(diǎn)P的坐標(biāo)，過點(diǎn)P的一條直線與橢圓+=1的公共點(diǎn)有_個.2答案：0<m2+n

7、2<3 ； 2簡解：將直線mx+ny3=0變形代入圓方程x2+y2=3，消去x，得（m2+n2）y26ny+93m2=0.令<0得m2+n2<3.又m、n不同時為零，0<m2+n2<3.由0<m2+n2<3，可知|n|<，|m|<，再由橢圓方程a=，b=可知公共點(diǎn)有2個.3.P是拋物線y2=x上的動點(diǎn)，Q是圓(x-3)2+y2=1的動點(diǎn)，則PQ的最小值為 . 3答案：-1簡解：將問題轉(zhuǎn)化為圓心到拋物線一上的動點(diǎn)的最小值4若圓與拋物線有兩個公共點(diǎn)。則實數(shù)為 .4答案：或 簡解：將圓與拋物線 聯(lián)立，消去，得 要使圓與拋物線有兩個交點(diǎn)的充要條件是

8、方程有一正根、一負(fù)根；或有兩個相等正根?；蚪庵?若曲線與直線+3有兩個不同的公共點(diǎn)，則實數(shù) k 的取值范圍是 .5答案：簡解： 將曲線轉(zhuǎn)化為時考慮縱坐標(biāo)的范圍；另外沒有看清過點(diǎn)(2,-3)且與漸近線平行的直線與雙曲線的位置關(guān)系。6圓心在直線2xy7=0上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A（0，4）、B（0，2），則圓C的方程為_.6答案：（x2）2+（y+3）2=5 5簡解：圓C與y軸交于A（0，4），B（0，2），由垂徑定理得圓心在y=3這條直線上.又已知圓心在直線2xy7=0上，解得x=2，聯(lián)立 y=3，2xy7=0. 圓心為（2，3），半徑r=|AC|=.所求圓C的方程為（x2）2+（y+3）2=5

9、.7經(jīng)過兩圓（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交點(diǎn)，且圓心在直線xy4=0上的圓的方程為_.7答案：（x+）2+（y+）2= 簡解：因為所求的圓經(jīng)過兩圓（x+3）2+y2=13和x+2（y+3）2=37的交點(diǎn)，所以設(shè)所求圓的方程為（x+3）2+y213+x2+（y+3）237=0.展開、配方、整理，得（x+）2+（y+）2=+.圓心為（，），代入方程xy4=0，得=7.故所求圓的方程為（x+）2+（y+）2= .8.雙曲線x2y21的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為左支下半支上任意一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），則直線PF的斜率的變化范圍是_.8答案：（，0）（1，+）簡解：解析：數(shù)形結(jié)合法，與漸近線斜

10、率比較.9已知A（0，7）、B（0，7）、C（12，2），以C為一個焦點(diǎn)作過A、B的橢圓，橢圓的另一個焦點(diǎn)F的軌跡方程是_.9答案：.y21（y1）簡解：由題意AC13，BC15，AB14，又AFACBFBC，AFBFBCAC2.故F點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，實軸長為2的雙曲線下支.又c=7，a=1，b248，所以軌跡方程為y21（y1）.10設(shè)P1（，）、P2（，），M是雙曲線y=上位于第一象限的點(diǎn)，對于命題|MP2|MP1|=2；以線段MP1為直徑的圓與圓x2+y2=2相切；存在常數(shù)b，使得M到直線y=x+b的距離等于|MP1|.其中所有正確命題的序號是_.10答案：簡解：由雙曲線定義可知

11、正確，畫圖由題意可知正確，由距離公式及|MP1|可知正確.11到兩定點(diǎn)A（0，0），B（3，4）距離之和為5的點(diǎn)的軌跡是（ ）A.橢圓 B.AB所在直線C.線段AB D.無軌跡11答案：C簡解：數(shù)形結(jié)合易知動點(diǎn)的軌跡是線段AB：y=x，其中0x3.12若點(diǎn)（x，y）在橢圓4x2+y2=4上，則的最小值為（ ）A.1 B.1C. D.以上都不對12答案：C簡解：的幾何意義是橢圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)（2，0）連線的斜率.顯然直線與橢圓相切時取得最值，設(shè)直線y=k（x2）代入橢圓方程（4+k2）x24k2x+4k24=0.令=0，k=±.kmin=.13.已知F1（3，0）、F2（3，0）是橢圓+

12、1的兩個焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，當(dāng)F1PF2時，F(xiàn)1PF2的面積最大，則有（ ）A.m=12，n=3 B.m=24，n=6C.m=6，n= D.m=12，n=613答案：A簡解：由條件求出橢圓方程即得m=12，n=3.14.P為雙曲線C上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是雙曲線C的兩個焦點(diǎn)，過雙曲線C的一個焦點(diǎn)F1作F1PF2的平分線的垂線，設(shè)垂足為Q，則Q點(diǎn)的軌跡是( ) 12.A.直線B.圓C.橢圓D.雙曲線14答案：B 簡解：延長F1Q與PF2相交點(diǎn)R，根據(jù)雙曲線的定義，R在以F2為圓心的圓上，利用代入法得15如下圖，過拋物線y2=2px（p0）上一定點(diǎn)P（x0，y0）（y00），作兩條直線分別交拋物線于

13、A（x1，y1）、B（x2，y2）.（1）求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離； （2）當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時，求的值，并證明直線AB的斜率是非零常數(shù).解：（1）當(dāng)y=時，x=.又拋物線y2=2px的準(zhǔn)線方程為x=，由拋物線定義得所求距離為（）=.（2）設(shè)直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB.由y12=2px1，y02=2px0，相減得（y1y0）（y1+y0）=2p（x1x0），故kPA=（x1x0）.同理可得kPB=（x2x0）.由PA、PB傾斜角互補(bǔ)知kPA=kPB，即=，所以y1+y2=2y0，故=2.設(shè)直線AB的斜率為kAB.由y22=2px2，y12=2

14、px1，相減得（y2y1）（y2+y1）=2p（x2x1），所以kAB=（x1x2）.將y1+y2=2y0（y00）代入得kAB=，所以kAB是非零常數(shù).16如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b（a>0，b0），且交拋物線y2=2px（p>0）于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點(diǎn).（1）證明：+=；（2）當(dāng)a=2p時，求MON的大小.16證明：（1）直線l的截距式方程為+=1.，由及y2=2px消去x可得by2+2pay2pab=0. 解： 點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)y1、y2為的兩個根，故y1+y2=，y1y2=2pa.所以+=.（2）解：設(shè)直線OM、ON的斜率分

15、別為k1、k2，則k1=，k2=.當(dāng)a=2p時，由（2）知，y1y2=2pa=4p2，由y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，x1x2=4p2，因此k1k2=1.所以O(shè)MON，即MON=90°.17已知橢圓C的方程為+=1（a>b>0），雙曲線=1的兩條漸近線為l1、l2，過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，使ll1，又l與l2交于P點(diǎn)，設(shè)l與橢圓C的兩個交點(diǎn)由上至下依次為A、B.（如下圖）（1）當(dāng)l1與l2夾角為60°，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程；（2）當(dāng)=時，求的最大值.17解：（1）雙曲線的漸近線為y=±x，兩

16、漸近線夾角為60°，又<1，POx=30°，即=tan30°=.a=b.又a2+b2=4，a2=3，b2=1.故橢圓C的方程為+y2=1.（2）由已知l：y=（xc），與y=x解得P（，），由=得A（，）.將A點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得（c2+a2）2+2a4=（1+）2a2c2.（e2+）2+2=e2（1+）2. （令）2=（2e2）+332.的最大值為1.18在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩不同動點(diǎn)、滿足（如圖所示）（）求得重心（即三角形三條中線的交點(diǎn)）的軌跡方程；（）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由xyOAB

17、18解：（I）設(shè)AOB的重心為G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),則 （1）OAOB ,即，(2)又點(diǎn)A，B在拋物線上，有，代入（2）化簡得所以重心為G的軌跡方程為（II）由（I）得當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立。所以AOB的面積存在最小值，存在時求最小值1；19拋物線y2=4px（p>0）的準(zhǔn)線與x軸交于M點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn).（1）若線段AB的垂直平分線交x軸于N（x0，0），求證：x0>3p；（2）若直線l的斜率依次為p，p2，p3，線段AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)依次為N1，N2，N3，當(dāng)0<p<1時，求+的值.19證明：設(shè)直線l方程為y

18、=k（x+p），代入y2=4px.得k2x2+（2k2p4p）x+k2p2=0.=4（k2p2p）24k2·k2p2>0，得0<k2<1.令A(yù)（x1，y1）、B（x2，y2），則x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2+2p）=，AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（，）.AB垂直平分線為y=（x）.令y=0，得x0=p+.由上可知0<k2<1，x0>p+2p=3p.x0>3p.（2）解：l的斜率依次為p，p2，p3，時，AB中垂線與x軸交點(diǎn)依次為N1，N2，N3，（0<p<1）.點(diǎn)Nn的坐標(biāo)為（p+，0）.|NnNn+1|=|（p+）（p+）|=，=，所求的值為p3+p4+p21=20設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn). （）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；（）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個圓上？并說明理由.20解法1：依題意，可設(shè)直線AB的方程為，整理得 設(shè)的兩個不同的根， 是線段AB的中點(diǎn)，得解得k=-1，代入得，>12，即的取值范圍是（12，+）.于是，直線AB的方程為解法2：設(shè)依題意，（II）解法1：代入橢圓方程，整理得 的兩根，于是由弦長公式可得