高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 123 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)習(xí)題 蘇教版選修22

1、1.2.3簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.了解復(fù)合函數(shù)的概念，掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.2.能夠利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的公式、法則進(jìn)行一些復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)(僅限于形如f(axb)的導(dǎo)數(shù))1復(fù)合函數(shù)的概念一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)yf(u)和ug(x)，如果通過變量u，y可以表示成 x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為yf(u)和ug(x)的復(fù)合函數(shù)，記作yf(g(x)2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)yf(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系為yxyu·ux.即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)是y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積探究點(diǎn)一復(fù)合函數(shù)的定義思考1觀察函數(shù)y2xcos x及yln(

2、x2)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，說明它們分別是由哪些基本函數(shù)組成的？答y2xcos x是由u2x及vcos x相乘得到的；而yln(x2)是由ux2與yln u(x>2)經(jīng)過“復(fù)合”得到的，即y可以通過中間變量u表示為自變量x的函數(shù)，所以yln(x2)稱為復(fù)合函數(shù)思考2對(duì)一個(gè)復(fù)合函數(shù)，怎樣判斷函數(shù)的復(fù)合關(guān)系？答復(fù)合函數(shù)是因變量通過中間變量表示為自變量的函數(shù)的過程在分析時(shí)可以從外向里出發(fā)，先根據(jù)最外層的主體函數(shù)結(jié)構(gòu)找出yf(u)；再根據(jù)內(nèi)層的主體函數(shù)結(jié)構(gòu)找出函數(shù)ug(x)，函數(shù)yf(u)和ug(x)復(fù)合而成函數(shù)yf(g(x)思考3在復(fù)合函數(shù)中，內(nèi)層函數(shù)的值域A與外層函數(shù)的定義域B有何關(guān)系？答AB.小結(jié)要

3、特別注意兩個(gè)函數(shù)的積與復(fù)合函數(shù)的區(qū)別，對(duì)于復(fù)合函數(shù)，要掌握引入中間變量，將其分拆成幾個(gè)基本初等函數(shù)的方法例1指出下列函數(shù)是怎樣復(fù)合而成的：(1)y(35x)2；(2)ylog3(x22x5)；(3)ycos 3x.解(1)y(35x)2是由函數(shù)yu2，u35x復(fù)合而成的；(2)ylog3(x22x5)是由函數(shù)ylog3u，ux22x5復(fù)合而成的；(3)ycos 3x是由函數(shù)ycos u，u3x復(fù)合而成的反思與感悟分析函數(shù)的復(fù)合過程主要是設(shè)出中間變量u，分別找出y和u的函數(shù)關(guān)系，u和x的函數(shù)關(guān)系跟蹤訓(xùn)練1指出下列函數(shù)由哪些函數(shù)復(fù)合而成：(1)yln ；(2)yesin x；(3)ycos (x1

4、)解(1)yln u，u；(2)yeu，usin x；(3)ycos u，ux1.探究點(diǎn)二復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思考如何求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？答對(duì)于簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，其一般步驟為“分解求導(dǎo)回代”，即：(1)弄清復(fù)合關(guān)系，將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)形式；(2)利用求導(dǎo)法則分層求導(dǎo)；(3)最終結(jié)果要將中間變量換成自變量注意不要漏掉第(3)步回代的過程例 2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y(2x1)4；(2)y；(3)ysin(2x)；(4)y102x3.解(1)原函數(shù)可看作yu4，u2x1的復(fù)合函數(shù)，則yxyu·ux(u4)·(2x1)4u3·28(2x1)3；(2)y(12x)可

5、看作yu，u12x的復(fù)合函數(shù)，則yxyu·ux()u·(2)(12x)；(3)原函數(shù)可看作ysin u，u2x的復(fù)合函數(shù)，則yxyu·uxcos u·(2)2cos(2x)2cos(2x)；(4)原函數(shù)可看作y10u，u2x3的復(fù)合函數(shù)，則yxyu·ux10u·ln 10·2(ln 100)102x3.反思與感悟分析復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，找準(zhǔn)中間變量是求導(dǎo)的關(guān)鍵，要善于把一部分量、式子暫時(shí)看作一個(gè)整體，并且它們必須是一些常見的基本函數(shù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)熟練后，中間步驟可以省略，不必再寫出函數(shù)的復(fù)合過程，直接運(yùn)用公式，從外層開始由外及內(nèi)

6、逐層求導(dǎo)跟蹤訓(xùn)練2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y(2x3)2；(2)ye0.05x1；(3)ysin(x)解(1)函數(shù)y(2x3)2可以看成函數(shù)yu2，u2x3的復(fù)合函數(shù)yxyu·ux(u2)·(2x3)2u·24(2x3)8x12.(2)函數(shù)ye0.05x1可以看成函數(shù)yeu，u0.05x1的復(fù)合函數(shù)yxyu·ux(eu)·(0.05x1)0.05eu0.05 e0.05x1.(3)函數(shù)ysin(x)可以看成函數(shù)ysin u，ux的復(fù)合函數(shù)yxyu·ux(sin u)·(x)cos u·cos(x)探究點(diǎn)三復(fù)合函數(shù)導(dǎo)

7、數(shù)的應(yīng)用例 3求曲線ye2x1在點(diǎn)(，1)處的切線方程解ye2x1·(2x1)2e2x1，y|x2，曲線ye2x1在點(diǎn)(，1)處的切線方程為y12(x)，即2xy20.反思與感悟求曲線切線的關(guān)鍵是正確求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，要注意“在某點(diǎn)處的切線”與“過某點(diǎn)的切線”兩種不同的說法跟蹤訓(xùn)練3曲線yesin x在(0,1)處的切線與直線l平行，且與l的距離為，求直線l的方程解設(shè)usin x，則y(esin x)(eu)(sin x).cos xesin x.y|x01.則切線方程為y1x0，即xy10.若直線l與切線平行可設(shè)直線l的方程為xyc0.兩平行線間的距離dc3或c1.故直線l的方程為

8、xy30或xy10.1函數(shù)y(3x2)2的導(dǎo)數(shù)y_.答案18x12解析y2(3x2)·(3x2)6(3x2)2若函數(shù)ysin2x，則y_.答案sin 2x解析y2sin x·(sin x)2sin x·cos xsin 2x.3若f(x)sin(3x)，則f()_.答案3解析f(x)3cos(3x)，f()3.4(1)設(shè)函數(shù)f(x)exex，證明：f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)2；(2)設(shè)函數(shù)f(x)xln(x5)，g(x)ln(x1)，解不等式f(x)>g(x)(1)證明f(x)(exex)exex，因?yàn)閑x>0，ex>0，所以exex22，當(dāng)且僅當(dāng)e

9、xex，即e2x1，x0時(shí)，等號(hào)成立，所以f(x)2.(2)解因?yàn)閒(x)1，g(x)，所以由f(x)>g(x)，得1>，即>0，所以x>5或x<1.又兩個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)?，即x>5，所以不等式f(x)>g(x)的解集為(5，)呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律求簡單復(fù)合函數(shù)f(axb)的導(dǎo)數(shù)，實(shí)質(zhì)是運(yùn)用整體思想，先把簡單復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)yf(u)，uaxb的形式，然后再分別對(duì)yf(u)與uaxb分別求導(dǎo)，并把所得結(jié)果相乘靈活應(yīng)用整體思想把函數(shù)化為yf(u)，uaxb的形式是關(guān)鍵.一、基礎(chǔ)過關(guān)1函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)y_.答案解析y·(3x1).2函數(shù)yx2cos 2

10、x的導(dǎo)數(shù)y_.答案2xcos 2x2x2sin 2x解析y(x2)cos 2xx2(cos 2x)2xcos 2xx2·(2sin 2x)2xcos 2x2x2sin 2x.3若f(x)log3(x1)，則f(2)_.答案解析f(x)log3(x1)，f(2).4函數(shù)y(2 0158x)3的導(dǎo)數(shù)y_.答案24(2 0158x)2解析y3(2 0158x)2×(2 0158x)3(2 0158x)2×(8)24(2 0158x)2.5曲線ycos(2x)在x處切線的斜率為_答案2解析y2sin(2x)，切線的斜率k2sin(2×)2.6函數(shù)yx(1ax)2

11、(a>0)，且y|x25，則實(shí)數(shù)a的值為_答案1解析y(1ax)2x(1ax)2(1ax)2x2(1ax)(a)(1ax)22ax(1ax)由y|x2(12a)24a(12a)12a28a15(a>0)，解得a1.7求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y(12x2)8；(2)y；(3)ysin 2xcos 2x；(4)ycos x2.解(1)設(shè)yu8，u12x2，y(u8)(12x2)8u7·4x8(12x2)7·4x32x(12x2)7.(2)設(shè)yu，u1x2，則y(u)(1x2)(u)·(2x)x(1x2).(3)y(sin 2xcos 2x)(sin 2x)

12、(cos 2x)2cos 2x2sin 2x2sin(2x)(4)設(shè)ycos u，ux2，則y(cos u)·(x2)(sin u)·2x(sin x2)·2x2xsin x2.二、能力提升8已知直線yx1與曲線yln(xa)相切，則a的值為_答案2解析設(shè)直線yx1切曲線yln(xa)于點(diǎn)(x0，y0)，則y01x0，y0ln(x0a)，又y，y|xx01，即x0a1.又y0ln(x0a)，y00，x01，a2.9曲線yex在點(diǎn)(4，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為_答案e2解析yex·，y|x4e2.曲線在點(diǎn)(4，e2)處的切線方程為ye2e2

13、(x4)，切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別是(0，e2)，(2,0)，則切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積S|e2|2|e2.10若f(x)(2xa)2，且f(2)20，則a_.答案1解析f(x)2(2xa)·24(2xa)，f(2)164a20，a1.11已知a>0，f(x)ax22x1ln(x1)，l是曲線yf(x)在點(diǎn)P(0，f(0)處的切線求切線l的方程解f(x)ax22x1ln(x1)，f(0)1.f(x)2ax2，f(0)1，切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1)，l的斜率為1，切線l的方程為xy10.12.有一把梯子貼靠在筆直的墻上，已知梯子上端下滑的距離S(單位：m)關(guān)于時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)為SS(t)5.求函數(shù)在t s時(shí)的導(dǎo)數(shù)，并解釋它的實(shí)際意義解函數(shù)S5可以看作函數(shù)S5和x259t2的復(fù)合函數(shù)，其中x是中間變量由導(dǎo)數(shù)公式表可得Sxx，xt18t.故由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得StSx·xt(x)·(18t)，將t代入S(t)，得S()0.875 (m/s)它表示當(dāng)t s時(shí)，梯子上端下滑