二次根式的乘除法

1、二次根式的乘除法二. 重點、難點：1. 重點：（1）掌握二次根式乘、除法法則，并會運用法則進行計算；（2）能夠利用二次根式乘、除法法則對根式進行化簡；（3）能夠將二次根式化簡成“最簡二次根式”。2. 難點：（1）理解最簡二次根式的概念；（2）能夠運用積的算術平方根的性質、二次根式的除法法則將二次根式化簡成“最簡二次根式”。三. 知識梳理：1. 二次根式的乘法兩個二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變，即（0，0）。說明：（1）法則中、可以是單項式，也可以是多項式，要注意它們的取值范圍，、都是非負數(shù)；（2）（0，0）可以推廣為（0，0）； （0，0，0，0）。（3）等式（0，0）也可以倒過來使

2、用，即（0，0）。也稱“積的算術平方根”。它與二次根式的乘法結合，可以對一些二次根式進行化簡。2. 二次根式的除法兩個二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變，即（0，0）。說明：（1）法則中、可以是單項式，也可以是多項式，要注意它們的取值范圍，0，在分母中，因此0；（2）（0，0）可以推廣為（0，0，0）；（3）等式（0，0）也可以倒過來使用，即（0，0）。也稱“商的算術平方根”。它與二根式的除法結合，可以對一些二次根式進行化簡。3. 最簡二次根式一個二次根式如果滿足下列兩個條件：（1）被開方數(shù)中不含能開方開得盡的因數(shù)或因式；（2）被開方數(shù)中不含分母。這樣的二次根式叫做最簡二次根式。說明：（

3、1）這兩個條件必須同時滿足，才是最簡二次根式；（2）被開方數(shù)若是多項式，需利用因式分解法把它們化成乘積式，再進行化簡；（3）二次根式化簡到最后，二次根式不能出現(xiàn)在分母中，即分母中要不含二次根式?！镜湫屠}】例1. 求下列式子中有意義的x的取值范圍。（1）（2）分析：此題涉及二次根式的乘法、除法公式的正確應用，特別注意公式應用的范圍。 （a0，b0）；=（a0，b0）。解：（1）+10，2-0。解得-1，2，即-12。（2）0，3->0。解得0，< 3，即0<3。例2. 計算：（1）；（2）；（3）；（4）。分析：直接運用二次根式的乘法進行計算，把它們的被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變

4、，如果積能開方一定要開方。解：（1）=；（2）=6；（3）=；（4）=。例3. 化簡：（1）；（2）；（3）；（4）。分析：直接運用公式（0，0）化簡即可，盡可能將被開方數(shù)的因式寫成平方的形式。解：（1）=15；（2）=6；（3）=20；（4）=。例4. 計算：（1）；（2）；（3）；（4）。分析：利用（0，0）對二次根式進行乘法計算，要注意當結果仍然是二次根式時，應盡量化簡。（4）中的隱含條件是0，0。解：（1）=；（2）=；（3）=-39；（4）=。例5. 化簡：（1）；（2）；（3）；（4）。分析：利用（0，0）可把被開方數(shù)比較復雜的二次根式化簡。方法是先將被開方數(shù)進行質因數(shù)分解，化為積

5、的形式，如果根號內有開得盡方的因式就移到根號外面來，用它的算術平方根來代替，從而達到化簡的目的。解：（1）=；（2）=；（3）=504；（4）=例6. 化簡：（1）（0）；（2）（0）；（3）（0）；（4）（0，）。分析：對于被開方數(shù)是多項式的二次根式，應把多項式分解因式然后按照被開方數(shù)是單項式的方法進行分解。為使運算簡便，應盡量地應用運算律和乘法公式來進行計算，運算得到的結果必須進行化簡。解：（1）=；（2）=；（3）=（4）=。例7. 計算：（1）；（2）；（3）；（4）。分析：直接運用（0，0）進行計算，運算后結果要化簡。解：（1）=2；（2）=3；（3）=2；（4）=。例8. 化簡：（

6、1）；（2）；（3）；（4）。分析：運用公式（0，0）化簡，即商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根。要注意的是，當被開方數(shù)是帶分數(shù)時，要先把它化成假分數(shù)。解：（1）=；（2）=；（3）=；（4）=。例9. 計算：（1）；（2）；（3）；（4）。分析：二次根式的除法可以轉化為乘法運算。對于多個二次根式相除的情況，應按照題中指定的順序進行計算，有括號的先算括號里面的，沒有括號的，從左往右依次計算，結果注意化簡，數(shù)字應放在字母前面。解：（1）=；（2）=（3）=；（4）=。例10. 把下列根號外的因式移到根號內（1）；（2）。分析：把根號外的因式內移到根號內，是指將根號外的非負因

7、數(shù)或非負因式平方后移到根號內，并與根號內的因數(shù)或因式相乘。解：（1）=（2） 點撥：因式內移，最容易發(fā)生符號錯誤。因此內移時，一定要認準非負因數(shù)或因式，保證內移時，不改變根式的大小。如（1）題中被開放數(shù)，根號外面的x也是非負的，內移后根號外應沒有負號；（2）題因為被開方數(shù)0，所以0，所以0要把負號留在根號外面。例11. 去掉下列各式分母中的根號：分析：（1）分母=，分子、分母同乘即可去掉分母中的根號； （2）分母，分子、分母同乘即可去掉分母中的根號；（3）分子、分母同乘即可去掉分母中的根號；（4）將分子分解后，直接與分母約分，從而化去分母解：（1）（2）（3）=（4）點撥：去掉分母中的根號，通

8、常是分母有理化。分母有理化時，應結合題目的具體特點，選擇適當?shù)姆椒?。當分子或分母可以分解因式，并且分解后的因式能夠約分的，最好不要直接分母有理化，待約分后再相機行事。【模擬試題】（答題時間：30分鐘）一. 填空題：1. 等式成立的條件是 .2. 計算：（1） ； （2） .（3） ； （4） .3. 化簡：（1） ； （2） .4. 計算：（1） ；（2） .二. 選擇題：5. 把化簡的結果應是（ ）A. B. C. D. 6. 下列計算中，正確的是（ ）A. B. C. D. 7. 如果，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 8. 下列二次根式中，最簡二次根式是（ ）A. B. C. D. 三. 解答題：9. 計算：（1） （2） （3）（4） （5） （6）10. 化簡：（1） （2） （3） （4） 11. 已知：求的值?！驹囶}答案】一. 填空題。1. ；2. （1）20；（2）；