二次函數(shù)圖像和性質(zhì)

1、20 xy復(fù)習(xí)回憶復(fù)習(xí)回憶1.二次函數(shù)的一般式？二次函數(shù)的一般式？ y=ax2+bx+c （ a0）特殊形式特殊形式 y =ax2 y=ax2+c y=ax2+bx一次函數(shù)的圖象是一條一次函數(shù)的圖象是一條_(2) 通常怎樣畫一個(gè)函數(shù)的圖象？通常怎樣畫一個(gè)函數(shù)的圖象？直線直線(3) 二次函數(shù)的圖象是什么二次函數(shù)的圖象是什么形形 狀呢？狀呢？列表、描點(diǎn)、連線列表、描點(diǎn)、連線 結(jié)合圖象討論結(jié)合圖象討論性質(zhì)是數(shù)形結(jié)合的性質(zhì)是數(shù)形結(jié)合的研究函數(shù)的重要方研究函數(shù)的重要方法我們得從最簡法我們得從最簡單的二次函數(shù)開始單的二次函數(shù)開始逐步深入地討論一逐步深入地討論一般二次函數(shù)的圖象般二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)和性質(zhì)你

2、想直觀地了解它的性質(zhì)嗎你想直觀地了解它的性質(zhì)嗎? ?數(shù)形結(jié)合,直觀感受在二次函數(shù)在二次函數(shù)y=xy=x2 2中中,y,y隨隨x x的變化而變化的規(guī)律的變化而變化的規(guī)律是什么？是什么？ 有的放矢有的放矢P38w觀察觀察y=y=x x2 2的表達(dá)式的表達(dá)式, ,選擇適當(dāng)選擇適當(dāng)x x值值, ,并計(jì)算相應(yīng)并計(jì)算相應(yīng)的的y y值值, ,完成下表：完成下表：w你會(huì)用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=xy=x2 2的圖象嗎的圖象嗎? ?xy=x x2 2x-3-2-10123y=x x2 2xy=x x2 29 94 41 10 01 14 49 9x x -3-3 -2 -2 -1 -10 01 12 23 3y y

3、解解:(1) :(1) 列表列表9 94 41 10 01 14 49 9(2) (2) 描點(diǎn)描點(diǎn)(3) (3) 連線連線1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5y=x2 2畫最簡單的二次函數(shù)畫最簡單的二次函數(shù) y = x2 的圖象的圖象 你還記得描點(diǎn)你還記得描點(diǎn)法的一般步驟法的一般步驟? ?列表時(shí)應(yīng)列表時(shí)應(yīng)注意注意什么問題？什么問題？ 列表列表描點(diǎn)描點(diǎn)連線連線描點(diǎn)時(shí)應(yīng)以哪些數(shù)描點(diǎn)時(shí)應(yīng)以哪些數(shù)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)？值作為點(diǎn)的坐標(biāo)？連線時(shí)應(yīng)注意連線時(shí)應(yīng)注意什么問題？什么問題？2xy這條拋物線關(guān)于這條拋物線關(guān)于y軸對稱軸對稱,y軸就軸就 是它的對稱軸是它的對稱軸. 對稱軸與拋物

4、對稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)拋物線的頂點(diǎn).二次函數(shù)二次函數(shù)y=x2的的圖象形如物體拋射圖象形如物體拋射時(shí)所經(jīng)過的路線時(shí)所經(jīng)過的路線,我我們把它叫做們把它叫做拋物線拋物線.2xy當(dāng)當(dāng)x0 (在對稱軸的在對稱軸的右側(cè)右側(cè))時(shí)時(shí), y隨著隨著x的增大而的增大而增大增大. 當(dāng)當(dāng)x= -2時(shí)，時(shí)，y=4當(dāng)當(dāng)x= -1時(shí)，時(shí)，y=1當(dāng)當(dāng)x=1時(shí)，時(shí)，y=1當(dāng)當(dāng)x=2時(shí)，時(shí)，y=4拋物線拋物線y=x2在在x軸的軸的上方上方(除頂點(diǎn)外除頂點(diǎn)外),頂點(diǎn)頂點(diǎn)是它的最低點(diǎn)是它的最低點(diǎn),開口開口向上向上,并且向上無限并且向上無限伸展伸展;當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)y的值最小的值最小,最小值是最小值是

5、0.x x -4-4-3-3-2 -2 -1 -10 01 1 2 23 34 4y= xy= x2 2例例1. 1.在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y= = x2 2和和y=2=2x2 2的圖象的圖象解解: (1) : (1) 列表列表(2) (2) 描點(diǎn)描點(diǎn)(3) (3) 連線連線1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-51 12 28 82 2 0.50.5 0 00.50.5 2 24.54.58 84.54.51 12 22yx212yx22yxxy=2xy=2x2 28-2-1.5-1-0.500.511.524.520.500.524.

6、581 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5 函數(shù)函數(shù)y= = x2 2, ,y=2=2x2 2的圖的圖象象與函數(shù)與函數(shù)y=x2 2( (圖中虛線圖形圖中虛線圖形) )的圖的圖象象相比相比, ,有什么共同點(diǎn)有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)和不同點(diǎn)? ?1 12 2共同點(diǎn)共同點(diǎn): :不同點(diǎn)不同點(diǎn): :開口都向上開口都向上; ;頂點(diǎn)是原點(diǎn)而且是拋物線頂點(diǎn)是原點(diǎn)而且是拋物線的最低點(diǎn)，對稱軸是的最低點(diǎn)，對稱軸是 y y 軸軸開口大小不同開口大小不同; ;2yx212yx22yx| |a| |越大，越大，在對稱軸的左側(cè)，在對稱軸的左側(cè)，y y隨著隨著x x的的增大增大而而減小。減小。在對稱

7、軸的右側(cè)，在對稱軸的右側(cè)，y y隨著隨著x x的的增大增大而而增大增大。拋物線的開口越小拋物線的開口越小。在學(xué)中做在做中學(xué)w(1)二次函數(shù)二次函數(shù)y=-xy=-x2 2的圖象是什么形狀？的圖象是什么形狀？你能根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)作出猜想嗎？駛向勝利的彼岸w(2)(2)先想一想，然后作出它的圖象先想一想，然后作出它的圖象w(3)它與二次函數(shù)它與二次函數(shù)y=x2的圖象有什么關(guān)系？的圖象有什么關(guān)系？xy=-x x2 2x-3-2-10123y=-x x2 2x -9-9-4-4-1-10 0-1-1-4-4-9-9做一做做一做P40駛向勝利的彼岸xy0 0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22

8、-1描點(diǎn)描點(diǎn), ,連線連線y=-=-x2 2?2xy這條拋物線關(guān)于這條拋物線關(guān)于y軸對稱軸對稱,y軸就軸就 是它的對稱軸是它的對稱軸. 對稱軸與拋物對稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)拋物線的頂點(diǎn).二次函數(shù)二次函數(shù)y= -x2的的圖象形如物體拋射圖象形如物體拋射時(shí)所經(jīng)過的路線時(shí)所經(jīng)過的路線,我我們把它叫做們把它叫做拋物線拋物線.y2xy 當(dāng)當(dāng)x0 (在對稱軸在對稱軸的右側(cè)的右側(cè))時(shí)時(shí), y隨著隨著x的增大而減小的增大而減小. y 當(dāng)當(dāng)x= -2時(shí)時(shí),y= -4 當(dāng)當(dāng)x= -1時(shí)時(shí),y= -1當(dāng)當(dāng)x=1時(shí)時(shí),y= -1當(dāng)當(dāng)x= 2時(shí)時(shí),y= -4拋物線拋物線y= -x2在在x軸的軸的

9、下方下方(除頂點(diǎn)外除頂點(diǎn)外),頂點(diǎn)頂點(diǎn)是它的最高點(diǎn)是它的最高點(diǎn),開口開口向下向下,并且向下無限并且向下無限伸展伸展;當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)y的值最大的值最大,最大值是最大值是0.x1y解解: (1) : (1) 列表列表(2) (2) 描點(diǎn)描點(diǎn)(3) (3) 連線連線x x-2-2-1.5-1.5-1 -1 -0.5-0.50 00.50.51 11.51.52 2y=y=x x2 2y=y=x x2 2y=y=2x2x2 21 12 2-2.25-0.25-0.25-2.25-2-2-.-.-.-.- -. .- -. .- -. .-.-4. 5-4. 5-1-2-30123-1-2-3

10、-4-52xy221xy 22xy x1y-1-2-30123-1-2-3-4-5 函數(shù)函數(shù)y= x2 2, ,y=2 2x2 2的圖象與函數(shù)的圖象與函數(shù)y=x2 2( (圖中藍(lán)線圖形圖中藍(lán)線圖形) )的圖象相比的圖象相比, ,有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)? ?1 12 2共同點(diǎn)共同點(diǎn): : 開口都向下開口都向下; ;不同點(diǎn)不同點(diǎn): :頂點(diǎn)是原點(diǎn)而且是拋物線頂點(diǎn)是原點(diǎn)而且是拋物線的最高點(diǎn)，對稱軸是的最高點(diǎn)，對稱軸是 y y 軸軸開口大小不同開口大小不同; ;|a|a| 越大，越大，221xy 2xy22xy 在對稱軸的左側(cè)，在對稱軸的左側(cè)，y y隨著隨著x x的的增大增大而而增大增

11、大。在對稱軸的右側(cè)，在對稱軸的右側(cè)，y y隨著隨著x x的的增大增大而減小而減小。拋物線的開口越小拋物線的開口越小看圖說話看圖說話w函數(shù)函數(shù)y=axy=ax2 2(a0)(a0)的圖象和性質(zhì)的圖象和性質(zhì): : 做一做做一做P40y=x2y=-x2xy0yx0?它們之間有何關(guān)系？2xy2xy 二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)的性質(zhì).頂點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸.位置與開口方向位置與開口方向.增減性與最值增減性與最值拋物線拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸對稱軸位置位置開口方向開口方向增減性增減性最值最值y=x2y= -x2（0，0）（0，0）y軸軸y軸軸在在x軸的上方軸的上方(除頂點(diǎn)外除頂點(diǎn)外)在

12、在x軸的下方軸的下方( 除頂點(diǎn)外除頂點(diǎn)外)向上向上向下向下當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)時(shí),最小值為最小值為0.當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)時(shí),最大值為最大值為0.在對稱軸的左側(cè)在對稱軸的左側(cè),y隨著隨著x的增大而減小的增大而減小. 在對稱軸的右側(cè)在對稱軸的右側(cè), y隨著隨著x的增大而增大的增大而增大. 在對稱軸的左側(cè)在對稱軸的左側(cè),y隨著隨著x的增大而增大的增大而增大. 在對稱軸的右側(cè)在對稱軸的右側(cè), y隨著隨著x的增大而減小的增大而減小. 根據(jù)圖形填表：根據(jù)圖形填表：y=xy=x2 2和和y=-xy=-x2 2是是y=axy=ax2 2當(dāng)當(dāng)a=a=1 1時(shí)的時(shí)的特殊例子特殊例子.a.a的符號的符號確定著拋物線的確定著拋物線

13、的開開口方向口方向駛向勝利的彼岸x0y函數(shù)函數(shù)y=axy=ax2 2(a0)(a0)的圖象和性質(zhì)的圖象和性質(zhì): :在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=xy=x2 2和和y=-xy=-x2 2的圖象的圖象看圖說話看圖說話y= =x2 2y=-=-x2 21.拋物線拋物線y=ax2的頂點(diǎn)是原點(diǎn)的頂點(diǎn)是原點(diǎn),對稱對稱軸是軸是y軸軸.2.當(dāng)當(dāng)a0時(shí)，拋物線時(shí)，拋物線y=ax2在在x軸的上方軸的上方(除頂點(diǎn)外除頂點(diǎn)外),它的開它的開口向上口向上,并且向上無限伸展；并且向上無限伸展； 當(dāng)當(dāng)a0時(shí)時(shí),在對稱軸的左側(cè)在對稱軸的左側(cè),y隨著隨著x的增大而減小；在對稱軸的增大而減?。辉趯ΨQ軸右側(cè)右側(cè),

14、y隨著隨著x的增大而增大的增大而增大.當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)時(shí)函數(shù)y的值最小的值最小.當(dāng)當(dāng)a0時(shí)，在對稱軸的左側(cè)時(shí)，在對稱軸的左側(cè),y隨著隨著x的增大而增大；在對稱軸的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)的右側(cè),y隨著隨著x增大而減小增大而減小,當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)y的值最大的值最大.二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)2xy2xy 我思，我進(jìn)步w1.已知拋物線已知拋物線y=ax2經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)A（-2，-8）. （1）求此拋物線的函數(shù)解析式；）求此拋物線的函數(shù)解析式； （2）判斷點(diǎn)）判斷點(diǎn)B（-1，- 4）是否在此拋物線上）是否在此拋物線上. （3）求出此拋物線上縱坐標(biāo)為）求出此拋物線上縱坐標(biāo)為-6的點(diǎn)的坐標(biāo)的點(diǎn)的坐

15、標(biāo). 例題欣賞例題欣賞P40駛向勝利的彼岸?w解（解（1）把（）把（-2，-8）代入）代入y=ax2,得得 -8=a(-2)2,w解得解得a= -2,所求函數(shù)解析式為所求函數(shù)解析式為y= -2x2.（2）因?yàn)椋┮驗(yàn)?,所以點(diǎn)所以點(diǎn)B（-1 ，-4）不在此拋物線上不在此拋物線上.2) 1(24（3）由）由-6=-2x2 ,得得x2=3, 所以縱坐標(biāo)為所以縱坐標(biāo)為-6的點(diǎn)有兩個(gè)，它們分別是的點(diǎn)有兩個(gè)，它們分別是 3x)6, 3()6, 3(與知道就做別客氣例題欣賞例題欣賞P40w2.2.填空填空:(1)拋物線拋物線y=2x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ,對稱軸是對稱軸是 ,在在 側(cè)側(cè),y隨著隨著x的增大而增大；在的增大而增大；在 側(cè)側(cè),y隨隨著著x的增大而減小的增大而減小,當(dāng)當(dāng)x= 時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)y的值最小的值最小,最小值是最小值是 ,拋物線拋物線y=2x2在在x軸的軸的 方方(除頂點(diǎn)外除頂點(diǎn)外).w(2)拋物線拋物線 在在x軸的軸的 方方(除頂點(diǎn)外除頂點(diǎn)外),在對稱軸的在對稱軸的左側(cè)左側(cè),y隨著隨著x的的 ；在對稱軸的右側(cè)；在對稱軸的右側(cè),y隨著隨著x的的 ,當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)y的值最大的值最大,最大值是最大值是 ,當(dāng)當(dāng)x 0時(shí)時(shí),y0a0圖圖象象開口方向開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸對稱軸增增減