第一章 矩陣代數(shù) - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)_第1頁(yè)
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1、第一章 矩陣代數(shù)v1.1 定義v1.2 矩陣的運(yùn)算v1.3 行列式v1.4 矩陣的逆v1.5 矩陣的秩v1.6 特征值、特征向量和矩陣的跡v1.7 正定矩陣和非負(fù)定矩陣v1.8 特征值的極值問(wèn)題1.1 定義111212122212qqpppqaaaaaaaaaApq矩陣：12paaaap維列向量：q維行向量： a=(a1,a2, ,aq)向量a的長(zhǎng)度：22212paaaaa a單位向量：1av若A的所有元素全為零，則稱A為零矩陣，記作A=0pq或A=0。v若p=q，則稱A為p階方陣，a11,a22, ,app稱為它的對(duì)角線元素，其他元素aij(ij)稱為非對(duì)角線元素。v若方陣A的對(duì)角線下方的元

2、素全為零，則稱A為上三角矩陣。顯然，aij=0,ij。v若方陣A的對(duì)角線上方的元素全為零，則稱A為下三角矩陣。顯然，aij=0,i0，則稱A為正定矩陣，記作A0；若對(duì)一切x，有xAx0，則稱A為非負(fù)定矩陣，記作A0。對(duì)非負(fù)定矩陣A和B，AB表示AB0；AB表示AB0。正定矩陣和非負(fù)定矩陣的基本性質(zhì)v(1)設(shè)A是對(duì)稱矩陣，則A是正定(或非負(fù)定)矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)A的所有特征值均為正(或非負(fù))。v(2)設(shè)A0，則A的秩等于A的正特征值個(gè)數(shù)。v(3)若A0，則A10。v(4)設(shè)A0，則A0，當(dāng)且僅當(dāng)|A|0。v(5)若A0(或0)，則|A|0(或0)。v(6)BB0，對(duì)一切矩陣B成立。v(7)若A0(或0)，則存在 0(或0)，使得 稱為A的平方根矩陣。v(8)設(shè)A0是p階秩為r的矩陣，則存在一個(gè)秩為r(即列滿秩)的pr矩陣B，使得A=BB。12A111222AA AA，1.8 特征值的極值問(wèn)題v(1)若A是p階對(duì)稱矩陣，其特征值依次為12 p，則v(2)若A是p階對(duì)稱矩陣，B是p階正定矩陣，12 p是B1A的p個(gè)特征值，則v(3)柯西許瓦茲不等式(CauchySchwarz) 若B0，則(xy)2(xBx)(yB1y)1maxminpxxx Ax

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