N階矩陣高次冪的求法及應用

1、學校代碼學號密級分類號本科畢業(yè)論文N階矩陣m次方冪的求法及應用Solution and Application of m-order of nn Martix作者專業(yè)名稱學科門類成績評定提交論文日期指導教師 學習文檔 僅供參考摘 要矩陣是許多實際問題中抽象出來的一個概念，它是高等代數(shù)的一個重要組成部分，它幾乎貫穿于高等代數(shù)的各個章節(jié)，在自然學科各分支及經濟管理等領域有著廣泛的應用.正因為它廣泛的應用又是解決眾多問題的有力工具，所以，學習并掌握好矩陣的運算以及它們的運算規(guī)律和方法是我們學好矩陣知識的一個非常重要的環(huán)節(jié).對于矩陣方冪的運算，它是以矩陣的乘法運算為基礎；然而，矩陣的冪運算是比較復雜同

2、時也是特別麻煩的，所以尋找簡單的運算方法就成了計算矩陣高次冪方面的重要環(huán)節(jié)，為此很多學者都花了很大的精力去探討研究，本文將在他們的研究基礎上，應用實例通過數(shù)學歸納法，乘法結合律的方法，二項式展開式的方法，分塊對角矩陣的方法，標準形法，最小多項式的方法和特殊矩陣法等多種方法來求解方陣的高次冪，進而為階矩陣的冪運算來提供一個參考.關鍵詞:數(shù)學歸納法;二項展開式;矩陣的冪;相似矩陣. Abstract Matrix is a concept many practical problems in the abstract, it is an important part of the linear a

3、lgebra, it is almost throughout the various sections of linear algebra, in the field of natural sciences and economic management of the branch has a wide range of applications. Just because it wide range of applications and is a powerful tool for solving many problems, so learn and master the operat

4、ion and their method of operation rules and good matrix is a matrix of knowledge we learn a very important part. For matrix power calculations, it is Matrix multiplication is based; however, the matrix exponential operation is more complex but also particularly troublesome, so look for a simple calc

5、ulation method has become an important part of computing power matrix high regard, for many scholars have spent a lot of research effort to investigate, the paper will be on the basis of their research, application examples by mathematical induction, multiplication associative approach, binomial exp

6、ansion method, the method block diagonal matrix, standard form method, minimal polynomial a variety of methods and special methods to solve the matrix method phalanx of high-power, and thus the power to order matrix operations to provide a reference.Keywords：Mathematical induction; power matrix; bin

7、omial expansion similar matrix .學習文檔 僅供參考目 錄摘 要IAbstractII目 錄III引 言11 準備知識12.1 利用數(shù)學歸納法求解階矩陣的高次冪2利用二項式展開法求矩陣的高次冪42.3 利用標準形求矩陣的高次冪52.4 利用分塊對角矩陣求矩陣的高次冪82.5 利用乘法結合律求方陣的高次冪102.6 利用最小多項式解矩陣的高次冪112.7 利用特殊矩陣法求解矩陣的高次冪132.7.1 對合矩陣132.7.2 冪等矩陣142. 8 利用圖論算法求矩陣的高次冪152.8.1 鄰接矩陣152.8.2 的元素的意義15利用特征多項式求解矩陣的高次冪163 矩

8、陣的冪在人口流動的中的應用17總 結20參考文獻21致 謝22學習文檔 僅供參考引 言矩陣是高等代數(shù)的主要內容之一，是處理線性方程組、二次型、線性變換等問題的重要工具，基本上貫穿于研究高等代數(shù)問題的始終.矩陣的理論和計算方法對于我們研究的許多問題都起著很重要的推動作用，同時也是解決數(shù)學以及大多數(shù)的科學領域中問題的重要工具，它有著十分廣泛的應用.學習并掌握好矩陣的運算以及它們的運算規(guī)律和方法是我們學好矩陣知識的一個非常重要的環(huán)節(jié).對于矩陣方冪的運算，它是以矩陣的乘法運算為基礎；然而，矩陣的冪運算是比較復雜同時也是特別麻煩的，所以尋找簡單的運算方法就成了在計算矩陣高次冪冪方面的重要課題.目前，關于

9、矩陣的高次冪的計算問題，有很多學者對此都進行了大量的研究，文獻1，2-13,15從不同角度闡述了矩陣的高次冪的計算問題.本文在這些研究基礎之上，用分類討論的方法，系統(tǒng)而又全面地介紹了一般的階矩陣和一些特殊的矩陣的高次冪的求解方法.對于那些簡單的矩陣，有關它們的低次冪求解，我們就可以直接按照矩陣乘法的定義去求解；但對于矩陣的秩為1的階矩陣，我們可以考慮用矩陣乘法結合律的方法求解；此外，我們還可以用二項式展開法，分塊對角矩陣的方法；對于一般情況下的階矩陣的求解，我們可以采用Jordan標準形的方法、最小多項式的方法去求解；然而我們還可以用一些特殊的矩陣去求解比方對合矩陣，冪等矩陣.在這些諸多的方法

10、中，它們都只不過為階矩陣的冪運算提供了一個參考.所以在實際應用中，我們可以根據矩陣的不同，采用不同的運算方法去化簡矩陣的冪計算.1 準備知識在矩陣的計算中，乘法是最常用的一種方法.特別是，當一個矩陣是方陣的時候，也就是這個矩陣有行列，可以定義這個矩陣和它本身的乘法運算，那就是我們所說的矩陣的冪.定義1 假設矩陣是矩陣階方陣，是正整數(shù)，那么就把形式稱為的次冪.方陣的冪運算規(guī)律：，其中，均為非負整數(shù).2 階矩陣的高次冪的一些求法以及應用2.1 利用數(shù)學歸納法求解階矩陣的高次冪 數(shù)學歸納法在初等數(shù)學中就有很廣泛的應用，是在計算數(shù)學命題中常用的一種方法.在求矩陣方冪問題的時候，在一些特別的情況下就可以

11、利用數(shù)學歸納法來計算出矩陣的高階次冪.關于求矩陣高次冪的根本思路就是：先計算出方陣的等較低次冪的矩陣，再利用等較低次冪矩陣的計算結果，由歸納法猜測的表達式，最后利用數(shù)學歸納法加以證明對于一切自然數(shù)都成立其中下同.例1 已知矩陣, 試求.解 因為所以，由這兩個矩陣的規(guī)律就可以得出，的第一行元素就是展開式的三個元素，而的第一行的元素是展開式的前三個元素，所以可以歸納總結出的第一行元素就應該是的展開式的前三個元素，也就是，所以猜測為. 下面利用數(shù)學歸納法進行證明.顯然當?shù)臅r候是成立的；假設是成立的，則求出的結果 ，顯然當?shù)慕Y果也就是. 例2 設，計算. 解 因為，.所以猜想.時，結論顯然成立；假設時

12、，結論也是成立的，也就是，則當時，顯然當時結論也是成立的，故上述所假設的結論是正確的，由數(shù)學歸納法知的求解結果是. 注 通過觀察這兩個矩陣可以知道，在求解矩陣高次冪問題的過程中，數(shù)學歸納法的關鍵就是通過較低矩陣次冪的計算結果來正確的總結出，進而來進行驗證所總結出來的是否正確，但是這種方法不是所有的矩陣高次冪都可以應運，它只能用于一些較為簡單矩陣而且較為特殊的矩陣，就類似于上面的兩道例題.如果題目所給出的階矩陣是可以分解，也就是，并且和的高次冪都是比較容易計算出來的，還要求也就是和是矩陣乘法適合交換律的，如果分解開的這兩高次冪矩陣不能相互交換的話，那么二項式展開式公式對于這個矩陣是不成立的，也就

13、是二項式展開法不適用于這個矩陣，如果滿足要求，所以就有以下的公式. 特別地，當階矩陣的主對角線上元素相同的時候，那么這樣的矩陣可以表示為一個純量矩陣與另外一個矩陣的和，也就是，并且所給出的矩陣的高次冪是比較容易計算出來的，那么這樣的矩陣就可以用這種方法比較簡單明了. 例3 已知矩陣，試求. 解 首先我們將矩陣分解為 ，而其中，容易得出并驗證矩陣滿足，也就是說和是可以交換的，根據二項式展開公式得 .例4 已知，求.解 首先我們將矩陣分解為，也就是，而其中的為，又因為，所以. 注 通過觀察我們可以知道，在求解這一類的矩陣問題的時候，我們首先要做的就是判斷這個所給出的矩陣能否被分解，其次分解的矩陣的

14、高次冪是比較容易計算出來的.2.3 利用標準形求矩陣的高次冪定義2 我們將形式為的矩陣稱為塊，其中是復數(shù)，由這樣假設干個假設爾當塊組成的準對角矩陣稱為矩陣，其一般形式為 ，其中，并且中有一些是可以相等的.根據定理我們可以得出，假設矩陣，那么矩陣與一個矩陣相似，這個矩陣除去塊的排列順序以外是被矩陣唯一確定了的，那么我們就稱這樣的矩陣為矩陣的階可逆矩陣，使得，而是階塊，因為，所以有.那么這時候要求塊的高次冪就可以得出以下結果： ，而其中，且.為矩陣的特征根. 例5 已知矩陣 試 求為自然數(shù). 解 因為，所以的初等因子為，故矩陣相似于標準形. 現(xiàn)在我們求可逆矩陣，使得.假設所以有，通過計算我們可以得

15、出 ，所以，且，. 例6 求矩陣的次冪. 解 已知矩陣的特征矩陣為，所以矩陣與矩陣，因為，所以即有，解這三個線性方程組可以得特征向量，所以，又因為，所以 注 在矩陣解題的時候我們要注意，我們所解的這個問題有沒有可逆陣，它是不是和我們的的前提.2.4 利用分塊對角矩陣求矩陣的高次冪 當給出的矩陣的階數(shù)較大的時候，我們就可以利用一些橫線和豎線把這個矩陣分成許多的小塊，這些小塊就是矩陣的子陣.如果這個矩陣能被分成對角形式，那么我們就可以把求解高次冪的矩陣的問題轉變?yōu)榍蠼夂唵巫雨嚨母叽蝺鐔栴}再計算上，進而到達簡化求解的目的. 由分塊對角矩陣得，其中都為方陣，而我們常用的子塊的高次冪的計算結果有 例7已

16、知矩陣，試求. 解 先將寫成分塊陣，其中，則，下面求 .從而. 例8 已知，求.解 矩陣可分塊成而，所以于是就變成求和， 因為，而所以， 又，其中，又根據二項式展開式得 ，于是求得注 在我們應用分塊對角矩陣求矩陣的高次冪的時候，我們一定要心里清楚我們要將那些分在一塊，在解題的過程中要學會多種方法聯(lián)系起來.2.5 利用乘法結合律求方陣的高次冪 如果矩陣，那么就說明這個矩陣至少有一行元素不為零，而其它每一行元素都是它的倍數(shù)，所以秩為1的的矩陣就有以下的形式，假設都是不為零的實數(shù)，那么就有記，那么就有.這種計算方法就叫做矩陣的乘法結合律. 例9 已知，求為自然數(shù). 解 對進行初等變換，我們發(fā)現(xiàn)矩陣的

17、秩為1，即，假設，那么，且，所以. 例10 ，求. 解 因為所以 = 又因為，則 . 注 確定應用乘法結合律解題以后，我們心里就要明白這個公式，并且熟記于心，這是應用乘法結合律的關鍵.2.6 利用最小多項式解矩陣的高次冪 定理3哈密爾頓-凱萊定理設是階矩陣，是的特征多項式，令，所以. 根據以上定理我們可以知道，以階矩陣為根的特征多項式有很多，但我們把首項系數(shù)為1的、次數(shù)最小的并且用矩陣為根的多項式，就叫做矩陣的最小多項式，經常用來表示. 這也就說明矩陣的最小多項式也是它的特征多項式的因子，這個事實具有一般性，并且有著4個結論 可以整除任何一個以矩陣為根的且首項系數(shù)為1的多項式； 和是有一樣的根

18、不算重復的，且兩個根的數(shù)目不一定相等； 如果兩個矩陣是相似矩陣，那么它們兩個的最小多項式就是相同的； ，而是矩陣的第個不變因子. 例11 已知，求. 解 易得的特征多項式為， 又，可得的最小多項式是：，所以當時，假設， .我們不妨假設，所以可以得方程組 ，解得，所以. 例12 ，求. 解 矩陣的特征多項式為，于是我們可得的最小多項式是，所以當時，假設，而； 又，所以可以得到方程組，即，解得所以.注 要想應用最小多項式法去解矩陣高次冪，首先要學會去求矩陣的特征值，得出矩陣的最小多項式，并假設，而，然后再進行求解.2.7 利用特殊矩陣法求解矩陣的高次冪2.7.1 對合矩陣 定義4 設為階矩陣，如果

19、，那么矩陣就叫做對合矩陣 . 1； 2滿足的所有二階矩陣為及，其中 .例13 設，求為自然數(shù). 解 假設，容易得，所以為對合矩陣，所以有，由，得 特別地，當時，有； 當時，有； 當時，有. 2.7.2 冪等矩陣 定義5 設為階矩陣，如果，那么就叫矩陣為冪等矩陣. 性質 1； 2滿足的所有二階矩陣有：0，以及形式如 或者的矩陣. 例14 已知，求.解 由于，所以矩陣為冪等矩陣，故由冪等矩陣的性質1知，.注 關于對合矩陣和冪等矩陣，我們只要學會判斷我們所求矩陣是不是對合矩陣或冪等矩陣，如果是，那就只用它倆的性質去求解就可以了.2. 8 利用圖論算法求矩陣的高次冪 如果是結點的集合和邊的集合所組成的

20、一個系統(tǒng)，的組成元素只有0和1，且為階矩陣.2.8.1 鄰接矩陣 定義6 假設有一個向圖，而其中的，假設每一個結點是從排列到的，定義一個階的矩陣，而中的元素是，那么就稱是圖的鄰接矩陣，而圖稱為階矩陣都是有一個相關圖的.2.8.2 的元素的意義 當時， 就表示存在一條邊，又或者可以說成是從到存在著一條長度是1的路；當時，假設，中的元素是，根據以上圖論的知識：就表示從結點到結點長度等于2的路徑的數(shù)目，特別當，也就是說長度等于2的路徑不存在. 表示長度等于的路徑的數(shù)目，一般的來說，時，令，表示從結點到結點的長度等于k的路徑的數(shù)目，就像我們剛剛說的，長度等于k的路徑的數(shù)目是不存在的，表示長度等于k的回

21、路數(shù)目. 這樣，我們就可以得出了n階矩陣的冪運算的圖論計算步驟 第一步、根據題所給出的n階矩陣，畫出它的相關圖，； 第二步、在我們所畫出的相關圖中一步一步地找出結點到結點長度等于k的路徑數(shù)目; 第三步、根據二我們可以寫出n階矩陣，于是我們就可以得到我們所求的冪矩陣 .例15 假設，求. 圖1 圖2解 先畫出矩陣A的相關圖H，如圖1，圖2，從圖上可以得出：從結點到結點長度等于3的路徑數(shù)有： . 然而長度等于3的路徑是不存在的，所以可以得出關于階矩陣，我們可以通過求其特征多項式，進而假設，而，再通過求導來計算. 例16 已知矩陣，求 . 解 首先給出矩陣的特征多項式三次，我們令，而二次，也就是 .

22、因為 ，所以時，代入，并求其一，二階導數(shù)得出，解得 ，將此結果代入矩陣中，所以3 矩陣的冪在人口流動的中的應用 例17 假設中小城市和鄉(xiāng)鎮(zhèn)一共有三十萬的人從事農業(yè)，工業(yè)，商業(yè)工作，我們假定這個總數(shù)在近些年里面是不會變得，而社會調查說明：在這30萬的就業(yè)人員中，大約有15萬的人從事農業(yè)工作，9萬的人從事工業(yè)，6萬的人經商；在從事農業(yè)工作的人中，每一年大約有20%改為從事工業(yè)，10%改為經商；在從事工業(yè)的人員中，每一年大約有20%改為從事農業(yè)，10%改為經商；在經商的人員中，每一年大約有10%的改為從事農業(yè)，10%改為從事工業(yè).現(xiàn)在想要預測一二年后從事各行業(yè)人員的數(shù)目和過多少年之后，從事各行業(yè)人數(shù)

23、的發(fā)展變化. 解 如果用三維向量來表示第年之后從事這三種職業(yè)的人員總數(shù)，現(xiàn)在根據調查知.現(xiàn)在求，并求當?shù)臅r候的變化趨勢. 由調查得，一年后從事這三種職業(yè)的人數(shù)為即我們以代入上式，所以就可以得.同理我們可以求得也就是說明年之后從事各行業(yè)的人數(shù)是由. 例18 某省市每一年有30%的農村人口移居到城市，而又有20%的城市人口移居到農村，我們假設這個省市的人口總數(shù)是不變的，并且我們的遷移規(guī)律也是不變的，目前這個城市的農村人口是320萬，城市是80萬，試求一年以后的農村和城市人口各是多少？兩年以后？n年以后？ 解 設n年以后這個城市的農村與城市人口數(shù)目分別為 ，根據題意 單位 ：萬，寫成矩陣的形式是，因

24、為，所以，所以兩年以后，農村人口和城市人口各200萬 .于是我們可以得出 ，也就是說n年以后這個城市的農村和城市的人口數(shù)是由來決定的.也就是矩陣冪的求解.在這兩個問題的求解過程中，我們用到了矩陣的乘法和轉置等，進而將一個實際問題數(shù)學化，進而應用數(shù)學知識解決了人口流動的實際問題.這種問題看起來很復雜，但是通過矩陣的應用，我們就把它成功的解決了.不得不說，矩陣是我們解決實際問題的好工具.總結 經過幾個多月的學習和工作，我終于完成了本篇論文.從剛開始拿到論文題目到系統(tǒng)的實現(xiàn)，再到論文的完成，每走一步都是新的嘗試與挑戰(zhàn).通過本文的這些知識點，應用實例通過數(shù)學歸納法，乘法結合律的方法，二項式展開式的方法

25、，分塊對角矩陣的方法，標準形法，最小多項式的方法和特殊矩陣法等多種方法來求解方陣的高次冪.我們很明顯的知道在具體的求解一個矩陣的高次冪的過程中，需要根據矩陣的不同特征而采用不同的運算方法是能否求解矩陣高次冪的一個關鍵問題.在以上我所介紹的那些方法中，它們并不一定是完全最簡便的，也不一定是獨立存在的，它們之間也是需要相互配合使用的如例8就結合使用了方法4和方法5.總而言之，在一個矩陣的高次冪求解過程中，我們需要充分的應用和發(fā)現(xiàn)矩陣的特征進而尋找求解的最簡便的方法，這對于我們在矩陣各部分內容之間的聯(lián)系以及思路的推廣，是具有十分重要的作用的，然而這個是說起來簡單做起來是十分困難的，要能夠熟練的選擇并

26、應用最簡單的運算方法，這是需要我們在大量的實踐中逐步地提高的，而我們所說的實踐一般情況下就是大量的練題.借此，我想說謝謝幫助我的老師，同學們，在你們的幫助下我才能這么快的完善了我的論文，謝謝你們.參考文獻1北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組編.王萼芳，石生明修訂. 高等代數(shù)M(第三版).北京:高等教育出版社,2003,7(1):162187 2 王漢斌.方陣高次冪的幾種解法J.安慶師范學院學報(自然科學版，2008,14(4):713李源,J.云南大學學報自然科學版,2008,30(2):4394404 劉秀英. n階矩陣m次方冪的求解方法J.菏澤師專學報，2000，222：61625 晏林.Jordan矩陣的冪J.文山師范高等?？茖W校學報,2006,20(2：94956 余躍玉.階方陣高次冪