浙教版八年級(jí)下冊(cè)2.2一元二次方程及解法培優(yōu)講義（含解析）

1、第1講一元二次方程及解法 命題點(diǎn)一：利用一元二次方程的概念求值例1已知關(guān)于x的方程(m2)x|m|3xmx1是一元二次方程，則m的值為 2 例2方程(m1)xm21(m3)x10，(1)當(dāng)m取何值時(shí)，是一元二次方程？并求出此方程的解(2)當(dāng)m取何值時(shí)，是一元一次方程？解：(1)若方程是一元二次方程，則m212，m±1.顯然m1時(shí)，m10，不符合題意故m1符合題意當(dāng)m1時(shí)，原方程可化簡(jiǎn)為2x22x10，x1，x2.因此m1，方程的兩根為x1，x2.(2)當(dāng)m10時(shí)，解得m1，此時(shí)方程為4x10；當(dāng)m211時(shí)，解得m0，此時(shí)方程為2x10.當(dāng)m1或m0時(shí)，方程為一元一次方程 命題點(diǎn)二：用

2、適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠汤?解下列方程：(1)(1x)2.(2)4(3x1)225(x2)2.(3)x212x9 964. (4)x23x60.解：(1)由原方程，得(1x)23，1x或1x，解得x11，x21.(2)移項(xiàng)，得4(3x1)225(x2)20，將方程的左邊因式分解，得2(3x1)5(x2)2(3x1)5(x2)0，即(x12)(11x8)0.x120或11x80，解得x112，x2.(3)方程兩邊都加上36，得x212x369 96436，即(x6)210 000.x6100或x6100，解得x1106，x294.(4)對(duì)于方程x23x60，a1，b3，c6，b24ac(3)24&#

3、215;1×63，x.x12，x2.【思路點(diǎn)撥】方程ax2bxc0(a0)的常見變形：ax2bxc；ax2bxc；axb(x0).例4解下列方程：(1)x23x3x1. (2)x233x. (3)2x2(3mn)x2m23mnn20.解：(1)由原方程移項(xiàng)，得x26x10，a1，b6，c1，b24ac(6)24×1×(1)40.x.x13，x23.(2)由原方程移項(xiàng)，得x23x30，a1，b3，c3，b24ac(3)24×1×36.x.x1，x2.(3)由原方程移項(xiàng)，得2x2(3mn)x(2mn)(mn)0.因式分解，得(x2mn)(2xnm)

4、0，x1n2m，x2. 命題點(diǎn)三：利用一元二次方程求代數(shù)式的值例5若a23a10，則a2的值為 7 例6若y24y20，則 命題點(diǎn)四：利用公共根求值例7一元二次方程x22x0的某個(gè)根，也是一元二次方程x2(k2)x0的根，求k的值解：x22x0，移項(xiàng)，得x22x.配方，得x22x1，即(x1)2.開方，得x1±，解得x1，x2.(k2)290，即k1或k5.根據(jù)題意，把x代入x2(k2)x0，得2(k2)0，解得k；把x代入x2(k2)x0，得2(k2)0，解得k7.1，75，兩個(gè)k均符合題意綜上所述，k的值為7或.例8已知a是關(guān)于x的方程x2(2k1)x40及3x2(6k1)x80

5、的公共解，則a 1 ，k 2 命題點(diǎn)五：利用判別式解決問(wèn)題例9已知關(guān)于x的一元二次方程mx2(m2)x20.(1)證明：不論m為何值時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根(2)當(dāng)m為何整數(shù)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根？解：(1)該方程是關(guān)于x的一元二次方程，m0，(m2)28mm24m4(m2)2.不論m為何值時(shí)，(m2)20，0.方程總有實(shí)數(shù)根(2)解方程，得x，x1，x21.方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根，m1或2.當(dāng)m2時(shí)，x1x21不合題意，m1.例10已知關(guān)于x的方程x2(2m1)xm(m1)0.(1)求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(2)已知方程的一個(gè)根為x0，求代數(shù)式(2m1)2(3m)(3m)7m5

6、的值(先化簡(jiǎn)，再求值)解：(1)該方程是關(guān)于x的一元二次方程x2(2m1)xm(m1)0，(2m1)24m(m1)1>0.方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(2)x0是此方程的一個(gè)根，把x0代入方程中，得到m(m1)0.(2m1)2(3m)(3m)7m54m24m19m27m53m23m53m(m1)55. 命題點(diǎn)六：解特殊方程例11(1)方程x230，則此方程的根是 x3或2 (2)解方程：(x22x)2(x22x)20.解：因式分解，得(x22x1)(x22x2)0.x22x2始終大于0，x22x10.x11，x21.(3)解方程：3.解：設(shè)a，則原式為a3.解a3，得a11，a22.當(dāng)a1

7、時(shí)，x12，x21；當(dāng)a2時(shí)，x11，x21.(4)如果x2x1(x1)0，那么x的值為(C)A2或1 B0或1 C2 D.1(5)解方程：2x215x18.解：令t，則t2t1 9800.因式分解，得(t45)(t44)0，解得t145，t244(舍去)2x215x270.因式分解，得(2x3)(x9)0，解得x1，x29.例12(1)解方程：(x21)25(x21)40.解：原式(x22)(x25)0，x22或x25，x1，x2，x3，x4.(2)解方程：3.解：設(shè)a，則原式a22a3，解得a13，a21.當(dāng)a3時(shí)，x1；當(dāng)a1時(shí)，x.x11，x2.(3)方程x22 0122 0130的所

8、有實(shí)數(shù)解的和為(B)A2 012 B0 C2 012 D2 013(4)方程(x2x1)x31的所有整數(shù)解的個(gè)數(shù)是(C)A2 B3 C4 D51(5)解方程：1.解：令t，得1t.由原式，得t(t1)(t3)0，解得t10，t21，t33.x1，x22，x3.課后練習(xí)1我們知道方程x22x30的解是x11，x23，現(xiàn)給出另一個(gè)方程(2x3)22(2x3)30，它的解是(D)Ax11，x23 Bx11，x23 Cx11，x23 Dx11，x232(2018·包頭)已知關(guān)于x的一元二次方程x22xm20有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，m為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，則符合條件的所有正整數(shù)m的和為(B)A

9、6 B5 C4 D.33設(shè)方程(xa)(xb)x0的兩個(gè)根為c，d，則方程(xc)(xd)x0的根為(A)Aa，b Ba，b Cc，d Dc，d4已知三個(gè)關(guān)于x的一元二次方程ax2bxc0，bx2cxa0，cx2axb0恰有一個(gè)公共實(shí)數(shù)根，則的值為(D)A0 B1 C2 D35若x0是一元二次方程(m2)x23xm22m80的解，則m的值為 4 6若方程x28x120的兩個(gè)根是等腰三角形兩條邊的長(zhǎng)，則該三角形的底邊長(zhǎng)為 2 7若一元二次方程ax2b(ab>0)的兩個(gè)根分別為m1與2m4，則 4 8已知a，b是方程x2x30的兩個(gè)根，則代數(shù)式2a3b23a211ab5的值為 23 9設(shè)a，

10、b是整數(shù)，方程x2axb0的根是，則ab 0 10已知關(guān)于x的方程x2(m2)x2m10.(1)求證：方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(2)若此方程的一個(gè)根是1，請(qǐng)求出方程的另一個(gè)根，并求以這兩個(gè)根為邊長(zhǎng)的直角三角形的周長(zhǎng)解：(1)(m2)24(2m1)(m2)24，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，m無(wú)論取何值，(m2)244，即4.關(guān)于x的方程x2(m2)x2m10恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(2)根據(jù)題意，得121×(m2)2m10，解得m2，則方程的另一個(gè)根為3.當(dāng)該直角三角形的兩直角邊是1，3時(shí)，由勾股定理得斜邊的長(zhǎng)度為，則該直角三角形的周長(zhǎng)為134；當(dāng)該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1和3時(shí)，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為2，則該直角三角形的周長(zhǎng)為13242.11已知實(shí)數(shù)m滿足m23m10，求代數(shù)式m2的值解：m23m10，m23m1.m23m13m19.12已知關(guān)于x的方程x2x3m0，x2xm0(m0)，若前一個(gè)方程中有一個(gè)根是后一個(gè)方程的某個(gè)根的3倍，求實(shí)數(shù)m的值解：設(shè)是方程x2xm0的一個(gè)根，則3是方程x2x3m0的一個(gè)根2m0，9233m0，即32m0.，得2220，解得0或1.當(dāng)0時(shí)，020m0，m0(舍去)；