度量空間與連續(xù)映射

1、定義2.1.1定理2.1.1作業(yè) 第2章度量空間與連續(xù)映射從數(shù)學(xué)分析中讀者已經(jīng)熟知單變量和多變量的連續(xù)函數(shù)，它們的定義域和值域都是歐氏空間（直線，平面或空間等等）或是其中的一部分在這一章中我們首先將連續(xù)函數(shù)的定義域和值域主要特征抽象出來用以定義度量空間，將連續(xù)函數(shù)的主要特征抽象出來用以定義度量空間之間的連續(xù)映射（參見§2.1）然后將兩者再度抽象，給出拓撲空間和拓撲空間之間的連續(xù)映射（參見§2.2）隨后再逐步提出拓撲空間中的一些基本問題如鄰域，閉包，內(nèi)部，邊界，基和子基，序列等等§2.1度量空間與連續(xù)映射本節(jié)重點：掌握拓撲學(xué)中度量的概念及度量空間中的連續(xù)映

2、射的概念注意區(qū)別：數(shù)學(xué)分析中度量、連續(xù)映射的概念與本節(jié)中度量、連續(xù)映射的概念注意，在本節(jié)的證明中,應(yīng)細細體會證明的方法首先讓我們回憶一下在數(shù)學(xué)分析中學(xué)習(xí)過的連續(xù)函數(shù)的定義函數(shù)f：RR稱為在點R處是連續(xù)的，如果對于任意實數(shù)0，存在實數(shù)0，使得對于任何xR，當(dāng)|x-|<時,有|f(x)-f()|<.在這個定義中只涉及兩個實數(shù)之間的距離（即兩個實數(shù)之差的絕對值）這個概念；為了驗證一個函數(shù)在某點處的連續(xù)性往往只要用到關(guān)于上述距離的最基本的性質(zhì)，而與實數(shù)的其它性質(zhì)無關(guān)，關(guān)于多元函數(shù)的連續(xù)性情形也完全類似以下，我們從這一考察出發(fā)，抽象出度量和度量空間的概念.定義2.1.1設(shè)X是一個集合，：X&

3、#215;XR如果對于任何x，y，zX，有（1）（正定性），(x,y)0并且(x,y)0當(dāng)且僅當(dāng)x=y；（2）(對稱性)(x,y)=(y,x)；（3）（三角不等式）(x,z)(x,y)+(y,z)則稱是集合X的一個度量如果是集合X的一個度量，稱（X，）是一個度量空間，或稱X是一個對于而言的度量空間有時，或者度量早有約定，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，這時我們稱X是一個度量空間此外，對于任意兩點x，yX，實數(shù)(x，y)稱為從點x到點y的距離著重理解：度量的本質(zhì)是什么？例2.1.1實數(shù)空間R對于實數(shù)集合R，定義：R×RR如下：對于任意x，yR，令（x，y）=|x-y|容易驗

4、證是R的一個度量，因此偶對（R，）是一個度量空間這個度量空間特別地稱為實數(shù)空間或直線這里定義的度量，稱為R的通常度量，并且常常略而不提，逕稱R為實數(shù)空間（今后我們說實數(shù)空間，均指具有通常度量的實數(shù)空間）例2.1.2n維歐氏空間對于實數(shù)集合R的n重笛卡兒積R×R××R定義：×R如下：對于任意x=（）,y=，令 （x，y）容易驗證（詳見課本本節(jié)最后部分的附錄）是的一個度量，因此偶對(，)是一個度量空間這個度量空間特別地稱為n維歐氏空間這里定義的度量，稱為的通常度量，并且常常略而不提，逕稱為n維歐氏空間2維歐氏空間通常稱為歐氏平面或平面（今后說通常度量，均指滿

5、足這種公式的度量）例2.1.3Hilbert空間H記H為平方收斂的所有實數(shù)序列構(gòu)成的集合，即 Hx=()|< 定義如下：對于任意 x（），y（）H令(x,y)=說明這個定義是合理的（即驗證<）以及驗證是H的一個度量，均請參見課本本節(jié)最后部分的附錄偶對（H，）是一個度量空間這個度量空間特別地稱為Hilbert空間這里定義的度量稱為H的通常度量，并且常常略而不提，逕稱H為Hilbert空間例2.1.4離散的度量空間設(shè)（X，）是一個度量空間稱（X，）是離散的，或者稱是X的一個離散度量，如果對于每一個xX，存在一個實數(shù)0使得（x，y）對于任何yX，xy，成立例如我們假定X是一個集合，定義：

6、X×XR使得對于任何x，yX，有 (x,y)= 容易驗證是X的一個離散的度量，因此度量空間（X，）是離散的通過這幾個例子，可知，度量也是一種映射，但它的象空間是實數(shù)離散的度量空間或許是我們以前未曾接觸過的一類空間，但今后會發(fā)現(xiàn)它的性質(zhì)是簡單的定義2.1.2設(shè)（X，）是一個度量空間，xX對于任意給定的實數(shù)0，集合 yX|（x，y）<記作B（x，），或，稱為一個以x為中心以為半徑的球形鄰域,簡稱為x的一個球形鄰域，有時也稱為x的一個鄰域此處的球形鄰域是球狀的嗎？定理2.1.1度量空間（X，）的球形鄰域具有以下基本性質(zhì)：（1）每一點xX,至少有一個球形鄰域，并且點x屬于它的每一個球形

7、鄰域；（2）對于點xX的任意兩個球形鄰域，存在x的一個球形鄰域同時包含于兩者；(3)如果yX屬于xX的某一個球形鄰域，則y有一個球形鄰域包含于x的那個球形鄰域證明:（1）設(shè)xX對于每一個實數(shù)0，B（x，）是x的一個球形鄰域，所以x至少有一個球形鄰域；由于（x，x）=0，所以x屬于它的每一個球形鄰域(2)如果B（x，）和B（x，）是xX的兩個球形鄰域，任意選取實數(shù)0，使得min ，則易見有 B（x，）B（x，）B（x，）即B（x，）滿足要求（3）設(shè)yB（x，）令-（x，y）顯然0如果zB（y，），則（z，x）（z，y）+（y，x）+（y，x）=所以zB（x，）這證明B（y，）B（x，）定義2.1

8、.3設(shè)A是度量空間X的一個子集如果A中的每一個點都有一個球形鄰域包含于A（即對于每一個aA，存在實數(shù)0使得B（a，）A，則稱A是度量空間X中的一個開集注意：此處的開集僅是度量空間的開集例2.1.5實數(shù)空間R中的開區(qū)間都是開集設(shè)a，bR，ab我們說開區(qū)間 （a，b）=xR|axb是R中的一個開集這是因為如果x（a，b），若令minx-a，b-x，則有B（x，）（a，b）也同樣容易證明無限的開區(qū)間（a，）xR|xa，（-，b）=xR|xb （-,）R都是R中的開集然而閉區(qū)間 a，b=xR|axb卻不是R中的開集因為對于aa，b而言，任何0，B（x，）a,b都不成立類似地，半開半閉的區(qū)間（a，b=x

9、R|axb，a，b)xR|axb無限的閉區(qū)問a，)=xR|xa,（，b=xR|xb都不是R中的開集定理2.1.2度量空間X中的開集具有以下性質(zhì)：（1）集合X本身和空集都是開集；（2）任意兩個開集的交是一個開集；（3）任意一個開集族（即由開集構(gòu)成的族）的并是一個開集證明根據(jù)定理2.1.1（1）X中的每一個元素x都有一個球形鄰域，這個球形鄰域當(dāng)然包含在X中，所以X滿足開集的條件；空集中不包含任何一個點，也自然地可以認為它滿足開集的條件（2）設(shè)U和V是X中的兩個開集如果xUV，則存在x的一個球形鄰域B（x，）包含于U，也存在x的一個球形鄰域B（x，）包含于V根據(jù)定理2.1.1（2），x有一個球形鄰域

10、B（x，）同時包含于B（x，）和B（x，），因此B（x，）B（x，）B（x，）UV由于UV中的每一點都有一個球形鄰域包含于UV，因此UV是一個開集（3）設(shè)*是一個由X中的開集構(gòu)成的子集族如果，則存在*A使得x由于是一個開集，所以x有一個球形鄰域包含于，顯然這個球形鄰域也包含于這證明是X中的一個開集此外，根據(jù)定理2.1.1（3）可見，每一個球形鄰域都是開集球形鄰域與開集有何聯(lián)系？為了討論問題的方便，我們將球形鄰域的概念稍稍作一點推廣定義2.1.4設(shè)x是度量空間X中的一個點，U是X的一個子集如果存在一個開集V滿足條件：xVU，則稱U是點x的一個鄰域下面這個定理為鄰域的定義提供了一個等價的說法，并且

11、表明從球形鄰域推廣為鄰域是自然的事情定理2.1.3設(shè)x是度量空間X中的一個點則X的子集U是x的一個鄰域的充分必要條件是x有某一個球形鄰域包含于U證明 如果U是點x的一個鄰域，根據(jù)鄰域的定義存在開集V使得xVU，又根據(jù)開集的定義，x有一個球形鄰域包含于V，從而這個球形鄰域也就包含于U這證明U滿足定理的條件反之，如果U滿足定理中的條件，由于球形鄰域都是開集，因此U是x的鄰域現(xiàn)在我們把數(shù)學(xué)分析中的連續(xù)函數(shù)的概念推廣為度量空間之間的連續(xù)映射定義2.1.5設(shè)X和Y是兩個度量空間，f:XY，以及X如果對于f()的任何一個球形鄰域B（f(),），存在的某一個球形鄰域B（，），使得f(B（，）)B（f（），）

12、，則稱映射在點處是連續(xù)的如果映射f在X的每一個點xX處連續(xù)，則稱f是一個連續(xù)映射以上的這個定義是數(shù)學(xué)分析中函數(shù)連續(xù)性定義的純粹形式推廣因為如果設(shè)和分別是度量空間X和Y中的度量，則f在點處連續(xù)，可以說成：對于任意給定的實數(shù)0，存在實數(shù)0使得對于任何xX只要（x，）（即xB（,）便有(f(x),f().（即f(x)B（f()，）下面的這個定理是把度量空間和度量空間之間的連續(xù)映射的概念推廣為拓撲空間和拓撲空間之間的連續(xù)映射的出發(fā)點定理2.1.4設(shè)X和Y是兩個度量空間，f：XY以及X則下述條件（1）和（2）分別等價于條件（1）*和（2）*：（1）f在點處是連續(xù)的；（1）*f()的每一個鄰域的原象是的一

13、個鄰域；（2）f是連續(xù)的；（2）*Y中的每一個開集的原象是X中的一個開集證明條件（1）蘊涵（1）*：設(shè)（1）成立令U為f（）的一個鄰域根據(jù)定理2.1.3，f（）有一個球形鄰域B（f（），）包含于U由于f在點處是連續(xù)的，所以有一個球形鄰域B（，）使得f（B（，）B（f（），）然而，（B（f（），）（U），所以B（，）（U），這證明（U）是的一個鄰域條件（1）*蘊涵（1）設(shè)條件（1）*成立任意給定f（）的一個鄰域B（f(),），則（B（f()，）是的一個鄰域根據(jù)定理2.1.3，有一個球形鄰域B（，）包含于（B（f（），）因此f（B（，）B（f（），）這證明f在點處連續(xù)條件（2）蘊涵（2）*設(shè)條件（2）成立令V為Y中的一個開集，U（V）對于每一個xU，我們有f（x）V由于V是一個開集，所以V是f（x）的一個鄰域由于f在每一點處都連續(xù)，故根據(jù)（1）*，U是x的一個鄰域于是有包含x的某一個開集Ux使得UxU易見UxUUx由于每一個Ux都是開集，根據(jù)定理2.1.2，U是一個開集條件（2）*蘊涵（2）設(shè)（2）*成立，對于任意xX，設(shè)U是f（x）的一個鄰域，即存在包含f（x）的一個開集V U從而x（V）（U）根據(jù)條件（2）*，（V）