火車(chē)站買(mǎi)票難問(wèn)題模型

1、承 諾 書(shū)我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模精英賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢(xún)等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們的參賽報(bào)名號(hào)為： MCM201101215 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)完整的全名）： 海南大學(xué) 參賽隊(duì)員 ： 1. 張捷 2. 姚澄雪

2、3. 方玉英 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (沒(méi)有可以不填寫(xiě))： 日期：2011 年 10 月 7 日旅游高峰期及春運(yùn)車(chē)票緊張的解決方案摘要五一、十一等旅游高峰期和春運(yùn)雖客流人群成分結(jié)構(gòu)及流向有所差異，但均表現(xiàn)出鐵路客流量在短期內(nèi)的激增這一共同特征，因此可將其大致歸于一類(lèi)進(jìn)行分析。本文選取廣州地區(qū)及廣州站為對(duì)象，全年客流量最大的春運(yùn)期這一時(shí)段進(jìn)行研究與分析，運(yùn)用線性規(guī)劃和排隊(duì)論的知識(shí)最終制定出了解決2012年春運(yùn)高峰期車(chē)票緊張的方案。首先，結(jié)合歷年客運(yùn)量數(shù)數(shù)據(jù)，利用灰色模型GM(1,1)對(duì)廣州地區(qū)及廣州站2012年春運(yùn)時(shí)期的客流量進(jìn)行預(yù)測(cè)和精度分析，可以看出灰色模型GM(1,1)的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值

3、基本接近，而且由其后驗(yàn)差可知模型的精度為優(yōu)，因此其預(yù)測(cè)值具有較好的實(shí)際指導(dǎo)意義。接著，為解決票源不足問(wèn)題，一方面可利用多目標(biāo)規(guī)劃模型解決了如何增設(shè)備用車(chē)可使得高峰期創(chuàng)造的經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)和社會(huì)價(jià)值盡可能大，同時(shí)非高峰期運(yùn)力資源的浪費(fèi)盡可能小這一問(wèn)題。最終確定出2012年廣州火車(chē)站春運(yùn)等高峰期增設(shè)備用車(chē)數(shù)量的最優(yōu)值為21輛；另一方面可先采用邊際成本定價(jià)、盈虧平衡定價(jià)和總效用最優(yōu)定價(jià)模型來(lái)尋找春運(yùn)期間的最優(yōu)票價(jià)，綜合考慮社會(huì)效益、鐵道部效益與乘客利益的最大化，用模糊綜合評(píng)價(jià)法對(duì)這三種定價(jià)模型進(jìn)行評(píng)價(jià)出總效用最優(yōu)定價(jià)法為最優(yōu)方案。另外可由拉姆塞模型作出改進(jìn)，利用高峰負(fù)荷定價(jià)法調(diào)低非高峰期的票價(jià)以削減高峰期的

4、客運(yùn)量，最終由預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)得到2012年調(diào)整非高峰期的票價(jià)后廣州地區(qū)春運(yùn)高峰期鐵路客流量萬(wàn)。最后，在票源充足的情況下，分析售票系統(tǒng)的特征，從而建立基于排隊(duì)論火車(chē)站售票系統(tǒng)的優(yōu)化模型，得出在春運(yùn)高峰期廣州火車(chē)站售票大廳至少增加76個(gè)臨時(shí)售票點(diǎn)才能有效緩解購(gòu)票壓力。關(guān)鍵詞：灰色模型；多目標(biāo)規(guī)劃；排隊(duì)論；層次分析法； 高峰負(fù)荷定價(jià)法一、問(wèn)題重述每年的國(guó)慶，五一以及春運(yùn)都會(huì)看到火車(chē)售票大廳以及代售點(diǎn)長(zhǎng)長(zhǎng)的人龍排隊(duì)買(mǎi)票。很多情況下會(huì)有很多人買(mǎi)不到票，熱門(mén)城市的車(chē)票更是一票難求。中國(guó)政府也采取了各種政策來(lái)進(jìn)行調(diào)控，但是效果甚微。請(qǐng)你查閱資料，以最優(yōu)化的方式建模解決這種情況。現(xiàn)針對(duì)廣州地區(qū)及廣州站春運(yùn)等高峰期車(chē)

5、票緊張的情況，制定出2012年春運(yùn)等高峰期的應(yīng)對(duì)方案，則需要解決以下問(wèn)題：?jiǎn)栴}一，對(duì)廣州火車(chē)站2012年春運(yùn)等高峰期的最大客運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測(cè)和分析；問(wèn)題二，通過(guò)增設(shè)備用車(chē)可以擴(kuò)張鐵路運(yùn)力，但春運(yùn)等高峰期僅僅是一個(gè)短期現(xiàn)象，過(guò)多地增設(shè)備用車(chē)會(huì)導(dǎo)致資源的浪費(fèi)。請(qǐng)?zhí)岢鲆粋€(gè)增設(shè)備用車(chē)的最優(yōu)方案，使其能夠滿足2012年春運(yùn)等高峰期的客流量要求；問(wèn)題三，通過(guò)票價(jià)調(diào)控可以削減鐵路客流量，并誘導(dǎo)其向其他交通運(yùn)輸工具的偏移，然而票價(jià)調(diào)控的不合理會(huì)引起系列社會(huì)問(wèn)題，因此要兼顧社會(huì)效益、鐵道部效益與乘客利益。請(qǐng)?zhí)岢鲆粋€(gè)票價(jià)調(diào)控的最優(yōu)方案；問(wèn)題四，售票窗口的不合理設(shè)置往往會(huì)引起“買(mǎi)票難”等一系列問(wèn)題，就廣州火車(chē)站春運(yùn)等高

6、峰期的售票情況，對(duì)其售票窗口的設(shè)置進(jìn)行優(yōu)化。二、模型假設(shè)1 假設(shè)所有網(wǎng)上搜集的數(shù)據(jù)均真實(shí)準(zhǔn)確；2 假設(shè)備用列車(chē)的配置為2個(gè)機(jī)車(chē)和20個(gè)車(chē)廂，平均車(chē)廂定員為150；3 假設(shè)春運(yùn)期間不考慮國(guó)家對(duì)火車(chē)票的價(jià)格管制；4 假設(shè)各售票窗口工作效率相同，任意時(shí)刻各窗口隊(duì)長(zhǎng)相等；5 假設(shè)不考慮增加臨時(shí)售票點(diǎn)的所有影響；6 假設(shè)未來(lái)一年內(nèi)不會(huì)發(fā)生嚴(yán)重自然災(zāi)害、較大政策變化等對(duì)客流量進(jìn)行干預(yù)的系列事件；三、符號(hào)說(shuō)明車(chē)站現(xiàn)可承載最大客運(yùn)量 為后驗(yàn)差檢驗(yàn)數(shù)備用車(chē)體運(yùn)行期間的閑置費(fèi)用 備用車(chē)體運(yùn)營(yíng)期間的成本備用車(chē)體運(yùn)營(yíng)期間利潤(rùn) 為運(yùn)輸成本，為最優(yōu)票價(jià)， 列車(chē)提價(jià)產(chǎn)生的總效用為第種交通工具的旅行時(shí)間 為第種交通工具的票價(jià)

7、為第種交通工具的其它影響因素 旅客平均等待時(shí)間旅客平均逗留時(shí)間 等待排隊(duì)買(mǎi)票顧客數(shù)的期望值系統(tǒng)中排隊(duì)買(mǎi)票顧客的期望值 服務(wù)強(qiáng)度四、問(wèn)題分析該方案旨在解決導(dǎo)致車(chē)票緊張的兩大方面難題：票源不足導(dǎo)致的“買(mǎi)不到票”和售票系統(tǒng)不夠完善導(dǎo)致的“票難買(mǎi)”。票源不足的根源在于鐵路運(yùn)輸供求的尖銳矛盾，因此解決這一矛盾有兩種途徑：提高鐵路運(yùn)輸?shù)墓?yīng)能力和削減鐵路的客運(yùn)量。提高鐵路運(yùn)輸?shù)墓?yīng)能力的措施有多種，但從短期來(lái)看，通過(guò)增設(shè)備用車(chē)來(lái)擴(kuò)張鐵路運(yùn)力比較可行有效，因此也常常是各大車(chē)站應(yīng)對(duì)客流高峰期的重要舉措；而削減鐵路的客運(yùn)量在于利用多種交通運(yùn)輸工具的整合來(lái)分散客流量，則可以通過(guò)合理調(diào)整票價(jià)來(lái)誘導(dǎo)旅客向其他交通工具

8、及其它春運(yùn)時(shí)段的偏移來(lái)削減普通列車(chē)的客運(yùn)量；而通過(guò)合理增加臨時(shí)售票點(diǎn)可以?xún)?yōu)化售票系統(tǒng)，從而縮短買(mǎi)票長(zhǎng)龍。針對(duì)問(wèn)題一，需要對(duì)廣州火車(chē)站2012年春運(yùn)等高峰期的最大客運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測(cè)和分析，考慮到所能查找到的數(shù)據(jù)有限，而灰色模型GM(1,1)能夠很好地克服這一不足。因此，利用灰色模型GM(1,1)來(lái)對(duì)其進(jìn)行預(yù)測(cè)并由其誤差檢驗(yàn)來(lái)分析預(yù)測(cè)的合理性。針對(duì)問(wèn)題二，需要使增設(shè)備用車(chē)的數(shù)量達(dá)到最優(yōu)，考慮到備用車(chē)在不運(yùn)行時(shí)會(huì)產(chǎn)生閑置費(fèi)用（包括檢修費(fèi)等），而春運(yùn)等客流高峰期運(yùn)行時(shí)，即可滿足客流量的要求，又能帶來(lái)較大的經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)及社會(huì)價(jià)值。由此，我們可以建立一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃模型來(lái)得到增設(shè)備用車(chē)數(shù)量的最優(yōu)值，使得備用車(chē)產(chǎn)生的

9、閑置費(fèi)用盡可能小而獲取的利潤(rùn)盡可能大。針對(duì)問(wèn)題三，價(jià)格調(diào)控最優(yōu)是在多種定價(jià)方法中找到最適合春運(yùn)期間調(diào)控價(jià)格的方案，可先分別用邊際成本定價(jià)法、盈虧平衡定價(jià)法和總效用最優(yōu)定價(jià)法求出最優(yōu)價(jià)格，再利用模糊綜合評(píng)價(jià)法對(duì)其三者進(jìn)行比較評(píng)價(jià)選出最優(yōu)方案。針對(duì)問(wèn)題四，在客運(yùn)高峰期，需要合理增加臨時(shí)售票點(diǎn)以縮短購(gòu)票長(zhǎng)龍。通過(guò)對(duì)火車(chē)站售票窗口進(jìn)行特征分析，發(fā)現(xiàn)售票系統(tǒng)符合多通道排隊(duì)論系統(tǒng)，可以建立M/M/C模型對(duì)其進(jìn)行模擬優(yōu)化。五、模型的建立與求解5.1 灰色預(yù)測(cè)模型GM(1,1)GM（1，1）模型是指一階、一個(gè)變量的灰色系統(tǒng)模型，其具有能夠利用“少數(shù)據(jù)”建模尋求現(xiàn)實(shí)規(guī)律的良好特性，很好地克服了資料不足的缺點(diǎn)，并

10、且預(yù)測(cè)精度較高。 模型的建立（1）累加生成數(shù)（AGO）的概念：累加生成數(shù)1-AGO指依次累加生成。記原始序列為一次生成序列為其中，（2）令表示需要建模的序列，為的1-AGO序列，則有定義為的緊鄰均值生成序列：（3 ）建立如下灰微分方程：記，則灰微分方程的最小二乘估計(jì)參數(shù)列滿足下式：其中，稱(chēng)為灰微分方程的白化方程。（4） 預(yù)測(cè)方程的確定：首先求出時(shí)間響應(yīng)函數(shù)，即白化方程的解為：再得到灰色微分方程的時(shí)間響應(yīng)序列為：取，則有將值還原得到預(yù)測(cè)方程如下： 模型的求解（1）通過(guò)網(wǎng)上查詢(xún)，整理出廣州地區(qū)和廣州站20032011年春運(yùn)期間客運(yùn)量數(shù)據(jù)如表1、表2：表1 廣州地區(qū)20032011年春運(yùn)期間總客運(yùn)量

11、（單位：萬(wàn)人）年份200320042005200620072008200920102011總客運(yùn)量表2 廣州站20032011年春運(yùn)期間日最大客運(yùn)量（單位：萬(wàn)人）年份200320042005200620072008200920102011日最大客運(yùn)量（2）若以表1給出的總客運(yùn)量數(shù)據(jù)作為原始序列，對(duì)可生成1-AGO序列，另外可得見(jiàn)表3.表3 原始序列、生成的1-AGO序列以及123456789其中，即（3） 對(duì)于上述的的GM(1,1)參數(shù)按照下式進(jìn)行最小二乘估計(jì)得(B矩陣的完整數(shù)據(jù)見(jiàn)附錄1)（4） 將代入辨識(shí)算式，得（5） 求得GM(1,1)模型為灰微分方程：白化方程：,其時(shí)間響應(yīng)式為：將值還原

12、得到預(yù)測(cè)方程如下：（6 ）利用Matlab編程（代碼見(jiàn)附錄2）可分別預(yù)測(cè)2012年廣州地區(qū)春運(yùn)期間總客運(yùn)量和廣州站日最大客運(yùn)量為和25.9萬(wàn)人，其預(yù)測(cè)曲線分別如圖1,2所示(其中綠色曲線代表實(shí)際值，紅色曲線代表預(yù)測(cè)值)：（7）誤差分析：由圖1、圖2可看出預(yù)測(cè)曲線與實(shí)際曲線擬合程度較高，除2008年外其余年份預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的偏差較小，而2008年客流量預(yù)測(cè)值與實(shí)際值偏差較大的原因主要在于08春運(yùn)期間的大規(guī)模冰雪災(zāi)害導(dǎo)致廣州周?chē)姸噼F路發(fā)生“癱瘓”，從而不利于客運(yùn)量的疏導(dǎo)，造成較大客運(yùn)量的滯留與累積。 模型的檢驗(yàn)利用后驗(yàn)差檢驗(yàn)?zāi)茌^精確地對(duì)GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行精度檢驗(yàn)與分析，后驗(yàn)差的定義

13、為：其中，分別為殘差序列的均方差和原序列的均方差，由后驗(yàn)差檢驗(yàn)判別參照表，可以判斷模型的精度，如表4：表4 ：后驗(yàn)差檢驗(yàn)判別參照表模型精度優(yōu)合格勉強(qiáng)合格不及格Matlab編程可得，對(duì)2012年廣州地區(qū)春運(yùn)期間總客運(yùn)量和廣州站日最大客運(yùn)量的預(yù)測(cè)結(jié)果產(chǎn)生的后驗(yàn)差分別為0.16和0.10,均小于0.35，表示模型的精度為優(yōu)，則預(yù)測(cè)值具有一定的實(shí)際指導(dǎo)意義?；诙嗄繕?biāo)規(guī)劃的備用車(chē)數(shù)量?jī)?yōu)化模型春運(yùn)及旅游高峰期票源不足的根本問(wèn)題在于鐵路運(yùn)力不足，因此解決這一難題的途徑在于提高鐵路運(yùn)輸能力。而提高鐵路運(yùn)輸能力的措施，長(zhǎng)期來(lái)看，是加強(qiáng)鐵路的建設(shè)以及開(kāi)通鐵路專(zhuān)線；短期來(lái)看，則是增加備用車(chē)體的數(shù)量。鐵路的建設(shè)及專(zhuān)

14、線的開(kāi)通是一項(xiàng)長(zhǎng)期復(fù)雜的任務(wù)，需要涉及的方面很多，分析起來(lái)比較困難；而增加備用車(chē)體這一措施比較靈活有效，所以常常作為春運(yùn)及旅游高峰期鐵路運(yùn)輸?shù)闹匾胧?模型的建立（1）模型的準(zhǔn)備增加的備用車(chē)在運(yùn)休期間，會(huì)占用停車(chē)線閑置車(chē)輛，也需要進(jìn)行定期檢修及維修工作。因此假設(shè)運(yùn)休期間車(chē)廂的閑置費(fèi)用為，機(jī)車(chē)閑置費(fèi)用為（其中閑置費(fèi)用包括日均維護(hù)費(fèi)用及檢修存放費(fèi)用等），車(chē)體一年中閑置天數(shù)為n，則運(yùn)行天數(shù)為m=365-n；運(yùn)行期間的車(chē)底運(yùn)營(yíng)成本為，機(jī)車(chē)運(yùn)營(yíng)成本為。另外需假設(shè)列車(chē)平均車(chē)廂定員為，春運(yùn)客流高峰期所需要增加的車(chē)底、機(jī)車(chē)數(shù)量分別為，平均票價(jià)為p。那么，在春運(yùn)客流高峰期增加的備用車(chē)所能運(yùn)送的最大客流量為。并

15、且假設(shè)車(chē)站停存?zhèn)溆密?chē)體的最大數(shù)量為z，高峰時(shí)期最大客運(yùn)量為,車(chē)站現(xiàn)可承載最大客運(yùn)量為。（2）目標(biāo)函數(shù)的確立a.備用車(chē)體運(yùn)行期間的閑置費(fèi)用：b.備用車(chē)體運(yùn)營(yíng)期間的成本和利潤(rùn)：備用車(chē)體在春運(yùn)客流高峰期分擔(dān)的乘客量為，其中為鐵路所能承受的最大客流量，為日?？土髁?。則客流高峰期備用車(chē)的運(yùn)營(yíng)收入為，而備用體運(yùn)營(yíng)期間的運(yùn)營(yíng)成本為：在運(yùn)行期間，備用車(chē)體創(chuàng)造的利潤(rùn)為：(3)模型的建立由以上分析，為解決春運(yùn)等客流高峰期運(yùn)輸難題，可建立以下模型來(lái)確定增加備用車(chē)的數(shù)量的最優(yōu)解：Obj.MinA=MaxB=s.t.這是一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，通?？梢赞D(zhuǎn)換為單目標(biāo)規(guī)劃來(lái)求解?？紤]到減小備用車(chē)的閑置費(fèi)用與增加備用車(chē)?yán)麧?rùn)對(duì)于火

16、車(chē)站來(lái)說(shuō)，其作用相當(dāng)，因此給A,B加權(quán)各0.5，目標(biāo)函數(shù)即可轉(zhuǎn)化為單一的MinC=MinA-MaxB.(4) 模型的求解由問(wèn)題一給出的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，2012年由網(wǎng)上搜集的資料可得到廣州站春運(yùn)高峰時(shí)期日最大客運(yùn)量為，另外其能停存?zhèn)溆密?chē)體的最大數(shù)量z為30，而且由假設(shè)可知備用列車(chē)定員為3000人，備用車(chē)體的其他具體數(shù)據(jù)見(jiàn)表5：表5 廣州火車(chē)站備用車(chē)體的相關(guān)數(shù)據(jù)日均閑置費(fèi)用（元）日均運(yùn)營(yíng)成本（元）閑置天數(shù)運(yùn)行天數(shù)19.6萬(wàn)2萬(wàn)19.6萬(wàn)車(chē)底機(jī)車(chē)車(chē)底機(jī)車(chē)26310228704256894338452結(jié)合上述數(shù)據(jù)利用Lingo軟件編程（見(jiàn)附錄3），得出結(jié)果如下：Objective value: 89325.

17、36(萬(wàn))Variable Value X 420.0000 Y 42.00000 由此可知對(duì)于廣州火車(chē)站而言，2012年春運(yùn)客流高峰期備用車(chē)增加數(shù)量的最優(yōu)值為y/2,即21輛。5.3 基于火車(chē)票定價(jià)的優(yōu)化模型首先，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，從整體上對(duì)從廣州出發(fā)的列車(chē)進(jìn)行模糊統(tǒng)一定價(jià)，即可抽象為從廣州出發(fā)的列車(chē)無(wú)差異且前往唯一目的地，在此條件下分別用邊際成本定價(jià)模型和盈虧平衡定價(jià)模型求出票價(jià)最優(yōu)值。其次，對(duì)同一線路的不同運(yùn)輸方式進(jìn)行定價(jià)，即選擇普快、動(dòng)車(chē)、高鐵三種交通方式進(jìn)行比較，運(yùn)用總效用最優(yōu)模型分別求其票價(jià)最優(yōu)值。 邊際成本定價(jià)模型的建立與求解(1)假設(shè)運(yùn)輸成本和客流量之間存在函數(shù)關(guān)系為：其中，為待定

18、常數(shù)，為運(yùn)輸成本，為客流量。(2)邊際成本是運(yùn)輸總成本對(duì)運(yùn)量的導(dǎo)數(shù)，公式為：其中，為用邊際成本確定的單位運(yùn)價(jià)。(3)票價(jià)最優(yōu)值的式子為：其中，為除運(yùn)輸成本以外的固定運(yùn)營(yíng)成本。(4)對(duì)式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得：根據(jù)有關(guān)數(shù)據(jù)及利用問(wèn)題一中的GM(1,1)預(yù)測(cè)模型可得到廣州地區(qū)春運(yùn)期間及日客流量日運(yùn)輸成本數(shù)據(jù)如表6：表6 廣州地區(qū)春運(yùn)期間日運(yùn)輸成本及日客流量數(shù)據(jù)年份日客流量Q/萬(wàn)人lnQ日運(yùn)輸成本C/萬(wàn)元lnC2003200420052006200720082009201020112012（預(yù)測(cè)）(5)將和的數(shù)據(jù)導(dǎo)入Eviews，參數(shù)估計(jì)出和，具體運(yùn)算結(jié)果見(jiàn)附錄4。得到：97則： =+(6)根據(jù)鐵路運(yùn)營(yíng)

19、部門(mén)數(shù)據(jù)顯示，大約在50-150元上下浮動(dòng)。由此可估計(jì)出2012年，最優(yōu)票價(jià)應(yīng)定在之間。盈虧平衡的定價(jià)模型的建立與求解考慮到鐵路部門(mén)和旅客兩者的利益關(guān)系, 可將運(yùn)營(yíng)的盈虧平衡作為制定票價(jià)模型的依據(jù), 從而建立相應(yīng)的盈虧平衡定價(jià)模型。(1)假設(shè)客運(yùn)量與票價(jià)之間存在函數(shù)關(guān)系： (2)式中:為常數(shù)，為客運(yùn)量，為票價(jià)，為運(yùn)量的價(jià)格需求彈性系數(shù),(2)運(yùn)營(yíng)收入：(3)將(2)式代入得成本：(4)當(dāng)運(yùn)營(yíng)收入與成本達(dá)到盈虧平衡時(shí)的票價(jià)為最優(yōu)平均票價(jià), 即：可得均衡票價(jià).由于國(guó)家對(duì)火車(chē)票有著較為嚴(yán)格的價(jià)格管制，票價(jià)基本由里程數(shù)決定，2003至2011年間火車(chē)票價(jià)格變化甚微。因此假設(shè)火車(chē)票價(jià)在無(wú)價(jià)格管制的情況下

20、，可以根據(jù)類(lèi)似條件將輕軌的歷史數(shù)據(jù)作線性回歸，估計(jì)出和的值。考慮到交通出行方式、城市的規(guī)模等因素，選取廣州地鐵20032010年的運(yùn)營(yíng)數(shù)據(jù)（見(jiàn)表7）作線性回歸分析。表7 廣州地鐵運(yùn)營(yíng)數(shù)據(jù)年份平均票價(jià)/元客流量/億人次200320042005200620072008200920102011(預(yù))2012（預(yù)）(5)對(duì)式兩邊求對(duì)數(shù)可得：(6)將和的數(shù)據(jù)導(dǎo)入Eviews，參數(shù)估計(jì)出和，具體運(yùn)算結(jié)果見(jiàn)附錄5得到：=(7)代入相關(guān)數(shù)據(jù)得到盈虧均衡模型的最優(yōu)票價(jià)：即票價(jià)為577.987時(shí)，達(dá)到盈虧平衡。 總效用最優(yōu)的定價(jià)模型的建立與求解乘客對(duì)交通工具的選擇實(shí)際上是一個(gè)決策的過(guò)程,在此過(guò)程中乘客總是希望能夠

21、選擇廣義效用最大的交通工具，這種效用可采用廣義效用函數(shù)的形式表示。.1模型的建立(1)假定在出行中乘坐普快、動(dòng)車(chē)和高鐵的廣義效用函數(shù)分別為、,由于乘客在選擇某種交通工具時(shí)所用的時(shí)間和票價(jià)越小則其所得到的效用就越大,同時(shí)當(dāng)其所選的交通工具的安全、舒適、方便等屬性的值越大時(shí)所得到的效用也越大，則可表示為:()(3)其中，為第種交通工具的旅行時(shí)間；為第種交通工具的票價(jià)；為第種交通工具的其它影響因素,表示未被包含的屬性如舒適、安全、方便等；、為待定系數(shù)。(2)假設(shè)在特定的區(qū)間內(nèi)乘坐火車(chē)的客流量為,乘坐飛機(jī)的客流量為,乘坐長(zhǎng)途汽車(chē)的客流量為，則總效用為：(4)(3)假設(shè)、不變，即、不變。當(dāng)升高時(shí),下降，

22、也相應(yīng)下降,而客流量的總和不變，即不變，所以、會(huì)增加，即普快的票價(jià)上漲會(huì)導(dǎo)致其部分客流轉(zhuǎn)移到其他交通方式中。當(dāng)、降低時(shí)，、上升，、也上升,這時(shí)會(huì)吸引其他交通方式的乘客選擇動(dòng)車(chē)和高鐵。(4)由上述分析可知必然存在最優(yōu)票價(jià)使得總效用最大。.2模型的求解(1)確立目標(biāo)函數(shù):(5)(2)確定權(quán)重系數(shù)：、分別代表旅行時(shí)間，票價(jià)，舒適、安全、方便等在旅客心中的重要性。由于不同時(shí)期不同因素的重要程度不同，根據(jù)熵權(quán)法，在春運(yùn)期間得=0.2，=0.7，。(3)已知客運(yùn)量與價(jià)格的函數(shù)為，代入(5)式中得從廣州出發(fā)前往唯一目的地的普快列車(chē)所需的平均時(shí)間為8.5小時(shí)，動(dòng)車(chē)所需的平均時(shí)間為4小時(shí)，高鐵列車(chē)所需的平均時(shí)間

23、為2.5小時(shí)。在舒適、安全、方便等其它因素方面，取，由專(zhuān)家打分可得：=5.5，=7.4，(4)由一列火車(chē)客運(yùn)量為3000人，得約束條件：即。運(yùn)用Lingo軟件，代入數(shù)據(jù)得： =223，=265 =407（單位：元）即普快定價(jià)在223，動(dòng)車(chē)定價(jià)在265，高鐵定價(jià)在407時(shí)，可實(shí)現(xiàn)所有旅客總效用最優(yōu)?；趯哟畏治龇ǖ哪：u(píng)價(jià)模型.1 建立層次分析結(jié)構(gòu)模型通過(guò)查閱大量資料可知，火車(chē)票提價(jià)所產(chǎn)生的綜合效益由社會(huì)效益、鐵道部效益、乘客利益三個(gè)部分組成，其涉及到緩解交通壓力、促進(jìn)社會(huì)穩(wěn)定、提高經(jīng)濟(jì)效益、保障公共安全等方面。由此建立如圖所示的層次分析結(jié)構(gòu)模型：圖3 層次分析結(jié)構(gòu)模型圖說(shuō)明：目標(biāo)層：A 火車(chē)票

24、提價(jià)后的綜合效益；準(zhǔn)則層一：B 社會(huì)效益、鐵道部效益、乘客利益；準(zhǔn)則層二：C 緩解交通壓力、促進(jìn)社會(huì)穩(wěn)定、提高經(jīng)濟(jì)效益、保障公共安全； 決策層：D 邊際成本定價(jià)法、盈虧平衡定價(jià)法、總效用最大化定價(jià)法；.2 成對(duì)比較陣的構(gòu)造由于我國(guó)鐵路運(yùn)輸?shù)奶厥庑?，鐵路運(yùn)輸不是純粹的盈利企業(yè)，而是擔(dān)負(fù)著重大社會(huì)責(zé)任的載體，因此鐵路經(jīng)營(yíng)的社會(huì)效益是重中之重；其次，由于輿論的力量，旅客的利益也不容忽視，然后才能考慮經(jīng)濟(jì)效益；三種定價(jià)方案的出發(fā)點(diǎn)不同，帶來(lái)的效益必然也不同。由此利用Saaty等人提出19尺度構(gòu)造出成對(duì)比較陣，并用yaahp軟件對(duì)其進(jìn)行一致性檢驗(yàn)及確定各層權(quán)重，得出最終的組合權(quán)重排序?yàn)椋海ǔ蓪?duì)比較陣、一

25、致性檢驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)附錄6）表8：最終組合權(quán)重排序備選方案權(quán)重邊際成本定價(jià)法盈虧平衡定價(jià)法總效用最大化定價(jià)法綜上分析,由于鐵路交通線巨額的固定成本導(dǎo)致其平均成本要比邊際成本高很多,采用邊際成本定價(jià)雖能實(shí)現(xiàn)資源的利用率最大，但企業(yè)會(huì)出現(xiàn)巨額的虧損甚至?xí)?dǎo)致快速交通過(guò)于擁擠；采用盈虧平衡定價(jià)則所定票價(jià)將超出旅客的承受能力,雖然可以大幅度減少客運(yùn)量而解決春運(yùn)擁擠問(wèn)題，但會(huì)嚴(yán)重?fù)p害社會(huì)公共利益。票價(jià)的最優(yōu)值應(yīng)定為既能使普快、動(dòng)車(chē)、高鐵等鐵路各種交通方式充分發(fā)揮其運(yùn)能又能使客票收入最大的票價(jià)，因此總效用最大化定價(jià)法是綜合效益最大的方法，由其確定出得票價(jià)為最優(yōu)值。5.4 基于拉姆塞定價(jià)法的票價(jià)優(yōu)化模型模型的建立

26、春運(yùn)期間鐵路部門(mén)的需求量存在周期性波動(dòng),形成相對(duì)明顯的高峰期和非高峰期,把春運(yùn)的40天劃分為高峰時(shí)段（春運(yùn)開(kāi)始前10天和春運(yùn)的最后15天）和非高峰時(shí)段（春運(yùn)中間的15天）。通常消費(fèi)者在高峰期對(duì)價(jià)格的敏感程度小于非高峰期,所以可以采取在高峰時(shí)段定高價(jià)，而在非高峰時(shí)段定低價(jià)的策略，應(yīng)用拉姆塞定價(jià)模型，結(jié)合高峰負(fù)荷定價(jià)法來(lái)求得高峰期及非高峰期的最優(yōu)票價(jià)。由經(jīng)濟(jì)學(xué)原理及公式已知拉姆塞定價(jià)模型的一般表達(dá)式:式中：P為價(jià)格，MC為邊際成本，為價(jià)格需求彈性系數(shù)，為拉姆塞指數(shù)令、和、分別表示高峰時(shí)段和非高峰時(shí)段的價(jià)格、邊際成本和價(jià)格需求彈性系數(shù)，則代入拉姆塞定價(jià)模型的一般表達(dá)式得：（6）由于春運(yùn)期間鐵路運(yùn)輸在

27、所有時(shí)段的邊際成本一樣,故可變?yōu)椋河捎澠胶鈨r(jià)格,春運(yùn)期間鐵路運(yùn)輸?shù)倪呺H成本、盈虧平衡時(shí)價(jià)格需求彈性系數(shù)和非高峰時(shí)段的價(jià)格需求彈性系數(shù)，可得：即可求得非高峰期的票價(jià)同理可得高峰期的票價(jià)()由于票價(jià)的高低在乘客對(duì)選擇是否高峰時(shí)段時(shí)段出行起著決定性的作用,那么政府在非高峰時(shí)段用代替盈虧平衡點(diǎn)的票價(jià)作為最優(yōu)票價(jià)，此時(shí)求得的最優(yōu)票價(jià)明顯低于盈虧平衡點(diǎn)的票價(jià),因此能夠吸引更多的乘客在非高峰時(shí)段回家,充分發(fā)揮對(duì)春運(yùn)高峰時(shí)段擁擠的緩解作用。這樣便能最大限度地對(duì)春運(yùn)高峰時(shí)段的客流進(jìn)行疏導(dǎo)?？蓪?shí)現(xiàn)總客運(yùn)量不變，日客運(yùn)量較為均勻。模型的求解由盈虧平衡的定價(jià)模型可得，均衡票價(jià)，盈虧平衡時(shí)價(jià)格需求彈性系數(shù);由邊際成本

28、定價(jià)模型可得，邊際成本，參考資料可得非高峰時(shí)段的價(jià)格需求彈性系數(shù).對(duì)代入數(shù)據(jù)可得：而根據(jù)價(jià)格與客流量的函數(shù)關(guān)系可求得而未調(diào)整票價(jià)前。因此，調(diào)整票價(jià)后非高峰時(shí)段將增加7.89萬(wàn)人，而高峰時(shí)段則減少7.89萬(wàn)人。5.4 基于排隊(duì)論的火車(chē)站售票系統(tǒng)優(yōu)化模型即使在火車(chē)票源充足的情況下，春運(yùn)期間依然常常出現(xiàn)票難買(mǎi)的現(xiàn)象，除了特殊時(shí)期客流量過(guò)分集中外，售票系統(tǒng)不完善也是一個(gè)重要原因?；疖?chē)站售票窗口系統(tǒng)特征分析車(chē)站售票窗口排隊(duì)系統(tǒng)是一個(gè)隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)，它的服務(wù)對(duì)象出行旅客，服務(wù)設(shè)備是售票窗口，可以用旅客到達(dá)時(shí)間、售票窗口服務(wù)時(shí)間、系統(tǒng)容量和排隊(duì)規(guī)則等參數(shù)描述。它具有如下特征：a旅客到達(dá)車(chē)站售票窗口是相互獨(dú)立的

29、,而旅客到達(dá)的時(shí)間間隔是隨機(jī)的;b排隊(duì)規(guī)則為遵從“先到先服務(wù)原則”的等待制，即旅客接受售票服務(wù)是需要等待時(shí)間的, 而旅客可以根據(jù)窗口的排隊(duì)情況選擇到相對(duì)空閑的隊(duì)列排隊(duì);c旅客在售票窗口接受購(gòu)票服務(wù)的時(shí)間是相互獨(dú)立的。綜上所述,可知旅客的到達(dá)時(shí)間間隔和售票窗口服務(wù)時(shí)間均服從負(fù)指數(shù)分布，因此售票窗口排隊(duì)系統(tǒng)屬于多通道等待制M/M/C/的排隊(duì)問(wèn)題。 模型的建立鐵路車(chē)站售票窗口排隊(duì)系統(tǒng)是典型的離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，由于每個(gè)旅客都存在確定的到達(dá)時(shí)間、開(kāi)始服務(wù)時(shí)間和完成時(shí)間，因此可以用靜態(tài)的思想來(lái)建立售票窗口排隊(duì)系統(tǒng)的模擬模型。旅客到達(dá)時(shí)間間隔和售票窗口服務(wù)時(shí)間是模擬模型的概率輸入量，售票窗口數(shù)量和旅客可接受等待

30、時(shí)間是可控輸入量，輸出量為平均等待時(shí)間和買(mǎi)票旅客人數(shù)?？勺C明當(dāng)旅客到達(dá)規(guī)律服從Poisson分布時(shí)，旅客的到達(dá)時(shí)間間隔和售票窗口服務(wù)時(shí)間均服從負(fù)指數(shù)分布，因此售票窗口排隊(duì)系統(tǒng)屬于多通道等待制M/M/C/的排隊(duì)問(wèn)題。其模擬模型概念結(jié)構(gòu)圖如圖3所示圖3模擬模型概念結(jié)構(gòu)圖下面以廣州火車(chē)站售票大廳為例，通過(guò)建立多通道等待制排隊(duì)論模型來(lái)解決春運(yùn)等期間火車(chē)站買(mǎi)票排隊(duì)問(wèn)題：設(shè)有個(gè)售票窗口，每個(gè)窗口相互獨(dú)立工作，平均服務(wù)個(gè)數(shù)相同，單位時(shí)間（以小時(shí)計(jì)）內(nèi)到達(dá)旅客數(shù)，單位時(shí)間內(nèi)每個(gè)窗口服務(wù)旅客數(shù)，則整個(gè)服務(wù)機(jī)構(gòu)的平均服務(wù)率為。旅客到達(dá)規(guī)律服從參數(shù)為的Poisson分布，在0,t時(shí)間內(nèi)到達(dá)旅客數(shù)X(t)服從的分布為

31、：旅客買(mǎi)票的平均時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)時(shí)間分布為理論上已證明，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)存在平穩(wěn)分布。令，則系統(tǒng)的狀態(tài)概率可通過(guò)系統(tǒng)處于平衡時(shí)的K 氏代數(shù)方程求出。（時(shí)，表示n狀態(tài)時(shí)系統(tǒng)內(nèi)有n個(gè)窗口正在使用的概率；nm時(shí)，表示m個(gè)旅客正在買(mǎi)票，其余n-m個(gè)旅客在排隊(duì)等待的概率。）對(duì)0狀態(tài)有 ，得；對(duì)1狀態(tài)有 ，得；對(duì)m-1狀態(tài)有 ，得對(duì)m狀態(tài)有 ，得;對(duì)n+r-1狀態(tài)有 ，得；由正則性條件，當(dāng)時(shí)，有于是根據(jù)Little公式 Lingo中的排隊(duì)論相關(guān)函數(shù)及相關(guān)參數(shù)計(jì)算公式1旅客等待概率Pwait=peb(load,m)其中，m為售票窗口數(shù)；load為系統(tǒng)到達(dá)的荷載，即。 2旅客平均等待時(shí)間W隊(duì)=Pwa

32、itT/(m-load)其中，T為旅客買(mǎi)票所需的平均時(shí)間，T=1/。 3 系統(tǒng)中旅客的平均等待隊(duì)長(zhǎng)：L隊(duì)=W隊(duì) 模型的求解在春運(yùn)等客流高峰期，為了盡可能滿足旅客需求及充分利用售票點(diǎn)資源，我們以旅客能忍耐的最長(zhǎng)等待時(shí)間作為模型優(yōu)化的標(biāo)準(zhǔn)。由以上的灰色預(yù)測(cè)模型GM(1,1)可得到廣州火車(chē)站春運(yùn)期間的日最大客流量為25.9萬(wàn)人。通過(guò)查看大量的專(zhuān)業(yè)調(diào)查統(tǒng)計(jì)我們了解到：火車(chē)站購(gòu)票約占總數(shù)的22.7%，單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的旅客期望值為2449人，每小時(shí)能服務(wù)完的旅客數(shù)為20人，而春運(yùn)期間旅客可忍耐的最長(zhǎng)等待時(shí)間為5小時(shí)。顯然，則目標(biāo)函數(shù)和約束條件為利用Lingo軟件編程（代碼見(jiàn)附錄7）可求得：S=124，隊(duì)長(zhǎng)

33、期望值，最長(zhǎng)等待時(shí)間，旅客需要等待的概率為0.839。已知廣州火車(chē)站現(xiàn)擁有固定售票窗口48個(gè)，故在春運(yùn)高峰期，應(yīng)至少增加76個(gè)臨時(shí)售票窗口才能消除排隊(duì)長(zhǎng)龍。六、模型的改進(jìn)1 問(wèn)題一建立的灰色預(yù)測(cè)模型，是按廣義能量系統(tǒng)的增長(zhǎng)規(guī)律來(lái)預(yù)測(cè)的即在正常情況下（包括經(jīng)濟(jì)發(fā)展正常，天氣正常，不出現(xiàn)影響鐵路運(yùn)輸?shù)臑?zāi)害性事件等）進(jìn)行預(yù)測(cè)，因此其缺陷在于僅適用于短期預(yù)測(cè)，對(duì)于中長(zhǎng)期的預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際偏差較大。若要進(jìn)行中長(zhǎng)期的預(yù)測(cè)，可用新陳代謝模型，其基本思想在于越接近現(xiàn)在的數(shù)據(jù)對(duì)未來(lái)的影響越大，即隨時(shí)間的推移能夠不斷地得到新的數(shù)據(jù)而老數(shù)據(jù)的信息意義隨之降低，其優(yōu)點(diǎn)體現(xiàn)在側(cè)重于新數(shù)據(jù)的發(fā)展趨勢(shì)，這一點(diǎn)與實(shí)際比較符合。

34、2 問(wèn)題二建立的多目標(biāo)規(guī)劃模型，在轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)規(guī)劃時(shí)，比較粗略地認(rèn)為備用車(chē)閑置費(fèi)用最小化與運(yùn)營(yíng)利潤(rùn)最大化的權(quán)重相當(dāng)?？梢酝ㄟ^(guò)詢(xún)問(wèn)相關(guān)部門(mén)的專(zhuān)家來(lái)重新確定其權(quán)重比例，另外，實(shí)地調(diào)研能挖掘出更多地其他約束條件，使得目標(biāo)函數(shù)的解更準(zhǔn)確、更接近實(shí)際。1 灰色預(yù)測(cè)模型可推廣到其他領(lǐng)域，如自然災(zāi)害、氣象及經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)等的預(yù)測(cè)，尤其適用于數(shù)據(jù)量小的特殊情況下。2簡(jiǎn)單的高峰負(fù)荷定價(jià)模型可推廣到整個(gè)運(yùn)輸業(yè)，給出運(yùn)輸企業(yè)在需求高峰期和非高峰期的有效定價(jià)，并分析如何確定運(yùn)輸企業(yè)的最優(yōu)生產(chǎn)設(shè)施能力3 排隊(duì)論可應(yīng)用于交通系統(tǒng)、港口泊位設(shè)計(jì)、機(jī)器維修、庫(kù)存控制和其他服務(wù)系統(tǒng)當(dāng)中。參考文獻(xiàn)1 姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型M.

35、北京：高等教育出版社，2006.2 汪曉銀，周保平.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)M.北京：科學(xué)出版社，2009.3 張偉.關(guān)于春運(yùn)問(wèn)題解決方法的相關(guān)研究J.科技情報(bào)開(kāi)發(fā)與經(jīng)濟(jì).2010,20(1)：132134.4 陳磊.王鵬.董靜宜.任超.基于排隊(duì)論的火車(chē)站售票排隊(duì)系統(tǒng)的分析與研究J.成都信息工程學(xué)院學(xué)報(bào),2010,25(6):584-587.5 李季梅.楊俊鋒.付佳.鐵路車(chē)站售票窗口排隊(duì)系統(tǒng)模擬優(yōu)化J.鐵道運(yùn)輸與經(jīng)濟(jì)，2007,29(12):67-70.6 肖華勇. 實(shí)用數(shù)學(xué)建模與軟件應(yīng)用M.西安:西安工業(yè)大學(xué)出版社，2008.7 季令.交通運(yùn)輸政策M(jìn).北京:中國(guó)鐵道出版社2003.8仝允桓.城市快

36、速交通項(xiàng)目的最優(yōu)票價(jià)與政府補(bǔ)償J系統(tǒng)工程與實(shí)踐，200l，(4)：88-919陳平.城市公共交通價(jià)格改革對(duì)策探討J價(jià)格理論與實(shí)踐，2002，(2)：3132附錄附錄1 矩陣的完整數(shù)據(jù)附錄2 2.1 GM(1,1)模型代碼function X,c,error1,error2=GM11(X0,k)% 其中X0為輸入序列，k為預(yù)測(cè)長(zhǎng)度，% X為預(yù)測(cè)輸出序列，c為后驗(yàn)差檢驗(yàn)數(shù)，error1為殘差，error2為相對(duì)誤差format long;n=length(X0);X1=;X1(1)=X0(1);for i=2:n X1(i)=X1(i-1)+X0(i); %計(jì)算累加生成序列endfor i=1:n

37、-1B(i,1)=-0.5*(X1(i)+X1(i+1); %計(jì)算B，Yn B(i,2)=1; Y(i)=X0(i+1);endalpha=(B*B)(-1)*B*Y; %做最小二乘估計(jì)a=alpha(1,1);b=alpha(2,1);d=b/a; %計(jì)算時(shí)間響應(yīng)函數(shù)參數(shù)c=X1(1)-d;X2(1)=X0(1);X(1)=X0(1);for i=1:n-1 X2(i+1)=c*exp(-a*i)+d; X(i+1)=X2(i+1)-X2(i); %計(jì)算預(yù)測(cè)序列endfor i=(n+1):(n+k) X2(i)=c*exp(-a*(i-1)+d; %計(jì)算預(yù)測(cè)序列 X(i)=X2(i)-X2

38、(i-1);endfor i=1:n error(i)=X(i)-X0(i); error1(i)=abs(error(i); %計(jì)算殘差 error2(i)=error1(i)/X0(i); %計(jì)算相對(duì)誤差endc=std(error1)/std(X0); %計(jì)算后驗(yàn)差檢驗(yàn)數(shù)2.2 2012年春運(yùn)期間廣州地區(qū)鐵路總客運(yùn)量預(yù)測(cè)X0=386.7432.0471.6589.2664.5584.2689.5871.2984.9;k=1;X,c,error1,error2=GM11(X0,k)plot(2003:2011,X0,g*-)hold on plot(2003:2012,X,r*-)xlab

39、el(年份)ylabel(客流量（萬(wàn)人）)title(圖1 20032011年春運(yùn)期間廣州地區(qū)鐵路總客運(yùn)量)grid on2.3 2012年春運(yùn)期間廣州站日最大鐵路客運(yùn)量預(yù)測(cè)X0=15.315.416.917.419.321.222.022.923.7;k=1;X,c,error1,error2=GM11(X0,k)plot(2003:2011,X0,g*-)hold on plot(2003:2012,X,r*-)xlabel(年份)ylabel(客流量（萬(wàn)人）)title(圖2 20032011年廣州站日最大鐵路客運(yùn)量)grid on附錄3 備用車(chē)增設(shè)數(shù)量的最優(yōu)化min =75.4810*

40、x+111.9328*y+91.2186*x+392.2104*y-1862.49;x+y660;x63000;End附錄4 邊際成本定價(jià)法的Eview運(yùn)行結(jié)果Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 10/09/11 Time: 17:50Sample: 2003 2012Included observations: 10VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. CXR-squared Mean dependent varAdjusted R-squared S.D. dependent

41、varS.E. of regression Akaike info criterionSum squared resid Schwarz criterionLog likelihood F-statisticDurbin-Watson stat Prob(F-statistic)附錄5盈虧平衡定價(jià)法的Eview運(yùn)行結(jié)果Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 10/09/11 Time: 21:38Sample: 2003 2012Included observations: 10VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. CXR-squared Mean dependent varAdju